Matrizes  Vetores e Geometria Analítica
721 pág.

Matrizes Vetores e Geometria Analítica


DisciplinaGeometria Analítica e Sistemas Lineares137 materiais835 seguidores
Pré-visualização50 páginas
polares e o de coordenadas cartesianas podem ser
realizadas pelas equac¸o\u2dces
\ud465 = \ud45f cos \ud703 e \ud466 = \ud45f sen \ud703
\ud45f =
\u221a
\ud4652 + \ud4662,
cos \ud703 =
\ud465\u221a
\ud4652 + \ud4662
e sen \ud703 =
\ud466\u221a
\ud4652 + \ud4662
, se \ud4652 + \ud4662 \u2215= 0.
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 345
x
y
\ud443
\ud45f
\ud466
\ud442
\ud703
\ud465
Figura 5.22: Ponto \ud443 do plano em coordenadas polares (\ud45f, \ud703) e cartesianas (\ud465, \ud466)
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
346 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
x
y
(\u2223\ud45f\u2223, \ud703)
(\ud45f, \ud703) = (\u2223\ud45f\u2223, \ud703 + \ud70b)
\ud703
\ud703 + \ud70b
Figura 5.23: Para \ud45f < 0, (\ud45f, \ud703) = (\u2223\ud45f\u2223, \ud703 + \ud70b)
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 347
Estendemos as coordenadas polares para o caso no qual \ud45f e´ negativo da seguinte forma:
para \ud45f < 0, (\ud45f, \ud703) = (\u2223\ud45f\u2223, \ud703 + \ud70b).
Assim, (\ud45f, \ud703) e (\u2212\ud45f, \ud703) esta\u2dco na mesma reta que passa pelo polo, a` dista\u2c6ncia \u2223\ud45f\u2223 do polo, mas em
lados opostos em relac¸a\u2dco ao polo.
Exemplo 5.1. Vamos determinar a equac¸a\u2dco em coordenadas polares da circunfere\u2c6ncia cuja equac¸a\u2dco
em coordenadas retangulares e´
(\ud465\u2212 1)2 + (\ud466 \u2212 1)2 = 2
ou simplificando
\ud4652 + \ud4662 \u2212 2\ud465\u2212 2\ud466 = 0.
Substituindo-se \ud465 por \ud45f cos \ud703 e \ud466 por \ud45f sen \ud703 obtemos
\ud45f2 \u2212 2\ud45f cos \ud703 \u2212 2\ud45f sen \ud703 = 0.
Dividindo-se por \ud45f ficamos com
\ud45f \u2212 2 cos \ud703 \u2212 2 sen \ud703 = 0.
Exemplo 5.2. Vamos determinar a equac¸a\u2dco em coordenadas retangulares do lugar geome´trico cuja
equac¸a\u2dco em coordenadas polares e´
\ud45f =
1
1\u2212 cos \ud703 .
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
348 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
\u22120.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
\u22120.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
y
Figura 5.24: Circunfere\u2c6ncia com equac¸a\u2dco em coordenadas polares \ud45f \u2212 2 cos \ud703 \u2212 2 sen \ud703 = 0
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 349
\u22121 \u22120.5 0 0.5
\u22121
\u22120.8
\u22120.6
\u22120.4
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
y
Figura 5.25: Para´bola com equac¸a\u2dco em coordenadas polares \ud45f = 1
1\u2212 cos \ud703
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
350 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
Substituindo-se \ud45f por
\u221a
\ud4652 + \ud4662 e cos \ud703 por
\ud465\u221a
\ud4652 + \ud4662
obtemos
\u221a
\ud4652 + \ud4662 =
1
1\u2212 \ud465\u221a
\ud4652+\ud4662
ou simplificando \u221a
\ud4652 + \ud4662 \u2212 \ud465 = 1.
Somando-se \ud465 a ambos os membros obtemos\u221a
\ud4652 + \ud4662 = 1 + \ud465.
Elevando-se ao quadrado obtemos
\ud4652 + \ud4662 = (1 + \ud465)2.
Simplificando-se obtemos ainda
\ud4662 = 1 + 2\ud465 = 2(\ud465+ 1/2),
que e´ uma para´bola com foco na origem \ud439 = (0, 0) e reta diretriz \ud465 = \u22121 (verifique!).
