Matrizes  Vetores e Geometria Analítica
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Matrizes Vetores e Geometria Analítica


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\ud435, para
\ud456 = 1, 2, 3 (o caso geral esta´ no Exerc\u131´cio 1.1.15 na pa´gina 26).
(c) \ud436\ud437 = [ \ud4511\ud4361 \ud4512\ud4362 \ud4513\ud4363 ], em que \ud4361 =
\u23a1
\u23a3 \u221220
\u22121
\u23a4
\u23a6, \ud4362 =
\u23a1
\u23a3 11
0
\u23a4
\u23a6 e \ud4363 =
\u23a1
\u23a3 \u221211
1
\u23a4
\u23a6, sa\u2dco as
colunas de \ud436 (o caso geral esta´ no Exerc\u131´cio 1.1.16 (a) na pa´gina 27).
(d) \ud437\ud436 =
\u23a1
\u23a3 \ud4511\ud4361\ud4512\ud4362
\ud4513\ud4363
\u23a4
\u23a6, em que \ud4361 = [ \u22122 1 \u22121 ], \ud4362 = [ 0 1 1 ] e
\ud4363 =
[ \u22121 0 1 ] sa\u2dco as linhas de \ud436 (o caso geral esta´ no Exerc\u131´cio 1.1.16 (b) na
pa´gina 27).
(e) Escrevendo \ud435 em termos das suas colunas, \ud435 = [ \ud4351 \ud4352 ], em que \ud4351 =
\u23a1
\u23a3 22
0
\u23a4
\u23a6 e
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1.1 Matrizes 21
\ud4352 =
\u23a1
\u23a3 \u221210
3
\u23a4
\u23a6, o produto \ud434\ud435 pode ser escrito como \ud434\ud435 = \ud434 [ \ud4351 \ud4352 ] = [ \ud434\ud4351 \ud434\ud4352 ]
(o caso geral esta´ no Exerc\u131´cio 1.1.17 (a) na pa´gina 28).
(f) escrevendo \ud434 em termos das suas linhas, \ud4341 =
[ \u22123 2 1 ] e \ud4342 = [ 1 2 \u22121 ], o
produto \ud434\ud435 pode ser escrito como \ud434\ud435 =
[
\ud4341
\ud4342
]
\ud435 =
[
\ud4341\ud435
\ud4342\ud435
]
(o caso geral esta´ no
Exerc\u131´cio 1.1.17 (b) na pa´gina 28).
1.1.4. Sejam
\ud434 =
[
1 \u22123 0
0 4 \u22122
]
e \ud44b =
\u23a1
\u23a3 \ud465\ud466
\ud467
\u23a4
\u23a6 .
Verifique que \ud465\ud4341 + \ud466\ud4342 + \ud467\ud4343 = \ud434\ud44b , em que \ud434\ud457 e´ a \ud457-e´sima coluna de \ud434, para \ud457 = 1, 2, 3
(o caso geral esta´ no Exerc\u131´cio 1.1.18 na pa´gina 29).
1.1.5. Encontre um valor de \ud465 tal que \ud434\ud435\ud461 = 0, em que
\ud434 =
[
\ud465 4 \u22122 ] e \ud435 = [ 2 \u22123 5 ] .
1.1.6. Mostre que as matrizes \ud434 =
[
1 1
\ud466
\ud466 1
]
, em que \ud466 e´ uma nu´mero real na\u2dco nulo, verificam a
equac¸a\u2dco \ud44b2 = 2\ud44b .
1.1.7. Mostre que se \ud434 e \ud435 sa\u2dco matrizes que comutam com a matriz \ud440 =
[
0 1
\u22121 0
]
, enta\u2dco \ud434\ud435 =
\ud435\ud434.
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22 Matrizes e Sistemas Lineares
1.1.8. (a) Determine todas as matrizes\ud434, 2×2, diagonais (os elementos que esta\u2dco fora da diagonal
sa\u2dco iguais a zero) que comutam com toda matriz \ud435, 2 × 2, ou seja, tais que \ud434\ud435 = \ud435\ud434,
para toda matriz \ud435, 2× 2.
