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# Calculo - cap5

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x
)y,x(gi
n
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+
+\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202\u2212
=
\u2192\u2192\u2192
\u2192
(5.23)
Sabemos que, neste caso:
dxdy
y
g
x
g1dS
22
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+= (5.24)

Então
dxdyk
y
yxgj
x
yxgiF
dxdy
y
g
x
g
y
g
x
g
k
y
yxgj
x
yxgi
FdSnF
D
DS
\u222b\u222b
\u222b\u222b\u222b\u222b
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b +\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202\u2212
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+\u22c5
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+
+\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202\u2212
=
\u2192\u2192\u2192\u2192
\u2192\u2192\u2192
\u2192
),(),(
1
1
),(),(
22
22
(5.25)
Capítulo 5- Integral de Superfície

65
Exercícios:
1) Calcule o fluxo do campo vetorial )z2,y,x( )z,y,x(F \u2212=\u2192 através da superfície S do
parabolóide 1z0,yxz 22 \u2264\u2264+= , com vetor normal apontado para a fora de S.
Solução:
A superfície S é definida por Dyxyxyxfz \u2208+== ),(,),( 22 ,onde
}{ 1/),( 222 \u2264+\u211c\u2208= yxyxD . Um campo de vetores normais que aponta para a fora do S em
y
f),y,x(
x
fn \u2212=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212\u2202
\u2202
\u2202
\u2202=\u2192
[ ]
22
22
441
)1,2,2().22,,().(
yx
yxyxyxdsnF
s
S
++
\u2212\u2212\u2212== \u222b\u222b \u222b\u222b\u3c6 ds = dxdyyx
D
)(4 22 +\u222b\u222b .
Usando mudança polar para resolver a integral dupla, obtemos
\u222b \u222b\u222b\u222b ==+ \u3c0 \u3c0\u3b82
0
3
1
0
22 24)(4 drdrdxdyyx
D

2) Calcule \u222b\u222b \u2192\u2192S ds)n.F( onde )1,x,x()z,y,x(F \u2212\u2212=\u2192 e S é a porção do plano 0zyx =++
situado no interior da esfera 1zyx 222 =++ . Especifique a orientação escolhida.
Solução:
S é definida por Dyxyxyxfz \u2208\u2212\u2212== ),(,),( , onde
{ } 1222/),( 222 \u2264++\u211c\u2208= xyyxyxD
Escolhendo o campo de vetores normais de S dado por

\u2192
n =(1,1,1),
Obtemos \u222b\u222b \u222b\u222b \u222b\u222b =\u2212=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212\u2212=
S S s
dsdsxxdsnF
3
1
3
)1,1,1().1,,( ).( .
3
(S) área
3
1 \u3c0\u2212=\u2212

3) Calcule \u222b\u222b \u2192\u2192\u22c5
S
ds)nF( ,onde )zx,y,x()z,y,x(F 2=\u2192 e S é a superfície do cilindro
1)1()1( 22 =\u2212+\u2212 yx entre o planos 4z e 0z == , com vetor normal apontando para fora de
S.
Solução:
O cilindro S tem representação paramétrica:
( ) ( ) .40 ,20 ; ,sen1,cos1, \u2264\u2264\u2264\u2264++= uuu \u3c0\u3b8\u3b8\u3b8\u3b8\u3d5
Um campo de vetores normais que aponta para fora de S em cada ponto é dado por
Capítulo 5- Integral de Superfície

66
( ).0,sen,cos
100
0cossen
kji
)u,(
u
)u,( \u3b8\u3b8\u3b8\u3b8\u3b8\u3d5\u3b8\u3b8
\u3d5 =\u2212=\u2202
\u2202×\u2202
\u2202
\u2192\u2192\u2192

( )( ) ( )
( ) .8du 2du d 1sencos
ds
1
0,sen,cosucos1,sen1,cos1ds)nF(
4
0
4
0
2
0
S
2
S
\u222b\u222b \u222b
\u222b\u222b\u222b\u222b
==++
=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u22c5+++=\u22c5
\u3c0\u3c0\u3b8\u3b8\u3b8
\u3b8\u3b8\u3b8\u3b8\u3b8
\u3c0

4) Calcule ds nF
S
\u222b\u222b \u239f\u23a0\u239e\u239c\u239d\u239b \u22c5
\u2192\u2192
, onde ( ) ( )z2,y,xz,y,xF =\u2192 e S é a união dos planos
.10 , 10 , 0 e , 10 , 10 , 0 \u2264\u2264\u2264\u2264=+\u2264\u2264\u2264\u2264=\u2212 zxzyzxzy
Solução:
S é a união das superfícies S1 e S2, onde S1 é a porção do plano yz = cuja projeção no
plano xy é o quadrado [ ] [ ]1,01,01 ×=D , e S2 é a porção do plano yz \u2212= cuja a projeção do
Se considerarmos S1 e S2 com os campos e vetores normais
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212\u2212=\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212=
2
1,
2
1,0n e
2
1,
2
1,0 21n , respectivamente, S estará orientada.
( ) ( )
.1
2
1
2
1

