Matrizes  Vetores e Geometria Analítica
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Matrizes Vetores e Geometria Analítica


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0, 0) pertence a \ud70b1 e \ud4432 = (7/2, 0, 0)
pertence a \ud70b2. Portanto, pela Proposic¸a\u2dco 4.4 temos que
dist(\ud70b1, \ud70b2) = dist(\ud70b1, \ud4432) = \u2223\u2223proj\ud4411
\u2212\u2192
\ud4431\ud4432 \u2223\u2223 = \u2223
\u2212\u2192
\ud4431\ud4432 \u22c5\ud4411\u2223
\u2223\u2223\ud4411\u2223\u2223
=
\u2223(7/2\u2212 3, 0\u2212 0, 0\u2212 0) \u22c5 (1, 2,\u22122)\u2223\u221a
12 + 22 + (\u22122)2 =
\u2223(1/2) \u22c5 1 + 0 \u22c5 2 + 0(\u22122)\u2223\u221a
9
=
1
6
.
Dista\u2c6ncia entre Duas Retas
Sejam \ud45f1 e \ud45f2 duas retas quaisquer. A dista\u2c6ncia entre \ud45f1 e \ud45f2 e´ definida como a menor dista\u2c6ncia
entre dois pontos, um de \ud45f1 e outro de \ud45f2.
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4.2 \u2c6Angulos e Dista\u2c6ncias 285
\ud45f1
\ud45f2 \ud4432
\ud4431 proj\ud4491
\u2212\u2192
\ud4431\ud4432 \ud4491
d
is
t(
\ud45f 1
,\ud45f
2
)
Figura 4.29: Dista\u2c6ncia entre duas retas paralelas
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
286 Retas e Planos
Para calcular a dista\u2c6ncia entre duas retas, vamos dividir em dois casos:
(a) Se os vetores diretores sa\u2dco paralelos, enta\u2dco as retas \ud45f1 e \ud45f2 sa\u2dco paralelas (ou coincidentes).
Neste caso, a dista\u2c6ncia entre elas e´ igual a` dista\u2c6ncia entre um ponto de \ud45f2 e a reta \ud45f1, ou vice-
versa, entre um ponto de \ud45f1 e a reta \ud45f2 (Figura 4.29). Assim, pela Proposic¸a\u2dco 4.5 na pa´gina
279, temos que
dist(\ud45f1, \ud45f2) = dist(\ud4431, \ud45f2) =
\u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud4431\ud4432 ×\ud4492\u2223\u2223
\u2223\u2223\ud4492\u2223\u2223 , (4.11)
em que \ud4431 e \ud4432 sa\u2dco pontos de \ud45f1 e \ud45f2 e \ud4491 e \ud4492 sa\u2dco vetores diretores de \ud45f1 e \ud45f2, respectiva-
mente.