5.2.1 Co\u2c6nicas em Coordenadas Polares
A equac¸a\u2dco polar de uma co\u2c6nica, que na\u2dco e´ uma circunfere\u2c6ncia, assume uma forma simples
quando um foco \ud439 esta´ no polo e a reta diretriz \ud460 e´ paralela ou perpendicular ao eixo polar. Seja
\ud451 = dist(\ud439, \ud460). Para deduzir a equac¸a\u2dco polar das co\u2c6nicas vamos usar a caracterizac¸a\u2dco dada na
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 351
Proposic¸a\u2dco 5.4 na pa´gina 334, ou seja, que uma co\u2c6nica e´ o lugar geome´trico dos pontos \ud443 que
satisfazem
dist(\ud443, \ud439 ) = \ud452 dist(\ud443, \ud460)
Como o foco \ud439 esta´ no polo, temos que dist(\ud443, \ud439 ) = \ud45f, em que (\ud45f, \ud703) sa\u2dco as coordenadas polares
de \ud443 .
(a) Se a reta diretriz, \ud460, e´ perpendicular ao eixo polar.
(i) Se a reta \ud460 esta´ a` direita do polo, obtemos que dist(\ud443, \ud45f) = \ud451\u2212 \ud45f cos \ud703. Assim a equac¸a\u2dco
da co\u2c6nica fica sendo
\ud45f = \ud452(\ud451\u2212 \ud45f cos \ud703).
Isolando \ud45f obtemos
\ud45f =
\ud451\ud452
1 + \ud452 cos \ud703
.
(ii) Se a reta \ud460 esta´ a` esquerda do polo, obtemos que dist(\ud443, \ud460) = \ud451 + \ud45f cos \ud703. Assim a
equac¸a\u2dco da co\u2c6nica fica sendo
\ud45f = \ud452(\ud451+ \ud45f cos \ud703).
Isolando \ud45f obtemos
\ud45f =
\ud451\ud452
1\u2212 \ud452 cos \ud703 .
(b) Se a reta diretriz, \ud460, e´ paralela ao eixo polar.
(i) Se a reta \ud460 esta´ acima do polo, obtemos que dist(\ud443, \ud45f) = \ud451 \u2212 \ud45f sen \ud703. Assim a equac¸a\u2dco
da co\u2c6nica fica sendo
\ud45f = \ud452(\ud451\u2212 \ud45f sen \ud703).
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
352 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
Isolando \ud45f obtemos
\ud45f =
\ud451\ud452
1 + \ud452 sen \ud703
.
(ii) Se a reta \ud460 esta´ abaixo do polo, obtemos que dist(\ud443, \ud45f) = \ud451 + \ud45f sen \ud703. Assim a equac¸a\u2dco
da co\u2c6nica fica sendo
\ud45f = \ud452(\ud451+ \ud45f sen \ud703).
Isolando \ud45f obtemos
\ud45f =
\ud451\ud452
1\u2212 \ud452 sen \ud703 .
Isto prova o seguinte resultado
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 353
Proposic¸a\u2dco 5.6. Considere uma co\u2c6nica com excentricidade \ud452 > 0 (que na\u2dco e´ uma circunfere\u2c6ncia),
que tem um foco \ud439 no polo e a reta diretriz \ud460 e´ paralela ou perpendicular ou eixo polar, com \ud451 =
dist(\ud460, \ud439 ).
