Matrizes  Vetores e Geometria Analítica
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Matrizes Vetores e Geometria Analítica


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Apenas que com (5.20) obtemos somente o
ramo direito da hipe´rbole e com (5.23), somente o ramo esquerdo.
Exemplo 5.8. Vamos mostrar que a parametrizac¸a\u2dco de uma curva em relac¸a\u2dco a qual sabemos sua
equac¸a\u2dco em coordenadas polares \ud45f = \ud453(\ud703) pode ser feita da seguinte forma
\ud465 = \ud453(\ud461) cos \ud461 e \ud466 = \ud453(\ud461) sen \ud461. (5.24)
A equac¸a\u2dco da curva em coordenadas cartesianas e´{ \u221a
\ud4652 + \ud4662 = \ud453(\ud703(\ud465, \ud466)), se \ud453(\ud703(\ud465, \ud466)) \u2265 0
\u2212
\u221a
\ud4652 + \ud4662 = \ud453(\ud703(\ud465, \ud466)), se \ud453(\ud703(\ud465, \ud466)) < 0.
ou \u221a
\ud4652 + \ud4662 = \u2223\ud453(\ud703(\ud465, \ud466))\u2223. (5.25)
Para a parametrizac¸a\u2dco (5.24) temos que\u221a
\ud4652 + \ud4662 \u2212 \u2223\ud453(\ud703(\ud465, \ud466))\u2223 =
\u221a
(\ud453(\ud461))2 cos2 \ud461+ (\ud453(\ud461))2 sen2 \ud461\u2212 \u2223\ud453(\ud461)\u2223 = 0.
O que mostra que (5.24) e´ uma parametrizac¸a\u2dco para (5.25) e portanto para \ud45f = \ud453(\ud703). Por exemplo,
\ud465 =
\ud452 cos \ud461
1 + \ud452 cos \ud461
e \ud466 =
\ud452 sen \ud461
1 + \ud452 cos \ud461
e´ uma parametrizac¸a\u2dco de uma co\u2c6nica com excentricidade \ud452 > 0, reta diretriz localizada a` direita a
uma dista\u2c6ncia igual a 1 e um dos focos na origem.
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374 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
x
y
\ud461
(\ud44f, \ud44f tan \ud461) (\ud44e sec \ud461, \ud44f tan \ud461)
(\ud44e cos \ud461, \ud44e sen \ud461)
Figura 5.42: Hipe´rbole parametrizada usando
secante e tangente
x
y
(\ud44e cosh \ud461, \ud44f senh \ud461)(\u2212\ud44e cosh \ud461, \ud44f senh \ud461)
Figura 5.43: Hipe´rbole parametrizada usando
as func¸o\u2dces hiperbo´licas
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5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 375
x
y
\ud461
( \ud452 cos \ud461
1+\ud452 cos \ud461
, \ud452 sen \ud461
1+\ud452 cos \ud461
)
Figura 5.44: Elipse com foco na origem parame-
trizada usando a sua fo´rmula em coordenadas
polares
x
y
( \ud452 cos \ud461
1+\ud452 cos \ud461
, \ud452 sen \ud461
1+\ud452 cos \ud461
)
\ud461
( \ud452 cos \ud461
\u2032
1+\ud452 cos \ud461\u2032
, \ud452 sen \ud461
\u2032
1+\ud452 cos \ud461\u2032
)
\ud461\u2032
Figura 5.45: Hipe´rbole com foco na origem pa-
rametrizada usando a sua fo´rmula em coorde-
nadas polares
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376 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
Exerc\u131´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 632)
5.2.1. Transformar a equac¸a\u2dco em coordenadas retangulares em uma equac¸a\u2dco em coordenadas pola-
res:
(a) \ud4652 + \ud4662 = 4
(b) \ud4652 \u2212 \ud4662 = 4
(c) \ud4652 + \ud4662 \u2212 2\ud466 = 0
(d) \ud4652 \u2212 4\ud466 \u2212 4 = 0
5.2.2. Transformar a equac¸a\u2dco em coordenadas polares em uma equac¸a\u2dco em coordenadas retangula-
res:
(a) \ud45f = 2
1\u2212 3 cos \ud703
(b) \ud45f = 4 sen \ud703