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4.2 \u2c6Angulos e Dista\u2c6ncias 287
\ud45f2
\ud45f1
\ud4492
\ud4491
\ud4491 × \ud4492
\ud4432
\ud4431
d
is
t(
\ud45f 1
,\ud45f
2
)
Figura 4.30: Dista\u2c6ncia entre duas retas reversas
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
288 Retas e Planos
(b) Se os vetores diretores na\u2dco sa\u2dco paralelos, enta\u2dco elas sa\u2dco reversas ou concorrentes. Os dois
casos podem ser resolvidos da mesma forma. Estas retas definem dois planos paralelos (que
podem ser coincidentes, no caso em que elas sa\u2dco concorrentes). Um e´ o plano que conte´m
\ud45f1 e e´ paralelo a \ud45f2, vamos chama´-lo de \ud70b1. O outro, conte´m \ud45f2 e e´ paralelo a \ud45f1, \ud70b2. O vetor
\ud441 = \ud4491 × \ud4492, e´ normal (ou perpendicular) a ambos os planos, em que \ud4491 e \ud4492 sa\u2dco os vetores
diretores de \ud45f1 e \ud45f2 respectivamente. Assim, a dista\u2c6ncia entre as retas e´ igual a` dista\u2c6ncia entre
estes dois planos (Figura 4.30), ou seja,
dist(\ud45f1, \ud45f2) = dist(\ud70b1, \ud70b2) = dist(\ud70b1, \ud4432) =
\u2223
\u2212\u2192
\ud4431\ud4432 \u22c5\ud441 \u2223
\u2223\u2223\ud441 \u2223\u2223 =
\u2223
\u2212\u2192
\ud4431\ud4432 \u22c5 (\ud4491 × \ud4492)\u2223
\u2223\u2223\ud4491 × \ud4492\u2223\u2223 (4.12)
em que \ud4431 e \ud4432 sa\u2dco pontos de \ud45f1 e \ud45f2 e \ud4491 e \ud4492 sa\u2dco vetores diretores de \ud45f1 e \ud45f2, respectiva-
mente. Observe que se as retas sa\u2dco concorrentes a dista\u2c6ncia entre elas e´ zero, pois os vetores
\u2212\u2192
\ud4431\ud4432, \ud4491 e \ud4492 sa\u2dco coplanares e
\u2212\u2192
\ud4431\ud4432 \u22c5 (\ud4491 × \ud4492) = 0 (Corola´rio 3.9 na pa´gina 204).
Exemplo 4.14. Vamos determinar a dista\u2c6ncia entre as retas
\ud45f1 :
\ud465\u2212 1
4
=
\ud466 + 1
\u22122 =
\ud467 \u2212 2
\u22126 .
e
\ud45f2 :
\u23a7\u23a8
\u23a9
\ud465 = 1 + 2 \ud461
\ud466 = \u2212\ud461
\ud467 = 2\u2212 3 \ud461
para todo \ud461 \u2208 \u211d.
As retas sa\u2dco paralelas, pois seus vetores diretores \ud4491 = (4,\u22122,\u22126) e \ud4492 = (2,\u22121,\u22123) (Exemplo
4.5 na pa´gina 241) sa\u2dco paralelos (um e´ um mu´ltiplo escalar do outro, ou ainda as componentes
correspondentes sa\u2dco proporcionais). Ale´m disso, o ponto \ud4431 = (1,\u22121, 2) pertence a` reta \ud45f1. Como
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
4.2 \u2c6Angulos e Dista\u2c6ncias 289
dissemos acima, a dista\u2c6ncia de \ud45f1 a \ud45f2 e´ igual a` dista\u2c6ncia entre um ponto de \ud45f2 e a reta \ud45f1 (Figura
4.29). Assim, pela Proposic¸a\u2dco 4.5 na pa´gina 279, temos que
dist(\ud45f1, \ud45f2) = dist(\ud4431, \ud45f2) =
\u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud4431\ud4432 ×\ud4492\u2223\u2223
\u2223\u2223\ud4492\u2223\u2223 =
\u221a
13
14
.
As contas sa\u2dco as mesmas do Exemplo 4.12 na pa´gina 282.
Exemplo 4.15. Determinar a dista\u2c6ncia entre as retas
\ud45f1 :
\ud465+ 1
3
=
\ud466 \u2212 1
2
= \ud467 .
e
\ud45f2 :
\u23a7\u23a8
\u23a9
\ud465 = \ud461
\ud466 = 2 \ud461
\ud467 = 1\u2212 \ud461
para qualquer \ud461 \u2208 \u211d.
As retas \ud45f1 e \ud45f2 sa\u2dco paralelas aos vetores \ud4491 = (3, 2, 1) e \ud4492 = (1, 2,\u22121) e passam pelos pontos
\ud4431 = (\u22121, 1, 0) e \ud4432 = (0, 0, 1), respectivamente. As retas na\u2dco sa\u2dco paralelas, pois seus vetores
diretores na\u2dco sa\u2dco paralelos (observe que a 1a. componente de \ud4491 e´ 3 vezes a 1a. componente de \ud4492,
mas as 2a. \u2019s componentes sa\u2dco iguais). Logo,
\u2212\u2192
\ud4431\ud4432= (0\u2212 (\u22121), 0\u2212 1, 1\u2212 0) = (1,\u22121, 1) .
