Calculo - Cap7
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Calculo - Cap7


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e 
trabalho experimental. Stokes noivou para se casar com Mary Susanna Robinson, a filha do 
astrônomo do Observatório de Armagh, na Irlanda. No dia 21 de janeiro de 1857, ele escreveu 
seus sentimentos a ela: 
\u201cEu era capaz de ser movido, matematicamente, como seja, pela convicção de que um 
curso particular era o certo; e eu acredito que Deus pôs estas visões em minha mente, 
enquanto trabalhando por meio do que estava em prover como estava querendo.\u201d 
Uns três dias depois escreveu: 
\u201cVocê tem razão dizendo que não se pode pensar sobre os próprios sentimentos da 
pessoa, em uma família que é fácil, mas você não sabe o que é viver totalmente só.\u201d 
No dia 31 de março de 1857, ele escreveu expressando seus sentimentos novamente em 
condições bastante matemáticas: 
\u201cEu também sinto que tenho pensado muito ultimamente, mas de um modo diferente, 
minha cabeça está correndo em série divergente, como feita descontinuidade de constantes 
arbitrárias..., eu pensei freqüentemente que você teria me impedido de passar tanto tempo 
por essas coisas.\u201d 
Estas cartas não expressaram o amor claramente que Mary esperou achar nelas e, 
quando Stokes lhe escreveu uma carta de 55 páginas, ela quase desmanchou o casamento à 
última hora. Ao receber uma carta dela, mostrando sua infelicidade em prosseguir com o 
matrimônio, Stokes respondeu: 
\u201cEntão estou certo de que você deveria se retirar até mesmo agora, entretanto eu 
deveria ir para a sepultura como máquina de pensamento defeituosa...\u201d 
O matrimônio prosseguiu e Stokes, longe da vida de intensa pesquisa matemática. 
Naquele momento, membros em Cambridge tinham que ser solteiros, mesmo assim 
levou adiante o matrimônio. Stokes deveria deixar a Faculdade de Pembroke. Porém, uma 
mudança nas regras, em 1862, permitia que homens casados continuassem lá. Stokes 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 90
continuou como secretário da Royal Society até 1885, quando foi eleito presidente. Ele 
ocupou o cargo de presidente até 1890. Ele também foi presidente do Victoria Institute de 
1886 até sua morte em 1903. Participou de outras tarefas administrativas. Em 1859 escreveu a 
Thomson: 
\u201cEu tenho outro ferro no fogo agora: fui designado há pouco a um cargo de secretário 
adicional da Comissão Universitária de Cambridge.\u201d 
Stokes recebeu a Copley Medal da Royal Society de Londres em 1893 e foi o honorário 
mais alto da Faculdade, onde serviu como mestre entre 1902 e 1903. 
Stokes influenciou muito as novas gerações: 
Stokes era uma influência formativa muito importante em gerações subseqüentes de 
homens de Cambridge, inclusive Maxwell. Como Green tinha influenciado Stokes, seguindo 
o trabalho francês, especialmente os de Lagrange, Laplace, Fourier, Poisson e Cauchy. Isto é 
visto claramente nos seus estudos teóricos em ótica e hidrodinâmica; mas também deve notar-
se que Stokes, até mesmo como um estudante universitário, realizou experimentos 
incessantemente. Ainda seus interesses e investigações estenderam além da física, seu 
conhecimento em química e botânica era extenso, e freqüentemente o seu trabalho em ótica o 
atraiu a esses campos. 
Os documentos de Stokes foram publicados em 5 volumes, os primeiros três, Stokes 
editou em 1880, 1883 e 1891. Os últimos dois foram editados por Senhor Joseph Larmor 
incluindo um trabalho completo em 1905. 
 
7.2. 
Teorema de Stokes 
Seja S uma superfície lisa por partes, orientada, no espaço, cuja fronteira C é uma curva 
lisa por partes, simples e fechada, orientada positivamente (sentido anti-horário) em relação à 
normal. Seja ( ) ( ) ( ) ( )\u2192\u2192\u2192\u2192 ++= kz,y,xRjz,y,xQiz,y,xPz,y,xF um campo vetorial com 
componentes contínuas e deriváveis, 
\u2192
n é o vetor normal unitário à S, 
\u2192
t o vetor tangente 
unitário à C e D um domínio do espaço contendo S. 
 Nessas condições, tem-se: 
 
 \u222b
C
\u2192
F .d
\u2192
r = \u222b\u222b
S
(rot
\u2192
F .
\u2192
n )dS (7.1) 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 91
Obs: a escolha de um vetor normal contínuo determina o sentido de C. Quando a curva 
é percorrida no sentido anti-horário o vetor 
\u2192
n (normal) aponta para fora e se for percorrida no 
sentido horário 
\u2192
n aponta para dentro da superfície. 
 
