ME - Apostila geral
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DisciplinaMateriais Elétricos para Engenharia Elétrica78 materiais193 seguidores
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portadores livres, resultando em corrente elétrica. Sendo e (C) e m (kg) a carga e a massa do portador de carga, 
respectivamente, os portadores constituintes da corrente elétrica sofrem, então, uma aceleração e
 
E/m (F = e
 
E = m
 
a 
\u21d2 \u2234 a = e
 
E/m) e só não aumentam indefinidamente suas velocidades por causa das colisões com os íons da rede. 
Devido a estas colisões, pode-se, então, considerar os portadores livres como tendo um livre caminho médio ou uma 
velocidade média v (m/s), chamada velocidade de deriva ou de arrastamento. 
CAPÍTULO 1: Materiais condutores 
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 Definindo µn (m2/Vs) como a mobilidade dos elétrons livres (os portadores de carga livres do material 
condutor), ou ainda como a velocidade média dos elétrons por unidade de campo elétrico, tem-se, então, que a 
velocidade de deriva é proporcional ao campo elétrico através da mobilidade das cargas, ou seja: 
 
Ev nµ= (1.3.1) 
Seja um condutor de comprimento l (m), dado na Fig. 1.3.1-b, contendo N (adimensional) portadores livres, 
cada um com carga elétrica e e velocidade média v. A corrente elétrica I (A ) no condutor será, então, dada por: 
 
v
l
t
l
veN
t
eN
t
q
dt
dqI ===
\u2206
\u2206
== pois,
 (1.3.2) 
 Logo, com auxílio da Eq. 1.3.2, tem-se que a densidade de corrente J no condutor será dada por: 
 
ve
Al
N
A
IJ ==
 (1.3.3) 
Seja n a concentração de portadores de carga livres no condutor, definida como o número de elétrons livres por 
unidade de volume (unidades: m-3 ou cm-3). Como o produto lA é o volume do condutor e há N portadores livres, a 
concentração n será dada por: n = N / lA e, assim, a densidade de corrente J (Eq. 1.3.3) pode ser representada por: 
venve
Al
NJ ==
 (1.3.4) 
Substituindo a Eq. 1.3.1 na Eq. 1.3.4, tem-se então que: 
EEµenvenJ \u3c3n === (1.3.5) 
conhecida como Lei de Ohm na forma vetorial, onde o termo \u3c3 é chamado condutividade elétrica do material 
(unidade S/m, S = Siemens), definida então por: 
nµen\u3c3 = (1.3.6) 
Desse modo, a Eq. 1.3.5 é chamada densidade de corrente de condução, de deriva ou de campo. 
A resistividade \u3c1 (\u2126m) é o parâmetro que representa a oposição ou dificuldade imposta por um material à 
circulação de corrente pelo seu meio. Define, portanto, a propriedade inversa à condutividade, isto é: 
nµen\u3c3
\u3c1
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==
 (1.3.7) 
Para uma amostra de material de comprimento l a certa temperatura e submetida a um campo elétrico constante 
E, resultado de uma ddp contínua V aplicada entre suas extremidades, surge uma corrente contínua I cuja densidade J 
ocupa toda a área transversal A da amostra do material. Como J = I/A e neste caso E = V/l então, como resultado das 
Eqs. 1.3.3, 1.3.5 e 1.3.7 tem-se a forma escalar da Lei de Ohm, isto é: 
1I I V l lJ E V I I
A A l A A
\u3c3 \u3c3 \u3c1
\u3c3
= = \u21d2 \u2234 = \u21d2 \u2234 = = 
O termo \u3c1 l/A, que depende da geometria do material, descreve a avaliação quantitativa da resistividade do 
material e é chamada resistência elétrica à passagem de corrente contínua (RCC), ou seja: 
( ) \u2126, ouCC CClR RA A m
\u3c1\u3c1 \uf8eb \uf8f6= \u2126 = \uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
 (1.3.8) 
onde a segunda equação (por unidade de comprimento) tem emprego prático na indústria de fios e cabos condutores. 
Para o caso do cabo condutor encordoado, deve-se levar em conta o fato de que os fios do cabo estão trançados 
helicoidalmente, possuindo, portanto, comprimento maior que o cabo. Desse modo, o valor encontrado pela Eq. 1.3.8 
para o cálculo da resistência elétrica de um cabo deve ser corrigido. Convencionalmente, esta correção será: 
\ufffd Para cabos com até 3 fios, o valor será 1% maior, ou seja, deve-se multiplicar a resistência do cabo por 1,01. 
\ufffd Para cabos com mais de 3 fios, o valor será 2% maior, ou seja, deve-se multiplicar a resistência do cabo por 1,02. 
Contudo, a resistência elétrica dos materiais depende de alguns fatores, que influenciam no valor de sua 
resistividade ou diretamente no valor da resistência à passagem de corrente elétrica. Tais fatores serão vistos a seguir. 
\u3c1 I 
l 
A 
V 
T 
e
+
 