Um vetor perpendicular a ambas as retas e´
\ud441 = \ud4491 × \ud4492 = (\u22124, 4, 4) .
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290 Retas e Planos
Este vetor e´ normal aos planos \ud70b1 (que conte´m \ud45f1 e e´ paralelo a \ud45f2) e \ud70b2 (que conte´m \ud45f2 e e´ paralelo
a \ud45f1) (veja a Figura 4.30). Assim,
dist(\ud45f1, \ud45f2) = dist(\ud70b1, \ud70b2) = dist(\ud70b1, \ud4432) =
\u2223
\u2212\u2192
\ud4431\ud4432 \u22c5\ud441 \u2223
\u2223\u2223\ud441 \u2223\u2223
=
\u22231(\u22124) + (\u22121) \u22c5 4 + 1 \u22c5 4\u2223\u221a
(\u22124)2 + 42 + 42 =
\u2223 \u2212 4\u2223
4
\u221a
3
=
1\u221a
3
.
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4.2 \u2c6Angulos e Dista\u2c6ncias 291
Exerc\u131´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 612)
4.2.1. Considere os vetores \ud449 = \ud456\u20d7+3\u20d7\ud457+2\ud458\u20d7, \ud44a = 2\u20d7\ud456\u2212 \ud457\u20d7+ \ud458\u20d7 e \ud448 = \ud456\u20d7\u2212 2\u20d7\ud457. Seja \ud70b um plano paralelo
aos vetores \ud44a e \ud448 e \ud45f uma reta perpendicular ao plano \ud70b. Ache a projec¸a\u2dco ortogonal do vetor
\ud449 sobre a reta \ud45f, ou seja, a projec¸a\u2dco ortogonal de \ud449 sobre o vetor diretor da reta \ud45f.
4.2.2. Encontrar o a\u2c6ngulo entre o plano 2\ud465\u2212 \ud466 + \ud467 = 0 e o plano que passa pelo ponto \ud443 = (1, 2, 3)
e e´ perpendicular ao vetor \ud456\u20d7\u2212 2\u20d7\ud457 + \ud458\u20d7.
4.2.3. Seja \ud70b1 o plano que passa pelos pontos \ud434 = (1, 1, 1), \ud435 = (1, 0, 1), \ud436 = (1, 1, 0) e \ud70b2 o plano
que passa pelos pontos \ud443 = (0, 0, 1) e \ud444 = (0, 0, 0) e e´ paralelo ao vetor \ud456\u20d7+ \ud457\u20d7. Ache o a\u2c6ngulo
entre \ud70b1 e \ud70b2.
4.2.4. Ache uma reta que passa pelo ponto (1,\u22122, 3) e que forma a\u2c6ngulos de 45o e 60o com os eixos
x e y respectivamente.
4.2.5. Obtenha os ve´rtices \ud435 e \ud436 do tria\u2c6ngulo equila´tero \ud434\ud435\ud436, sendo \ud434 = (1, 1, 0) e sabendo que o
lado \ud435\ud436 esta´ contido na reta \ud45f : (\ud465, \ud466, \ud467) = \ud461 (0, 1,\u22121). (Sugesta\u2dco: Determine os pontos \ud443\ud45f
da reta \ud45f tais que
\u2212\u2192
\ud443\ud45f\ud434 faz a\u2c6ngulo de 60o e 120o com o vetor diretor da reta \ud45f)
4.2.6. Seja \ud70b o plano que passa pela origem e e´ perpendicular a` reta que une os pontos \ud434 = (1, 0, 0)
e \ud435 = (0, 1, 0). Encontre a dista\u2c6ncia do ponto \ud436 = (1, 0, 1) ao plano \ud70b.