Figura 7.1- Teorema de Stokes 
 
Considere a superfície S, dada na forma z = z(x,y). Seja D sua projeção no plano Oxy, 
quando L = (x, y) percorre D, o ponto M(x,y,z(x,y)) percorre S. Quando L percorre a fronteira 
B de D, M percorre o bordo C da superfície S. Seja 
\u2192
t o vetor unitário tangente à C, cujo 
sentido indica o percurso sobre C, que corresponde ao sentido positivo do percurso sobre B. 
Mais precisamente, quando M percorre C no sentido indicado por 
\u2192
t , a projeção L de M 
percorre B no sentido positivo. 
Queremos transformar a integral de linha 
 \u222b
C
P.dx + Q.dy + R.dz = \u222b\u222b
S
(rot
\u2192
F .
\u2192
n )dS (7.2) 
onde ( ) ( ) ( ) ( )\u2192\u2192\u2192\u2192 ++= kz,y,xRjz,y,xQiz,y,xPz,y,xF . 
O teorema de Stokes torna-se: 
dSkRndSjQndSiPn
dSkRjQiPnRdzQdyPdx
SSS
S
C
\u2192\u2192\u2192\u2192\u2192\u2192
\u2192\u2192\u2192\u2192
×\u2207\u22c5+×\u2207\u22c5+×\u2207\u22c5=
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b ++×\u2207\u22c5=++
\u222b\u222b\u222b\u222b\u222b\u222b
\u222b\u222b\u222b
 (7.3) 
Para demonstrar o teorema de Stokes, basta mostrar que os dois lados da equação (7.3) 
são iguais. 
 
 
Da Figura 7.1 nota-se o caminho para 
demonstrar o teorema de Stokes: 
utilizando o teorema de Green já 
enunciado, utilizando a projeção da 
superfície no plano xy. 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 92
Exercícios: 
1) Seja um balão de ar quente, com um formato esférico de raio r = 5, conforme a figura 
abaixo. O ar quente escapa através dos poros da superfície deste balão com um campo de 
velocidade vetorial 
\u2192
V (x,y,z) = \u3a6×\u2207 (x,y,z), quando \u3a6 (x,y,z) = -y \u2192i + x \u2192j . Se o raio da 
circunferência do bordo é r = 5/4, calcule o volume do fluxo de ar quente que atravessa a 
superfície do balão. 
Solução: 
 
 
 
A figura abaixo mostra a representação de alguns vetores do campo vetorial dado por 
\u2192
F (x,y,z) = -y
\u2192
i + x
\u2192
j . Como o raio do balão é r = 5, e o seu centro está sobre o eixo-z, a 
variação do raio das curvas de nível desta esfera (balão) é de 0 a 5. 
 
Aplicando o Teorema de Stokes: \u222b
C
\u2192
F .d
\u2192
r = \u222b\u222b
S
(rot
\u2192
F .
\u2192
n )dS temos que a circulação 
através da superfície é igual à circulação em torno do bordo desta superfície. 
Seja \u3b3, [0,2\u3c0] \u2192 3\u211c 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 93
\u3b3(t) = \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b 0,tsen
4
5,tcos
4
5 
\u3b3`(t) = \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b\u2212 0,cos
4
5,
4
5 tsent 
\u2192
F (\u3b3(t)) = \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b\u2212 0,cos
4
5,
4
5 tsent 
Substituindo \u3b3(t) e \u3b3`(t) em 
\u222b
C
\u2192
F .dr = \u222b
b
a
\u2192
F ((\u3b3(t)).\u3b3`(t)dt 
Tem-se: 
\u222b\u3c02
0
\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b\u2212 tcos
4
5,tsen
4
5 \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b\u2212 tcos
4
5,tsen
4
5 dt = \u222b
\u3c02
0
\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 + tsen
16
25tcos
16
25 22 dt = 
= 
16
25 \u222b
\u3c02
0
[ ]tcostsen 22 + dt = 
16
25 \u222b
\u3c02
0
dt = 
16
)2(25 \u3c0 = 
8
25\u3c0 
 
2) Seja S uma superfície aberta através da qual fluam as linhas de um vetor indução magnética 
\u2192
B , e \u3a6 o fluxo de 
\u2192
B através de S, chamada fluxo magnético, \u3a6 = \u222b\u222b
S
\u2192
B .dS . 
Solução: 
 
Como a superfície é aberta, ela é limitada por uma curva C, cuja orientação em relação 
à dS obedece à regra da mão direita. À circulação de um campo elétrico 
\u2192
E ao longo de C dá-
se o nome de força eletromotriz, 
\u3be \u2261 \u222b
C
\u2192
E .d
\u2192
r 
Capítulo 7- Teorema de Stokes 94
Verifica-se experimentalmente que o fluxo da indução magnética e a força eletromotriz 
induzida estão relacionados por meio de \u3be \u2261 
dt
d\u2212 c/ 
Ou, em termos das respectivas integrais, 
\u222b
C
\u2192
E .d
\u2192
r = 
dt
d\u2212 \u222b\u222b
S
\u2192
B .dS 
Esta é a forma integral da lei de Faraday da indução eletromagnética. O sinal negativo 
no segundo membro da equação acima é devido ao fato de que o sentido das linhas de 
\u2192
E tal 
que o campo elétrico tem, em relação ao de d
\u2192
B /dt, o sentido oposto ao que seria dado pela 
regra da mão direita (lei de Lenz) 
 
Como é mais fácil discutir-se a lei de Faraday a partir da sua forma diferencial, vamos 
escrever a equação nessa forma. Para isso, basta usarmos o Teorema de Stokes no primeiro 
membro e lembramos que,