(b) Determine todas as matrizes \ud434, 2 × 2, que comutam com toda matriz \ud435, 2 × 2, ou seja,
tais que \ud434\ud435 = \ud435\ud434, para toda matriz \ud435, 2× 2.
Exerc\u131´cios usando o MATLAB\u24c7
Uma vez inicializado o MATLAB\u24c7, aparecera´ na janela de comandos um prompt >> ou EDU>>.
O prompt significa que o MATLAB\u24c7 esta´ esperando um comando. Todo comando deve ser
finalizado teclando-se Enter. Comandos que foram dados anteriormente podem ser obtidos
novamente usando as teclas \u2191 e \u2193. Enquanto se estiver escrevendo um comando, este pode
ser corrigido usando as teclas \u2190, \u2192, Delete e Backspace. O MATLAB\u24c7 faz diferenc¸a entre
letras maiu´sculas e minu´sculas.
No MATLAB\u24c7, pode-se obter ajuda sobre qualquer comando ou func¸a\u2dco. O comando
>> help
(sem o prompt >>) mostra uma listagem de todos os pacotes dispon\u131´veis. Ajuda sobre um
pacote espec\u131´fico ou sobre um comando ou func¸a\u2dco espec\u131´fica pode ser obtida com o comando
>> help nome,
(sem a v\u131´rgula e sem o prompt >>) em que nome pode ser o nome de um pacote ou o nome de
um comando ou func¸a\u2dco.
Ale´m dos comandos e func¸o\u2dces pre´-definidas, escrevemos um pacote chamado gaal
com func¸o\u2dces espec\u131´ficas para a aprendizagem de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Li-
near. Este pacote pode ser obtido gratuitamente atrave´s da internet no enderec¸o
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
1.1 Matrizes 23
http://www.mat.ufmg.br/\u2dcregi, assim como um texto com uma introduc¸a\u2dco ao MATLAB\u24c7 e
instruc¸o\u2dces de como instalar o pacote gaal. Depois deste pacote ser devidamente instalado, o
comando help gaal no prompt do MATLAB\u24c7 da´ informac¸o\u2dces sobre este pacote.
Mais informac¸o\u2dces sobre as capacidades do MATLAB\u24c7 podem ser obtidas em [5, 19].
Vamos descrever aqui alguns comandos que podem ser usados para a manipulac¸a\u2dco de matri-
zes. Outros comandos sera\u2dco introduzidos a medida que forem necessa´rios.
>> syms x y z diz ao MATLAB\u24c7 que as varia´veis x y e z sa\u2dco simbo´licas.
>> A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...; ...,amn] cria uma matriz, \ud45a por \ud45b, usando os
elementos a11, a12, ..., amn e a armazena numa varia´vel de nome A. Por exemplo, >>
A=[1,2,3;4,5,6] cria a matriz \ud434 =
[
1 2 3
4 5 6
]
;
>> I=eye(n) cria a matriz identidade \ud45b por \ud45b e a armazena numa varia´vel I;
>> O=zeros(n) ou >> O=zeros(m,n) cria a matriz nula \ud45b por \ud45b ou \ud45a por \ud45b, respectivamente,
e a armazena numa varia´vel O;
>> A+B e´ a soma de A e B,
>> A*B e´ o produto de A por B,
>> A.\u2019 e´ a transposta de A,
>> A-B e´ a diferenc¸a A menos B,
>> num*A e´ o produto do escalar num por A,
>> A\u2c6k e´ a pote\u2c6ncia A elevado a \ud458.
>> A(:,j) e´ a coluna \ud457 da matriz A, >> A(i,:) e´ a linha \ud456 da matriz A.
>> diag([d1,...,dn]) cria uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal sa\u2dco iguais aos
elementos da matriz [d1,...,dn], ou seja, sa\u2dco d1,...,dn.
>> A=sym(A) converte a matriz A numa matriz em que os elementos sa\u2dco armazenados no
formato simbo´lico. A func¸a\u2dco numeric faz o processo inverso.