(c) \ud45f = 9 cos \ud703
(d) \ud45f = 3
2 + sen \ud703
(e) \ud45f = tan \ud703
(f) \ud45f(\ud44e cos \ud703 + \ud44f sen \ud703)\u2212 \ud450 = 0
5.2.3. Identificar a co\u2c6nica cuja equac¸a\u2dco em coordenadas polares e´ dada. Determine a excentricidade,
a equac¸a\u2dco da diretriz, a dista\u2c6ncia da diretriz ao foco e as coordenadas polares de dois ve´rtices:
(a) \ud45f = 5
2\u2212 2 cos \ud703
(b) \ud45f = 6
3 + sen \ud703
(c) \ud45f = 3
2 + 4 cos \ud703
(d) \ud45f = 4
2\u2212 3 cos \ud703
5.2.4. Determine o raio e e as coordenadas polares do centro da circunfere\u2c6ncia cuja equac¸a\u2dco em
coordenadas polares e´ dada:
(a) \ud45f = 4 cos \ud703
(b) \ud45f = \u22123 sen \ud703
(c) \ud45f = 3
2
cos \ud703
(d) \ud45f = \u22124
3
sen \ud703
5.2.5. Descreva as regio\u2dces a seguir usando coordenadas polares:
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5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 377
(a)
 1
 2
 3
 4
 5
 1 2 3 4 5
x
y
x2+y2 = 25
(b)
-5
-4
-3
-2
-1
 1
 2
 3
 4
 5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
y
x2+y2 = 18
(c)
 1
 2
 3
 4
 5
 1 2 3 4 5
x
y
x2+y2 = 4
y = x
y = x/2
(d)
-3
-2
-1
 1
 2
 3
 1 2 3 4 5 6
x
y
(x-2)2+y2 = 4
y = x/2
Exerc\u131´cios Teo´ricos
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
378 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
5.2.6. A equac¸a\u2dco da trajeto´ria de uma part\u131´cula lanc¸ada do ponto \ud4430 = (0, 0), com velocidade \ud4630,
fazendo um a\u2c6ngulo \ud6fc com o eixo x e sujeita apenas a ac¸a\u2dco da acelerac¸a\u2dco da gravidade \ud454 e´
dada por
\ud466 = (tan\ud6fc) \ud465\u2212 \ud454
2\ud46320 cos
2 \ud6fc
\ud4652.
Mostre que \ud465 = (\ud4630 cos\ud6fc) \ud461 e \ud466 = (\ud4630 sen\ud6fc) \ud461 \u2212 \ud454
2
\ud4612 sa\u2dco equac¸o\u2dces parame´tricas da trajeto´ria
da part\u131´cula.
5.2.7. Se o centro de uma circunfere\u2c6ncia que passa pelo polo e´ (\ud44e, \ud6fc), mostre que sua equac¸a\u2dco em
coordenadas polares e´ \ud45f = 2\ud44e cos(\ud703 \u2212 \ud6fc).
5.2.8. Se a co\u2c6nica de equac¸a\u2dco \ud45f = \ud451\ud452
1\u2212 \ud452 cos \ud703 representa uma para´bola, determine as coordenadas
polares do seu ve´rtice e a equac¸a\u2dco em coordenadas polares da reta diretriz.
5.2.9. Se a co\u2c6nica de equac¸a\u2dco \ud45f = \ud451\ud452
1 + \ud452 cos \ud703
representa uma elipse, mostre que o comprimento do
seu eixo menor e´
2\ud451\ud452\u221a
1\u2212 \ud4522 .
5.2.10. Mostre que a equac¸a\u2dco em coordenadas polares de uma elipse com um dos focos no polo, que
tem eixo maior igual a 2\ud44e e excentricidade \ud452 e´
\ud45f =
\ud44e(1\u2212 \ud4522)
1\u2212 \ud452 cos \ud703 .
5.2.11. Considere uma co\u2c6nica com excentricidade \ud452 > 0 (que na\u2dco e´ uma circunfere\u2c6ncia), que tem um
foco \ud439 no polo e a reta diretriz \ud460 e´ paralela ou perpendicular ou eixo polar, com \ud451 = dist(\ud460, \ud439 ).
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5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas 379
Seja \ud45d = \ud451\ud4522
1\u2212\ud4522 , se a reta \ud460 estiver a` direita do foco \ud439 e \ud45d =
\ud451\ud4522
\ud4522\u22121 , se a reta \ud460 estiver a` esquerda
do foco \ud439 .