2
1,
2
1,02,,
2
1,
2
1,02,,

0
1
1
0
1
0
1
0
21
2
2
1
1
\u222b \u222b\u222b \u222b
\u222b\u222b\u222b\u222b
\u222b\u222b\u222b\u222b\u222b\u222b
\u2212
\u2192\u2192\u2192\u2192\u2192\u2192
\u2212=\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b\u2212+\u2212=+\u2212=
=\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212\u2212\u22c5\u2212+\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212\u22c5=
=\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u22c5+\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u22c5=\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u22c5
ydxdyydxdy
dsyyxdsyyx
dsnFdsnFdsnF
SS
SSS

5.3.
Superfícies Orientáveis
Fixado um campo de vetores unitários normais a S, dizemos que S é orientável se n
percorre o s\u2202 de S deixando S à esquerda do caminho traçado por n em s\u2202 .Neste caso,
dizemos que S está orientada positivamente.

Capítulo 5- Integral de Superfície

67

\u2192
n

s\u2202
S

Figura 5.2 \u2013 Superfície orientável.
\u2192
n

Uma superfície S= S1 U S2 U .... U Sn é orientável se 1s\u2202 está orientada positivamente
\u2200 l e nas interseções as orientações são oposta

a)
\u2192
n

b) c)

n saindo do papel

Figura 5.3- Superfície orientável obtida através de uma união de superfícies.

5.4.
Aplicações das Integrais de Superfície

a) Fluxo de um Campo
O cálculo do fluxo de um campo através de uma superfície pode ser calculado via
integral de superfície. O fluxo de
\u2192
F sobre S é dado por:
S1

Capítulo 5- Integral de Superfície

68
\u222b\u222b \u2192\u2192\u22c5=
S
nFfluxo (5.26)
onde
\u2192
n é o vetor unitário normal a S no ponto (x,y,z).
Uma vez que a fronteira do sólido seja definida por um número (finito) de faces
sólido.

b) Fluxo de Campo Elétrico e Campo Magnético
Numa primeira abordagem, podemos dizer que : Fluxo de campo elétrico = intensidade
de campo elétrico x área perpendicular ao campo.
Logo, veremos que essa definição é muito simplificada, e tem pouco valor operacional,
porque em geral o valor de
\u2192
E varia ao longo da superfície, e nem sempre esta é
perpendicular ao campo. Podemos melhorar a definição, dividindo a superfície em elementos
tão pequenos quanto possível, de modo que
\u2192
E seja constante nessa área infinitesimal. A esta
área associamos um vetor
\u2192
Sd , cuja direção é perpendicular à área e cujo módulo é igual à
área. Podemos manter a idéia intuitiva definindo fluxo infinitesimal:
\u2192\u2192\u22c5= SdEd\u3a6 (5.27)
Assim, o fluxo através de determinada área S é dado pela integral de superfície
\u222b \u2192\u2192\u22c5=
S
SdE\u3a6 (5.28)

No caso de uma superfície fechada, o vetor área é convencionalmente dirigido de
dentro para fora. O fluxo através de uma superfície fechada é assim representado:
\u222b \u2192\u2192\u22c5=
S
SdE\u3a6 (5.29)

c) Campo Elétrico através da Lei de Gauss
Seja uma carga Q. Imagine uma superfície qualquer, fechada, envolvendo esta carga. A
lei de Gauss estabelece que:
o
QSdE \u3b5\u3a6 =\u22c5= \u222b
\u2192\u2192
(5.30)
A lei de Gauss é válida para qualquer situação, com campo uniforme ou não, e para
Capítulo 5- Integral de Superfície

69
ser operacionalmente útil ela deve ser usada apenas em determinadas circunstâncias. Uma
circunstância favorável ocorre quando a superfície Gaussiana é tal que o produto escalar entre
o campo e o vetor superfície é facilmente obtido. Logo, podemos perceber que a Lei de
Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico ( visto no item anterior ) com a quantidade de carga
no interior da gaussiana, e desta relação podemos obter o valor do campo elétrico gerado por

Exercícios:
1) Calcule o fluxo de campo magnético através da seção transversal de um solenóide circular
de raio R e campo magnético uniforme B = \u3bc0ni0 perpendicular a superfície.
Solução:
\u222b \u222b \u222b\u222b \u2192\u2192\u2192 ==== dsBdsBdsBsdB
s
.0cos..cos... \u3b8\u3c6 rrB
2
.00 RniS.BdsB \u3c0\u3bc\u222b ===
\u2192\u2192

2) Calcule o fluxo de um campo elétrico kxy2j)yx(i10)z,y,x(E 22
rrrr \u2212++= através da
superfície .1y0,1x0,k)yx1(jyix)t( 22 \u2264\u2264\u2264\u2264\u2212\u2212++= \u2192\u2192 rr\u3c3
Solução:
dy.dx
dy
dx
dx
d.
dy
dx
dx
d
dy
dx
dx
d
.Fds.n.F
s
\u3c3\u3c3
\u3c3\u3c3
\u3c3\u3c3
\u222b\u222b \u222b\u222b \u2192\u2192\u2192 =
dxdykjyixkxyjyxi )22).(2)(10( 22
rrrrrr ++\u2212++\u222b\u222b
3
31)22220(
1
0
1
0
32 =\u2212++\u222b \u222b dxdyxyyyxx