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24 Matrizes e Sistemas Lineares
>> solve(expr) determina a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco expr=0. Por exemplo,
>> solve(x\u2c62-4) determina as soluc¸o\u2dces da equac¸a\u2dco \ud4652 \u2212 4 = 0;
Comando do pacote GAAL:
>> A=randi(n) ou >> A=randi(m,n) cria uma matriz n por n ou m por n, respectivamente,
com elementos inteiros aleato´rios entre \u22125 e 5.
1.1.9. Use o MATLAB\u24c7 para calcular alguns membros da sequ¨e\u2c6ncia \ud434, \ud4342, . . . , \ud434\ud458, . . ., para
(a) \ud434 =
[
1 1
2
0 1
3
]
; (b) \ud434 =
[
1
2
1
3
0 \u22121
5
]
.
A sequ¨e\u2c6ncia parece estar convergindo para alguma matriz? Se estiver, para qual?
1.1.10. Calcule as pote\u2c6ncias das matrizes dadas a seguir e encontre experimentalmente (por tentativa!)
o menor inteiro \ud458 > 1 tal que (use o comando >> A=sym(A) depois de armazenar a matriz na
varia´vel A):
(a) \ud434\ud458 = \ud43c3, em que
\ud434 =
\u23a1
\u23a3 0 0 11 0 0
0 1 0
\u23a4
\u23a6 ;
(b) \ud434\ud458 = \ud43c4, em que
\ud434 =
\u23a1
\u23a2\u23a2\u23a3
0 1 0 0
\u22121 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
\u23a4
\u23a5\u23a5\u23a6;
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1.1 Matrizes 25
(c) \ud434\ud458 = 0¯, em que
\ud434 =
\u23a1
\u23a2\u23a2\u23a3
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
\u23a4
\u23a5\u23a5\u23a6.
1.1.11. Vamos fazer um experimento no MATLAB\u24c7 para tentar ter uma ide´ia do qua\u2dco comum e´ encontrar
matrizes cujo produto comuta. No prompt do MATLAB\u24c7 digite a seguinte linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=randi(3);B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;end,end,c
(na\u2dco esquec¸a das v\u131´rgulas e pontos e v\u131´rgulas!). O que esta linha esta´ mandando o MATLAB\u24c7
fazer e´ o seguinte:
\u2219 Criar um contador c e atribuir a ele o valor zero.
\u2219 Atribuir a`s varia´veis A e B, 1000 matrizes 3×3 com entradas inteiras e aleato´rias entre\u22125
e 5.
\u2219 Se AB=BA, ou seja, A e B comutarem, enta\u2dco o contador c e´ acrescido de 1.
\u2219 No final o valor existente na varia´vel c e´ escrito.
Qual a conclusa\u2dco que voce\u2c6 tira do valor obtido na varia´vel c?
1.1.12. Fac¸a um experimento semelhante ao anterior, mas para o caso em que cada uma das matrizes
e´ diagonal, isto e´, os elementos que esta\u2dco fora da diagonal sa\u2dco iguais a zero. Use a seta para
cima \u2191 para obter novamente a linha digitada e edite a linha no prompt do MATLAB\u24c7 de forma a
obter algo semelhante a` linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=diag(randi(1,3));if( ....
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26 Matrizes e Sistemas Lineares
Qual a conclusa\u2dco que voce\u2c6 tira do valor obtido na varia´vel c?
1.1.13. Fac¸a um experimento semelhante ao anterior, mas para o caso em que uma das matrizes e´
diagonal. Use a seta para cima \u2191 para obter novamente a linha digitada e edite a linha no
prompt do MATLAB\u24c7 de forma a obter a seguinte linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;A,B,end,end,c
Aqui sa\u2dco impressas as matrizes A e B quando elas comutarem. Qual a conclusa\u2dco que voce\u2c6 tira
deste experimento? Qual a probabilidade de um tal par de matrizes comutarem?
1.1.14. Use o MATLAB\u24c7 para resolver os Exerc\u131´cios Nume´ricos.
Exerc\u131´cios Teo´ricos
1.1.15. Sejam \ud4381 =
\u23a1
\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a2\u23a3
1
0
0
.
.
.
0
\u23a4
\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a5\u23a6