(a) Se a reta diretriz correspondente a \ud439 e´ perpendicular ao eixo polar e esta´ a` direita do polo,
enta\u2dco a equac¸a\u2dco polar da co\u2c6nica e´
\ud45f =
\ud451\ud452
1 + \ud452 cos \ud703
e se esta´ a` esquerda do polo, enta\u2dco a equac¸a\u2dco polar da co\u2c6nica e´
\ud45f =
\ud451\ud452
1\u2212 \ud452 cos \ud703
(b) Se a reta diretriz correspondente a \ud439 e´ paralela ao eixo polar e esta´ acima do polo, enta\u2dco a
equac¸a\u2dco polar da co\u2c6nica e´
\ud45f =
\ud451\ud452
1 + \ud452 sen \ud703
e se esta´ abaixo do polo, enta\u2dco a equac¸a\u2dco polar da co\u2c6nica e´
\ud45f =
\ud451\ud452
1\u2212 \ud452 sen \ud703
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
354 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
x
y
\ud443
\ud45f
\ud703
\ud460
Figura 5.26: Parte de uma co\u2c6nica com foco no
polo e reta diretriz perpendicular ao eixo polar a`
direita
x
y
\ud443
\u2223\ud45f\u2223
=
\u2212\ud45f
\ud703
\ud460
Figura 5.27: Hipe´rbole com foco no polo e reta
diretriz perpendicular ao eixo polar a` direita
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 355
x
y
\ud443
\ud45f
\ud703
\ud460
Figura 5.28: Parte de uma co\u2c6nica com foco no
polo e reta diretriz perpendicular ao eixo polar a`
esquerda
x
y
\ud443
\u2223\ud45f\u2223
=
\u2212\ud45f
\ud703
\ud460
Figura 5.29: Hipe´rbole com foco no polo e reta
diretriz perpendicular ao eixo polar a` esquerda
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
356 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
x
y
\ud443
\ud45f
\ud703
\ud460
Figura 5.30: Parte de uma co\u2c6nica com foco no
polo e reta diretriz paralela ao eixo polar acima
x
y
\ud443
\u2223\ud45f
\u2223
=
\u2212
\ud45f
\ud703
\ud460
Figura 5.31: Hipe´rbole com foco no polo e reta
diretriz paralela ao eixo polar acima
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 357
Exemplo 5.3. Vamos identificar a co\u2c6nica cuja equac¸a\u2dco em coordenadas polares e´
\ud45f =
4
2 + cos \ud703
.
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro da equac¸a\u2dco por 2 obtemos
\ud45f =
2
1 + 1
2
cos \ud703
,
que e´ a equac¸a\u2dco em coordenadas polares de uma elipse com excentricidade igual a 1/2, um dos
focos no polo, reta diretriz \ud465 = 4 (coordenadas cartesianas) ou \ud45f cos \ud703 = 4 (coordenadas polares).
Fazendo \ud703 = 0 e \ud703 = \ud70b na equac¸a\u2dco polar da elipse encontramos \ud45f = 4/3 e \ud45f = 2, respectivamente.
(4/3, 0) e (2, \ud70b) sa\u2dco coordenadas polares de ve´rtices da elipse.
5.2.2 Circunfere\u2c6ncia em Coordenadas Polares
A forma mais simples da equac¸a\u2dco de uma circunfere\u2c6ncia em coordenadas polares ocorre quando
seu centro esta´ no polo. Neste caso a equac¸a\u2dco e´ simplesmente \ud45f = \ud44e, em que \ud44e e´ o raio da cir-
cunfere\u2c6ncia. Ale´m deste caso, a equac¸a\u2dco polar de uma circunfere\u2c6ncia assume uma forma simples
quando ela passa pelo polo e o seu centro esta´ no eixo polar ou na reta perpendicular ao eixo polar
que passa pelo polo.
(a) Se o centro esta´ no eixo polar.
(i) Se o raio e´ igual a \ud44e e o centro em coordenadas polares e´ \ud436 = (\ud44e, 0). Se \ud443 e´ um ponto
qualquer da circunfere\u2c6ncia, enta\u2dco
\ud44e2 = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud436\ud443 \u2223\u22232 = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud442\ud443 \u2212
\u2212\u2192
\ud442\ud436 \u2223\u22232 = \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud442\ud443 \u2223\u22232 + \u2223\u2223
\u2212\u2192
\ud442\ud436 \u2223\u22232 \u2212 2
\u2212\u2192
\ud442\ud443 \u22c5
\u2212\u2192
\ud442\ud436
= \ud45f2 + \ud44e2 \u2212 2\ud45f\ud44e cos \ud703.
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
358 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
x
y
\ud443
\ud45f
\ud703
\ud460
Figura 5.32: Parte de uma co\u2c6nica com foco no
polo e reta diretriz paralela ao eixo polar abaixo
x
y
\ud443
\u2223\ud45f
\u2223
=
\u2212
\ud45f
\ud703
\ud460
Figura 5.33: Hipe´rbole com foco no polo e reta
diretriz paralela ao eixo polar abaixo
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010