Matrizes  Vetores e Geometria Analítica
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Matrizes Vetores e Geometria Analítica


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e 5.16) e \ud45d = \ud451\ud452
2
\ud4522\u22121 se a reta \ud460 estiver a`
esquerda do foco \ud439 (Figuras 5.17 e 5.18).
Assim o conjunto dos pontos \ud443 = (\ud465, \ud466) tais que
dist(\ud443, \ud439 ) = \ud452 dist(\ud443, \ud460) ,
pode ser descrito como sendo o conjunto dos pontos \ud443 = (\ud465, \ud466) tais que\u221a
(\ud465\u2212 \ud45d)2 + \ud4662 = \ud452
\u2223\u2223\u2223\ud465\u2212 \ud45d
\ud4522
\u2223\u2223\u2223 ,
Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos
(1\u2212 \ud4522)\ud4652 + \ud4662 = \ud45d2
(
1
\ud4522
\u2212 1
)
que pode ainda ser escrito como
\ud4652
\ud45d2
\ud4522
+
\ud4662
\ud45d2(1\u2212\ud4522)
\ud4522
= 1. (5.8)
Se 0 < \ud452 < 1, esta e´ a equac¸a\u2dco de uma elipse. Se \ud452 > 1, e´ a equac¸a\u2dco de uma hipe´rbole.
Para mostrar a rec\u131´proca, considere uma elipse ou hipe´rbole com excentricidade \ud452 > 0 e um dos
focos em \ud439 = (\ud45d, 0). ´E fa´cil verificar que (5.8) e´ a equac¸a\u2dco desta co\u2c6nica e portanto (5.7) tambe´m o
e´, com a reta diretriz sendo \ud460 : \ud465 =
\ud45d
\ud4522
. \u25a0
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
336 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
x
y
\ud439
(\ud45d, 0)
\ud460
:
\ud465
=
\ud45d \ud452
2
Figura 5.15: Elipse, um de seus focos e a reta
diretriz a` direita
x
y
\ud439
(\ud45d, 0)
\ud460
:
\ud465
=
\ud45d \ud452
2
Figura 5.16: Hipe´rbole, um de seus focos e a
reta diretriz a` direita
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.1 Co\u2c6nicas Na\u2dco Degeneradas 337
x
y
\ud439
(\ud45d, 0)
\ud460
:
\ud465
=
\ud45d \ud452
2
Figura 5.17: Elipse, um de seus focos e a reta
diretriz a` esquerda
x
y
\ud439
(\ud45d, 0)
\ud460
:
\ud465
=
\ud45d \ud452
2
Figura 5.18: Hipe´rbole, um de seus focos e a
reta diretriz a` esquerda
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
338 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
Exerc\u131´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 624)
5.1.1. Reduzir cada uma das equac¸o\u2dces de forma a identificar a co\u2c6nica que ela representa e fac¸a um
esboc¸o do seu gra´fico:
(a) 4\ud4652 + 2\ud4662 = 1
(b) \ud4652 + \ud466 = 0 (c) \ud465
2 \u2212 9\ud4662 = 9
5.1.2. Escreva as equac¸o\u2dces das seguintes elipses:
(a) Os focos sa\u2dco \ud4391 = (\u22121, 2) e \ud4392 = (3, 2) e satisfaz dist(\ud443, \ud4391) + dist(\ud443, \ud4392) = 6;
(b) Os focos sa\u2dco \ud4391 = (\u22121,\u22121) e \ud4392 = (1, 1) e satisfaz dist(\ud443, \ud4391) + dist(\ud443, \ud4392) = 4;
5.1.3. Escreva as equac¸o\u2dces das seguintes hipe´rboles:
(a) Os focos sa\u2dco \ud4391 = (3,\u22121) e \ud4392 = (3, 4) e satisfaz \u2223 dist(\ud443, \ud4391)\u2212 dist(\ud443, \ud4392)\u2223 = 3;
(b) Os focos sa\u2dco \ud4391 = (\u22121,\u22121) e \ud4392 = (1, 1) e satisfaz \u2223 dist(\ud443, \ud4391)\u2212 dist(\ud443, \ud4392)\u2223 = 2;
5.1.4. Escreva as equac¸o\u2dces das seguintes para´bolas:
(a) O foco e´ \ud439 = (0, 2) e diretriz \ud466 = \u22122;
(b) O foco e´ \ud439 = (0, 0) e diretriz \ud465+ \ud466 = 2;
5.1.5. Determinar a equac¸a\u2dco e identificar a trajeto´ria de um ponto que se move de maneira que sua
dista\u2c6ncia ao ponto \ud439 = (6, 0) e´ sempre igual a duas vezes sua dista\u2c6ncia a reta 2\ud465\u2212 3 = 0.
