Calculo - cap5
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Calculo - cap5


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x
)y,x(gi
n
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+
+\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202\u2212
=
\u2192\u2192\u2192
\u2192
 (5.23) 
Sabemos que, neste caso: 
 dxdy
y
g
x
g1dS
22
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+= (5.24) 
 
Então 
dxdyk
y
yxgj
x
yxgiF
dxdy
y
g
x
g
y
g
x
g
k
y
yxgj
x
yxgi
FdSnF
D
DS
\u222b\u222b
\u222b\u222b\u222b\u222b
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b +\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202\u2212
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+\u22c5
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202+
+\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202\u2212
=
\u2192\u2192\u2192\u2192
\u2192\u2192\u2192
\u2192
),(),(
1
1
),(),(
22
22
 (5.25) 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
65
Exercícios: 
1) Calcule o fluxo do campo vetorial )z2,y,x( )z,y,x(F \u2212=\u2192 através da superfície S do 
parabolóide 1z0,yxz 22 \u2264\u2264+= , com vetor normal apontado para a fora de S. 
Solução: 
A superfície S é definida por Dyxyxyxfz \u2208+== ),(,),( 22 ,onde 
}{ 1/),( 222 \u2264+\u211c\u2208= yxyxD . Um campo de vetores normais que aponta para a fora do S em 
cada ponto é dado por: ).1y2,x2(1),y,x(
y
f),y,x( 
x
fn \u2212=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212\u2202
\u2202
\u2202
\u2202=\u2192 
[ ]
22
22
441
)1,2,2().22,,().(
yx
yxyxyxdsnF
s
S
++
\u2212\u2212\u2212== \u222b\u222b \u222b\u222b\u3c6 ds = dxdyyx
D
)(4 22 +\u222b\u222b . 
Usando mudança polar para resolver a integral dupla, obtemos 
 \u222b \u222b\u222b\u222b ==+ \u3c0 \u3c0\u3b82
0
3
1
0
22 24)(4 drdrdxdyyx
D
 
2) Calcule \u222b\u222b \u2192\u2192S ds)n.F( onde )1,x,x()z,y,x(F \u2212\u2212=\u2192 e S é a porção do plano 0zyx =++ 
situado no interior da esfera 1zyx 222 =++ . Especifique a orientação escolhida. 
Solução: 
S é definida por Dyxyxyxfz \u2208\u2212\u2212== ),(,),( , onde 
 { } 1222/),( 222 \u2264++\u211c\u2208= xyyxyxD 
 Escolhendo o campo de vetores normais de S dado por 
 
\u2192
n =(1,1,1), 
Obtemos \u222b\u222b \u222b\u222b \u222b\u222b =\u2212=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212\u2212=
S S s
dsdsxxdsnF 
3
1 
3
)1,1,1().1,,( ).( .
3
 (S) área
3
1 \u3c0\u2212=\u2212 
 
3) Calcule \u222b\u222b \u2192\u2192\u22c5
S
ds)nF( ,onde )zx,y,x()z,y,x(F 2=\u2192 e S é a superfície do cilindro 
1)1()1( 22 =\u2212+\u2212 yx entre o planos 4z e 0z == , com vetor normal apontando para fora de 
S. 
Solução: 
 O cilindro S tem representação paramétrica: 
 ( ) ( ) .40 ,20 ; ,sen1,cos1, \u2264\u2264\u2264\u2264++= uuu \u3c0\u3b8\u3b8\u3b8\u3b8\u3d5 
 Um campo de vetores normais que aponta para fora de S em cada ponto é dado por 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
66
( ).0,sen,cos
100
0cossen
kji
)u,(
u
)u,( \u3b8\u3b8\u3b8\u3b8\u3b8\u3d5\u3b8\u3b8
\u3d5 =\u2212=\u2202
\u2202×\u2202
\u2202
\u2192\u2192\u2192
 
( )( ) ( )
( ) .8du 2du d 1sencos
ds
1
0,sen,cosucos1,sen1,cos1ds)nF(
4
0
4
0
2
0
S
2
S
\u222b\u222b \u222b
\u222b\u222b\u222b\u222b
==++
=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u22c5+++=\u22c5
\u3c0\u3c0\u3b8\u3b8\u3b8
\u3b8\u3b8\u3b8\u3b8\u3b8
\u3c0 
 
4) Calcule ds nF
S
\u222b\u222b \u239f\u23a0\u239e\u239c\u239d\u239b \u22c5
\u2192\u2192
, onde ( ) ( )z2,y,xz,y,xF =\u2192 e S é a união dos planos 
 .10 , 10 , 0 e , 10 , 10 , 0 \u2264\u2264\u2264\u2264=+\u2264\u2264\u2264\u2264=\u2212 zxzyzxzy 
Solução: 
S é a união das superfícies S1 e S2, onde S1 é a porção do plano yz = cuja projeção no 
plano xy é o quadrado [ ] [ ]1,01,01 ×=D , e S2 é a porção do plano yz \u2212= cuja a projeção do 
plano xy é o quadrado [ ] [ ].0,11,02 \u2212×D 
Se considerarmos S1 e S2 com os campos e vetores normais 
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212\u2212=\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212=
2
1,
2
1,0n e 
2
1,
2
1,0 21n , respectivamente, S estará orientada. 
( ) ( )
.1
2
1
2
1
 
2
1,
2
1,02,, 
 2
1,
2
1,02,,
 
0
1
1
0
1
0
1
0
21
2
2
1
1
\u222b \u222b\u222b \u222b
\u222b\u222b\u222b\u222b
\u222b\u222b\u222b\u222b\u222b\u222b
\u2212
\u2192\u2192\u2192\u2192\u2192\u2192
\u2212=\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b\u2212+\u2212=+\u2212=
=\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212\u2212\u22c5\u2212+\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212\u22c5=
=\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u22c5+\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u22c5=\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u22c5
ydxdyydxdy
dsyyxdsyyx
dsnFdsnFdsnF
SS
SSS
 
 
5.3. 
Superfícies Orientáveis 
Fixado um campo de vetores unitários normais a S, dizemos que S é orientável se n 
percorre o s\u2202 de S deixando S à esquerda do caminho traçado por n em s\u2202 .Neste caso, 
dizemos que S está orientada positivamente. 
 
