Exercícios de Fixação_04

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 4
Temas abordados : Continuidade; Reta tangente
Sec¸o˜es do livro: 2.6; 2.7
1) Explique o que significa dizer que uma func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto x = x0.
2) Sabe-se que limx→2 f(x) = 5 e f esta´ definida em R. Todas as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o
falsas. Desenhe um contra-exemplo para cada uma delas.
(a) f(x) > 0 para x ∈ (1, 3) (b) f(2) = 5 (c) f(2) e´ positivo
3) Suponha que x2 cos2(x) ≤ f(x) ≤ x sen(x), para todo x ∈ (−pi/2, pi/2). Verifique que f
e´ cont´ınua em x = 0.
4) Para cada uma das func¸o˜es f abaixo, verifique se existe uma func¸a˜o cont´ınua F : R→ R
tal que F (x) = f(x) para todo x ∈ Dom(f). Em caso afirmativo, determine F (x), em
caso negativo, explique porque tal func¸a˜o na˜o pode existir.
(a) f(x) =
|x|
x
(b) f(x) =
x2 − 4
x− 2
5) Decida se a func¸a˜o f(x) =
{
x3 cos(1/x) se x 6= 0,
1 se x = 0,
e´ cont´ınua em x = 0.
6) Decida se a func¸a˜o func¸a˜o g(x) =

√
x− 1
x− 1 se x 6= 1,
1/2 se x = 1,
e´ cont´ınua em x = 1.
7) Determine a ∈ R tal que a func¸a˜o f(x) =
{
1 + ax se x ≤ 0,
x4 + 2a se x > 0,
seja cont´ınua em x = 0.
8) Determine a, b ∈ R tal que a func¸a˜o f(x) =
 −
√
2− x se x < 1,
ax+ b se 1 ≤ x < 2,
|x2 − 7x+ 12| se x ≥ 2, ,
seja
cont´ınua.
9) Seja f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, onde a > 0 e b, c, d ∈ R sa˜o dados. Mostre que f possui
pelo menos uma ra´ız.
10) Para cada func¸a˜o abaixo determine um intervalo de comprimento 1 que possua pelo
menos uma ra´ız da func¸a˜o.
(a) f(x) = x3 + x− 1 (b) g(x) = x3 + 3x− 5 (c) h(x) = 1 + x cos
(pix
2
)
11) Verifique que existe x ∈ R tal que sen(x) = x− 1.
12) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)) em cada um
dos casos abaixo.
(a) f(x) = x2 − x+ 1, x0 = 1 (b) f(x) = 1/x, x0 = −2
(c) f(x) =
√
x, x0 = 4 (d) f(x) = 1/
√
x, x0 = 1
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 4 - Pa´gina 1 de 2
RESPOSTAS
1) A func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto x = x0 se lim
x→x0
f(x) = f(x0). Desse modo, o ponto x0
tem que estar no domı´nio de f , o limite nesse ponto deve existir e coincidir com o valor
da func¸a˜o no ponto.
2)
3) Fazendo x = 0 conclu´ımos que f(0) = 0. Ale´m disso, como lim
x→0
x2 cos2(x) = 0 =
lim
x→0
x sen(x), segue do Teorema do Sandu´ıche que lim
x→0
f(x) = 0.
4) (a) Na˜o, pois na˜o existe o limite lim
x→0
f(x). Esse u´ltimo na˜o existe porque os limites
laterais, apesar de existirem, sa˜o diferentes.
(b) F (x) = x+ 2
5) Na˜o, pois lim
x→0
f(x) = lim
x→0
x3 cos(1/x) = 0 6= 1 = f(0).
6) Sim, pois lim
x→1
g(x) = lim
x→1
√
x− 1
(
√
x− 1)(√x+ 1) =
1
2
= f(1).
7) a = 1/2
8) a = 3, b = −4
9) Calcule os limites no infinito da func¸a˜o e use o Teorema do Valor Intermedia´rio (TVI).
10) (a) f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1). Como f e´ cont´ınua em [0, 1] segue do TVI que existe
c ∈ [0, 1] tal que f(c) = 0
(b) [1, 2]
(c) [1
2
, 3
2
]
11) Use o TVI para obter uma ra´ız da func¸a˜o h(x) = x− 1− sen(x).
12) (a) y = x (b) y = −1
4
x− 1 (c) y = 1
4
x+ 1 d) y = −1
2
x+
3
2
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