e
+
 
e
+
 
 N 
cargas 
v 
v 
l 
A 
sentido convencional da corrente 
E 
Fig. 1.3.1: (a) o sentido da corrente de deriva não depende do sinal do portador de carga; (b) condutor usado 
para determinar a expressão da condutividade elétrica. 
E 
x 
sentido da 
densidade 
corrente 
v 
(a) (b) 
e
+ 
E 
x 
sentido da 
densidade 
corrente, pois 
 e< 0 e v < 0 
v e
- 
CAPÍTULO 1: Materiais condutores 
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Comentários: 
1) A concentração n de portadores de carga livres nos materiais condutores (metais) é de aproximadamente 1023 cm-3, 
nos isolantes, de 106 a 107 cm-3, e nos semicondutores ditos puros, em torno de 1010 cm-3; 
2) Como a resistência é proporcional ao comprimento, fios resistivos são empregados nos chamados extensômetros 
por resistência elétrica, como sensores de deformação elástica de peças em equipamentos de medição. 
3) Corrente de deslocamento (corrente iônica) também resulta da aplicação de um campo elétrico no meio material, 
mas é mais evidente em materiais isolantes porque resulta da polarização das moléculas de sua estrutura. Assim, a 
corrente total em um meio submetido a uma ddp seria, então, a soma das correntes de deriva e de deslocamento. 
 
EXERCÍCIO 1.3.1: Sabe-se que a concentração de elétrons livres nos materiais condutores é da ordem de 1023 cm-3. 
Seja, então, um fio condutor de bitola 2,5 mm2 conduzindo uma corrente contínua de 16 A . Determine a velocidade de 
deriva dos elétrons neste fio. Comente o resultado. 
SOLUÇÃO 
Das Eqs. 1.3.3 e 1.3.4 tem-se que: 
Aen
I
vven
A
IJ =\u2234\u21d2== 
onde: I = 16 A ; A = 2,5 mm2 = 2,5 x 10 -6 m2 ; n = 1023 cm-3 = 1029 m -3 ; e = 1,6 x 10-19 C 
Logo: 
s
m
v 4104 \u2212
\u2212\u2212
×
××××
=\u2234\u21d2= 61929 105,2106,110
16
v 
A esta velocidade, um elétron necessitaria de 2500 s, ou aproximadamente 42 min, para percorrer 1 m de fio. Assim, a 
velocidade de deriva é muito pequena comparada com a velocidade da onda de propagação de um campo elétrico ao 
longo do fio (propagação de um sinal de tensão), que é de cerca de 3 x 108 m/s. 
 
 
 1.4) FATORES QUE INFLUENCIAM NA RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
 
Temperatura, pureza e deformação influenciam na resistividade (ou condutividade) de um material condutor e, 
conseqüentemente, na sua resistência elétrica. Já a freqüência do sinal de corrente elétrica aplicada ao condutor 
influencia diretamente na resistência elétrica do mesmo. Estes fatores são vistos a seguir: 
 
 1.4.1) TEMPERATURA 
 
Como visto anteriormente (Eq. 1.3.6), a condutividade elétrica dos 
materiais depende da concentração e da mobilidade dos elétrons livres do 
material. Em um metal puro à temperatura ambiente, praticamente todos os 
elétrons de valência estão ionizados, isto é, a concentração n de elétrons 
livres é praticamente constante. No entanto, uma elevação de temperatura 
provoca um aumento na vibração dos elétrons de toda a rede cristalina, o que 
acarreta no aumento das colisões entre os elétrons livres em movimento e os 
fixos da rede, ocasionando, então, perda de mobilidade dos elétrons livres 
(redução de velocidade), além de aumento no aquecimento do corpo condutor 
(Efeito Joule). Logo, como a concentração de elétrons livres se mantém 
constante, esta diminuição no livre caminho médio dos elétrons livres 
provoca uma redução da condutividade do metal (Eq. 1.3.6). 
Logo, o aumento da temperatura acarreta, portanto, no aumento da resistividade do metal e, conseqüentemente,