 
 
 
 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
67
 
 
 
\u2192
n 
 
 
 s\u2202 
 S 
 
 
 
Figura 5.2 \u2013 Superfície orientável. 
\u2192
n 
 
Uma superfície S= S1 U S2 U .... U Sn é orientável se 1s\u2202 está orientada positivamente 
\u2200 l e nas interseções as orientações são oposta 
 
a) 
\u2192
n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) c) 
 
 
 
 
 
n saindo do papel 
 
Figura 5.3- Superfície orientável obtida através de uma união de superfícies. 
 
5.4. 
Aplicações das Integrais de Superfície 
 
a) Fluxo de um Campo 
O cálculo do fluxo de um campo através de uma superfície pode ser calculado via 
integral de superfície. O fluxo de 
\u2192
F sobre S é dado por: 
S1 
 
 
 
 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
68
 \u222b\u222b \u2192\u2192\u22c5=
S
nFfluxo (5.26) 
onde 
\u2192
n é o vetor unitário normal a S no ponto (x,y,z). 
Uma vez que a fronteira do sólido seja definida por um número (finito) de faces 
(superfícies), o fluxo será, sob condições adequadas, o somatório dos fluxos em cada face do 
sólido. 
 
b) Fluxo de Campo Elétrico e Campo Magnético 
Numa primeira abordagem, podemos dizer que : Fluxo de campo elétrico = intensidade 
de campo elétrico x área perpendicular ao campo. 
Logo, veremos que essa definição é muito simplificada, e tem pouco valor operacional, 
porque em geral o valor de 
\u2192
E varia ao longo da superfície, e nem sempre esta é 
perpendicular ao campo. Podemos melhorar a definição, dividindo a superfície em elementos 
tão pequenos quanto possível, de modo que 
\u2192
E seja constante nessa área infinitesimal. A esta 
área associamos um vetor 
\u2192
Sd , cuja direção é perpendicular à área e cujo módulo é igual à 
área. Podemos manter a idéia intuitiva definindo fluxo infinitesimal: 
\u2192\u2192\u22c5= SdEd\u3a6 (5.27) 
Assim, o fluxo através de determinada área S é dado pela integral de superfície 
 \u222b \u2192\u2192\u22c5=
S
SdE\u3a6 (5.28) 
 
 No caso de uma superfície fechada, o vetor área é convencionalmente dirigido de 
dentro para fora. O fluxo através de uma superfície fechada é assim representado: 
\u222b \u2192\u2192\u22c5=
S
SdE\u3a6 (5.29) 
 
 
 
c) Campo Elétrico através da Lei de Gauss 
Seja uma carga Q. Imagine uma superfície qualquer, fechada, envolvendo esta carga. A 
lei de Gauss estabelece que: 
o
QSdE \u3b5\u3a6 =\u22c5= \u222b
\u2192\u2192
 (5.30) 
A lei de Gauss é válida para qualquer situação, com campo uniforme ou não, e para 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
69
qualquer tipo de superfície fechada, também denominada superfície Gaussiana. Todavia, para 
ser operacionalmente útil ela deve ser usada apenas em determinadas circunstâncias. Uma 
circunstância favorável ocorre quando a superfície Gaussiana é tal que o produto escalar entre 
o campo e o vetor superfície é facilmente obtido. Logo, podemos perceber que a Lei de 
Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico ( visto no item anterior ) com a quantidade de carga 
no interior da gaussiana, e desta relação podemos obter o valor do campo elétrico gerado por 
determinada superfície. 
 
 Exercícios: 
1) Calcule o fluxo de campo magnético através da seção transversal de um solenóide circular 
de raio R e campo magnético uniforme B = \u3bc0ni0 perpendicular a superfície. 
Solução: 
\u222b \u222b \u222b\u222b \u2192\u2192\u2192 ==== dsBdsBdsBsdB
s
.0cos..cos... \u3b8\u3c6 rrB 
2
.00 RniS.BdsB \u3c0\u3bc\u222b ===
\u2192\u2192
 
 
2) Calcule o fluxo de um campo elétrico kxy2j)yx(i10)z,y,x(E 22
rrrr \u2212++= através da 
superfície .1y0,1x0,k)yx1(jyix)t( 22 \u2264\u2264\u2264\u2264\u2212\u2212++= \u2192\u2192 rr\u3c3 
Solução: 
dy.dx
dy
dx
dx
d.
dy
dx
dx
d
dy
dx
dx
d
.Fds.n.F
s
\u3c3\u3c3
\u3c3\u3c3
\u3c3\u3c3
\u222b\u222b \u222b\u222b \u2192\u2192\u2192 = 
dxdykjyixkxyjyxi )22).(2)(10( 22
rrrrrr ++\u2212++\u222b\u222b 
3
31)22220(
1
0
1
0
32 =\u2212++\u222b \u222b dxdyxyyyxx