(a) Se a reta diretriz correspondente a \ud439 e´ perpendicular ao eixo polar e esta´ a` direita ou a`
esquerda do polo, enta\u2dco a equac¸a\u2dco cartesiana da co\u2c6nica e´
(\ud465+ \ud45d)2
\ud45d2
\ud4522
+
\ud4662
\ud45d2(1\u2212\ud4522)
\ud4522
= 1
(b) Se a reta diretriz correspondente a \ud439 e´ paralela ao eixo polar e esta´ acima ou abaixo do
polo, enta\u2dco a equac¸a\u2dco cartesiana da co\u2c6nica e´
\ud4652
\ud45d2(1\u2212\ud4522)
\ud4522
+
(\ud466 + \ud45d)2
\ud45d2
\ud4522
= 1
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Cap\u131´tulo 6
Superf\u131´cies e Curvas no Espac¸o
6.1 Qua´dricas
Nesta sec¸a\u2dco estudaremos as superf\u131´cies que podem ser representadas pelas equac¸o\u2dces
quadra´ticas nas varia´veis \ud465, \ud466 e \ud467, ou seja, da forma
\ud44e\ud4652 + \ud44f\ud4662 + \ud450\ud4672 + \ud451\ud465\ud466 + \ud452\ud465\ud467 + \ud453\ud466\ud467 + \ud454\ud465+ \u210e\ud466 + \ud456\ud467 + \ud457 = 0,
em que \ud44e, \ud44f, \ud450, \ud451, \ud452, \ud453, \ud454, \u210e, \ud456, \ud457 \u2208 \u211d, com \ud44e, \ud44f, \ud450, \ud451, \ud452, \ud453 na\u2dco simultaneamente nulos. Vamos nos limitar
neste cap\u131´tulo ao estudo de casos especiais da equac¸a\u2dco acima.
6.1.1 Elipso´ide
Um elipso´ide e´ um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfaz a equac¸a\u2dco
380
6.1 Qua´dricas 381
y
z
x
Figura 6.1: Elipso´ide de equac¸a\u2dco \ud4652
\ud44e2
+ \ud466
2
\ud44f2
+ \ud467
2
\ud4502
= 1
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382 Superf\u131´cies e Curvas no Espac¸o
y
z
x
Figura 6.2: Elipso´ide e intersec¸o\u2dces com os planos \ud467 = \ud458
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
6.1 Qua´dricas 383
\ud4652
\ud44e2
+
\ud4662
\ud44f2
+
\ud4672
\ud4502
= 1, (6.1)
em que \ud44e, \ud44f e \ud450 sa\u2dco nu´meros reais positivos.
Observe que se o ponto (\ud465, \ud466, \ud467) satisfaz (6.1), enta\u2dco o ponto sime´trico em relac¸a\u2dco ao plano xy,
(\ud465, \ud466,\u2212\ud467), tambe´m satisfaz, por isso dizemos que o elipso´ide (6.1) e´ sime´trico em relac¸a\u2dco ao plano
xy. Tambe´m (\ud465,\u2212\ud466, \ud467) satisfaz (6.1), por isso dizemos que o elipso´ide (6.1) e´ sime´trico em relac¸a\u2dco ao
plano xz. O mesmo acontece com (\u2212\ud465, \ud466, \ud467), por isso dizemos que o elipso´ide (6.1) e´ sime´trico em
relac¸a\u2dco ao plano yz. Se o ponto (\ud465, \ud466, \ud467) satisfaz (6.1), enta\u2dco o ponto sime´trico em relac¸a\u2dco ao eixo z,
(\u2212\ud465,\u2212\ud466, \ud467), tambe´m satisfaz, por isso dizemos que o elipso´ide (6.1) e´ sime´trico em relac¸a\u2dco ao eixo
z. O mesmo acontece com (\u2212\ud465, \ud466,\u2212\ud467), por isso dizemos que o elipso´ide (6.1) e´ sime´trico em relac¸a\u2dco
ao eixo y. O mesmo acontece com (\ud465,\u2212\ud466,\u2212\ud467), por isso dizemos que o elipso´ide (6.1) e´ sime´trico em
relac¸a\u2dco ao eixo x. Finalmente se o ponto (\ud465, \ud466, \ud467) satisfaz (6.1), enta\u2dco o ponto sime´trico em relac¸a\u2dco a`
origem, (\u2212\ud465,\u2212\ud466,\u2212\ud467), tambe´m satisfaz, por isso dizemos que o elipso´ide (6.1) e´ sime´trico em relac¸a\u2dco
a` origem.
Se \u2223\ud458\u2223 < \ud450, o plano \ud467 = \ud458 intercepta o elipso´ide (6.1) segundo a elipse
\ud4652
\ud44e2
(
1\u2212 \ud4582
\ud4502
) + \ud4662
\ud44f2
(
1\u2212 \ud4582
\ud4502
) = 1, \ud467 = \ud458.
Observe que os eixos da elipse diminuem a` medida que \u2223\ud458\u2223 aumenta.
As intersec¸o\u2dces do elipso´ide (6.1) com o plano \ud465 = \ud458, para \u2223\ud458\u2223 < \ud44e e com o plano \ud466 = \ud458, para
\u2223\ud458\u2223 < \ud44f, sa\u2dco tambe´m elipses. Se \ud44e = \ud44f = \ud450, o elipso´ide e´ uma esfera de raio \ud45f = \ud44e = \ud44f = \ud450.
Marc¸o