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5.1 Co\u2c6nicas Na\u2dco Degeneradas 339
5.1.6. Determinar a equac¸a\u2dco e identificar a trajeto´ria de um ponto que se move de maneira que sua
dista\u2c6ncia ao eixo \ud466 e´ sempre igual a duas vezes sua dista\u2c6ncia ao ponto \ud439 = (3, 2).
Exerc\u131´cios Teo´ricos
5.1.7. Mostre que a equac¸a\u2dco da elipse com focos nos pontos \ud4391 = (\ud4650 \u2212 \ud450, \ud4660) e \ud4392 = (\ud4650 + \ud450, \ud4660) e
satisfaz
dist(\ud443, \ud4391) + dist(\ud443, \ud4392) = 2\ud44e, em que \ud44e > \ud450
e´
(\ud465\u2212 \ud4650)2
\ud44e2
+
(\ud466 \u2212 \ud4660)2
\ud44f2
= 1,
em que \ud44f =
\u221a
\ud44e2 \u2212 \ud4502.
5.1.8. Mostre que a equac¸a\u2dco da hipe´rbole com focos nos pontos \ud4391 = (\ud4650\u2212 \ud450, \ud4660) e \ud4392 = (\ud4650+ \ud450, \ud4660)
e satisfaz
\u2223 dist(\ud443, \ud4391)\u2212 dist(\ud443, \ud4392)\u2223 = 2\ud44e, em que \ud44e < \ud450
e´
(\ud465\u2212 \ud4650)2
\ud44e2
\u2212 (\ud466 \u2212 \ud4660)
2
\ud44f2
= 1,
em que \ud44f =
\u221a
\ud4502 \u2212 \ud44e2.
5.1.9. Mostre que a equac¸a\u2dco da para´bola com foco no ponto \ud439 = (\ud4650 + \ud45d, \ud4660) e reta diretriz \ud45f : \ud465 =
\ud4650 \u2212 \ud45d e´
(\ud466 \u2212 \ud4660)2 = 4\ud45d(\ud465\u2212 \ud4650).
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340 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
5.1.10. Seja uma elipse ou hipe´rbole com focos em \ud4391 = (\ud45d, 0) e \ud4392 = (\u2212\ud45d, 0).
(a) Mostre que
\ud4652
\ud45d2
\ud4522
+
\ud4662
\ud45d2(1\u2212\ud4522)
\ud4522
= 1
e´ a equac¸a\u2dco desta co\u2c6nica, em que \ud452 e´ a excentricidade.
(b) Definindo a reta \ud45f : \ud465 = \ud45d
\ud4522
, Mostre que esta co\u2c6nica pode ser descrita pelo conjunto de
pontos \ud443 = (\ud465, \ud466) tais que
dist(\ud443, \ud439 ) = \ud452 dist(\ud443, \ud45f).
5.1.11. (a) Verifique que com o procedimento abaixo realmente desenhamos uma parte de um ramo
de uma hipe´rbole. Fixamos uma extremidade de uma re´gua em um dos focos, fixamos
uma extremidade de um barbante (de comprimento igual ao comprimento da re´gua menos
2\ud44e) na outra ponta da re´gua e a outra extremidade do barbante no outro foco. Esticamos
o barbante com uma caneta de forma que ela fique encostada na re´gua. Girando-se a
re´gua em torno do foco no qual ela foi fixada, mantendo o barbante esticado com a caneta
encostada na re´gua, uma parte de um ramo da hipe´rbole sera´ trac¸ada (Figura 5.5 na
pa´gina 323).