4.2.7. Seja \ud45f1 a reta que passa pelos pontos \ud434 = (1, 0, 0) e \ud435 = (0, 2, 0), e \ud45f2 a reta
\ud465\u2212 2 = \ud466 \u2212 3
2
=
\ud467 \u2212 4
3
.
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292 Retas e Planos
(a) Encontre as equac¸o\u2dces da reta perpendicular a`s retas \ud45f1 e \ud45f2;
(b) Calcule a dista\u2c6ncia entre \ud45f1 e \ud45f2.
4.2.8. Dados \ud434 = (0, 2, 1), \ud45f : \ud44b = (0, 2,\u22122) + \ud461 (1,\u22121, 2), ache os pontos de \ud45f que distam \u221a3 de
\ud434. A dista\u2c6ncia do ponto \ud434 a` reta \ud45f e´ maior, menor ou igual a
\u221a
3? Por que?
4.2.9. Dada a reta \ud45f : \ud44b = (1, 0, 0) + \ud461 (1, 1, 1) e os pontos \ud434 = (1, 1, 1) e \ud435 = (0, 0, 1), ache o
ponto de \ud45f equidistante de \ud434 e \ud435.
4.2.10. Encontre a equac¸a\u2dco do lugar geome´trico dos pontos equidistantes de \ud434 = (1,\u22121, 2) e \ud435 =
(4, 3, 1). Este plano passa pelo ponto me´dio de \ud434\ud435? Ele e´ perpendicular ao segmento \ud434\ud435?
4.2.11. Ache as equac¸o\u2dces dos planos em \u211d3 ortogonais ao vetor (2, 2, 2), que distam
\u221a
3 do ponto
(1, 1, 1).
4.2.12. Obtenha uma equac¸a\u2dco geral do plano \ud70b, que conte´m a reta
\ud45f :
{
\ud465 \u2212 2\ud466 + 2\ud467 = 0
3\ud465 \u2212 5\ud466 + 7\ud467 = 0
e forma com o plano \ud70b1 : \ud465+ \ud467 = 0 um a\u2c6ngulo de 60o.
4.2.13. (a) Verifique que a reta \ud45f : (\ud465, \ud466, \ud467) = (1, 0, 1) + \ud461(1,\u22121, 0) e´ paralela ao plano
\ud70b : \ud465+ \ud466 + \ud467 = 0.
(b) Calcule a dista\u2c6ncia de \ud45f a \ud70b.
(c) Existem retas contidas no plano \ud70b, que sa\u2dco reversas a` reta \ud45f e distam 2 desta?
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4.2 \u2c6Angulos e Dista\u2c6ncias 293
4.2.14. (a) Determine a equac¸a\u2dco do plano \ud70b1 que passa por \ud434 = (10/3, 1,\u22121), \ud435 = (1, 9/2,\u22121) e
\ud436 = (1,\u22121, 5/6).
(b) Determine a equac¸a\u2dco do plano \ud70b2 que passa por \ud437 = (\u22121, 4,\u22121), \ud438 = (3/2,\u22121, 10) e
e´ paralelo ao eixo z.
(c) Escreva equac¸o\u2dces parame´tricas para a reta \ud45f intersec¸a\u2dco dos planos \ud70b1 e \ud70b2.
(d) Fac¸a um esboc¸o dos planos \ud70b1, \ud70b2 e da reta \ud45f no primeiro octante.
(e) Qual o a\u2c6ngulo entre os planos \ud70b1 e \ud70b2?
(f) Qual o ponto \ud443 de \ud70b1 que esta´ mais pro´ximo da origem? (Sugesta\u2dco: este ponto e´ tal que\u2212\u2192
\ud442\ud443 e´ ortogonal ao plano \ud70b1.)
(g) Qual a a´rea do tria\u2c6ngulo \ud434\ud435\ud436?
Exerc\u131´cios usando o MATLAB\u24c7
4.2.15.