(b) Verifique que com o procedimento abaixo realmente desenhamos uma parte de um ramo
de uma para´bola. Colocamos um esquadro com um lado cateto encostado na reta di-
retriz, fixamos uma extremidade de um barbante (de comprimento igual ao lado cateto
do esquadro perpendicular a` reta diretriz) no foco, a outra extremidade na ponta do es-
quadro oposta ao lado que esta´ encostado na reta diretriz. Esticamos o barbante com a
caneta de forma que ela fique encostada no lado do esquadro perpendicular a` reta dire-
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.1 Co\u2c6nicas Na\u2dco Degeneradas 341
triz. Deslizando-se o esquadro na direc¸a\u2dco da reta diretriz mantendo o lado encostado nela
uma parte da para´bola e´ trac¸ada (Figura 5.9 na pa´gina 329).
5.1.12. Mostre que um espelho parabo´lico reflete na direc¸a\u2dco do foco os raios que incidem paralelos ao
seu eixo de simetria seguindo os seguintes passos:
(a) Considere a para´bola \ud4662 = 4\ud45d\ud465. Usando o fato de que a inclinac¸a\u2dco da reta tangente a`
parabola no ponto \ud443 = (\ud466
2
0
4\ud45d
, \ud4660) e´ tan(\ud6fc) =
\ud451\ud466
\ud451\ud465
= 2\ud45d
\ud4660
. Mostre que se o raio incidente tem
equac¸a\u2dco \ud466 = \ud4660, enta\u2dco a equac¸a\u2dco do raio refletido que passa por \ud443 = (\ud466
2
0
4\ud45d
, \ud4660) e´
\ud466 \u2212 \ud4660 = 4\ud45d\ud4660
\ud46620 \u2212 4\ud45d2
(\ud465\u2212 \ud466
2
0
4\ud45d
).
Use o fato de que tan(2\ud6fc) = 2 tan\ud6fc
1\u2212tan2 \ud6fc .
(b) Mostre que o raio refletido intercepta o eixo x em \ud465 = \ud45d.
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342 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
Figura 5.19: Para´bola refletindo na direc¸a\u2dco do
foco os raios paralelos ao seu eixo de simetria.
Figura 5.20: Para´bola refletindo na direc¸a\u2dco do
seu eixo de simetria os raios origina´rios do foco.
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5.1 Co\u2c6nicas Na\u2dco Degeneradas 343
x
y
\ud443 \ud6fc
\ud6fc
\ud6fc
2\ud6fc
Figura 5.21: Para´bola refletindo na direc¸a\u2dco do foco os raios paralelos ao seu eixo de simetria.
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344 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas
Ate´ agora vimos usando o chamado sistema de coordenadas cartesianas, em que um ponto
do plano e´ localizado em relac¸a\u2dco a duas retas fixas perpendiculares entre si. Vamos definir um outro
sistema de coordenadas chamado de sistema de coordenadas polares em que um ponto do plano
e´ localizado em relac¸a\u2dco a um ponto e a uma reta que passa por esse ponto.
Escolhemos um ponto \ud442 (usualmente a origem do sistema cartesiano), chamado polo e uma reta
orientada passando pelo polo chamada eixo polar (usualmente tomamos o pro´prio eixo x do sistema
cartesiano). No sistema de coordenadas polares um ponto no plano e´ localizado dando-se a dista\u2c6ncia
do ponto ao polo, \ud45f = dist(\ud443,\ud442) e o a\u2c6ngulo, \ud703, entre os vetores
\u2212\u2192
\ud442\ud443 e um vetor na direc¸a\u2dco e sentido
do eixo polar, com a mesma convenc¸a\u2dco da trigonometria, ou seja, ele e´ positivo se medido no sentido
anti-hora´rio a partir do eixo polar e negativo se medido no sentido hora´rio a partir do eixo polar. As
coordenadas polares de um ponto \ud443 do plano sa\u2dco escritas na forma (\ud45f, \ud703).
Segue facilmente as relac¸o\u2dces entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares.
Proposic¸a\u2dco 5.5. Suponha que o polo e o eixo polar do sistema de coordenadas polares coinci-
dem com a origem e o eixo x do sistema de coordenadas cartesianas, respectivamente. Enta\u2dco a
transformac¸a\u2dco entre os sistemas de coordenadas