ME - Apostila geral
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DisciplinaMateriais Elétricos para Engenharia Elétrica78 materiais193 seguidores
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de sua resistência elétrica, isto é, a resistência é dependente da variação de temperatura do metal (Fig. 1.4.1). Esta 
variação da resistividade é não linear para certas faixas de temperatura, mas seu comportamento é praticamente linear 
na faixa que compreende a temperatura ambiente (em torno da qual residem as temperaturas de trabalho), 
normalmente considerada como sendo 20 oC, onde são tabeladas esta propriedade. 
Desse modo, analisando-se a Fig. 1.4.1 tem-se que a declividade do segmento linear da curva de variação da 
resistência elétrica de um corpo material com a temperatura será dada por: 
12
T1T2
TT
RR
T
R
tg
\u2212
\u2212
=
\u2206
\u2206
=\u3b8 
Supondo desprezíveis as alterações nas dimensões físicas do condutor quando o mesmo sofre uma variação de 
temperatura, então dividindo-se ambos os lados da equação pela resistência elétrica à uma temperatura de referência 
qualquer, por exemplo T1 (RT1), observa-se que as dimensões do condutor (área e comprimento) se cancelam e, assim, 
obtém-se uma constante independente da geometria do material e que, portanto, descreve uma característica intrínseca 
deste material, isto é, o comportamento de sua resistividade com a temperatura. Logo: 
T1
12
T1T2
T1T1
1 \u3b1=
\u2212
\u2212
=
\u3b8
TT
RR
RR
tg
 (1.4.1) 
T1 T2 
o
RT2 
 
\u3b8 
\u2206T 
\u2206R 
RT1 
 
R 
(\u2126) 
Fig. 1.4.1: Variação da resistência 
elétrica com a temperatura. 
0 
 
CAPÍTULO 1: Materiais condutores 
14 
 
onde \u3b1T1 (unidade: oC -1) é o parâmetro que descreve a proporcionalidade entre resistência elétrica e temperatura e é 
chamado coeficiente de variação da resistividade com a temperatura ou coeficiente de temperatura da resistividade. 
Este parâmetro é definido, portanto, para uma determinada temperatura de referência T1 . 
Logo, conhecidos a resistência elétrica e o coeficiente \u3b1 de um metal à temperatura T1 (isto é, RT1 e \u3b1T1, 
respectivamente), pode-se, então, obter a resistência elétrica do metal à uma temperatura qualquer T2 (RT2), ou seja: 
( ) ( )[ ]12T1T1T2T1T212T1T1
12
T1T2
T1
T1 1
1 TT\u3b1RRRRTTR
TT
RR
R
\u2212+=\u2234\u21d2\u2212=\u2212\u21d2
\u2212
\u2212
= \u3b1\u3b1
 (1.4.2) 
onde T1 é a temperatura de referência. 
Como dito, os coeficientes \u3b1 dos materiais são normalmente tabelados a 20 oC, ou seja, T1 = 20 oC. Logo, para 
a temperatura de referência 20 oC, da Eq. 1.4.2 tem-se que a resistência elétrica RT a uma temperatura qualquer T será: 
( )[ ]201 2020T \u2212+= T\u3b1RR (1.4.3) 
Assim, para qualquer temperatura T a resistividade do material a esta temperatura (\u3c1T) pode ser obtida por: 
( )[ ] ( )[ ]201201 2020T2020T \u2212+=\u21d2\u2212+= TA
l
A
lTRR \u3b1\u3c1\u3c1\u3b1 
( )[ ]201 2020T \u2212+= T\u3b1\u3c1\u3c1 (1.4.4) 
A Tab. 1.4.1 a seguir mostra a resistividade e o coeficiente de variação da resistência com a temperatura de 
alguns condutores para a temperatura de referência 20 oC. 
 
Condutor \u3c1\u3c1\u3c1\u3c120 (\u2126\u2126\u2126\u2126m) \u3b1\u3b1\u3b1\u3b1 20 (oC -1) Condutor \u3c1\u3c1\u3c1\u3c120 (\u2126\u2126\u2126\u2126m) \u3b1\u3b1\u3b1\u3b1 20 (oC -1) 
prata 1,6 x 10-8 3,8 x 10-3 níquel 7,2 x 10-8 6,0 x 10-3 
cobre 1,7 x 10-8 3,9 x 10-3 ferro 10 x 10-8 5,5 x 10-3 
alumínio 2,8 x 10-8 4,0 x 10-3 platina 10,5 x 10-8 3,0 x 10-3 
ouro 2,4 x 10-8 3,4 x 10-3 constantan 50 x 10-8 8,0 x 10-6 
tungstênio 5,0 x 10-8 5,2 x 10-3 grafite 1,4 x 10-5 -5,0 x 10-4 
Tab. 1.4.1: Resistividade e coeficiente de temperatura \u3b1 a 20 oC de alguns condutores 
 
Comentários: 
1) Pela Tab. 1.4.1 pode-se observar que, de acordo com o valor do coeficiente de variação da resistividade com a 
temperatura, existem basicamente dois tipos de materiais: 
1.1) Positivos (\u3b1
 
>
 
0), conhecidos como tipo PTC, isto é, a resistividade (resistência) elétrica aumenta com o 
aumento da temperatura. É o caso dos metais puros em geral; 
1.2) Negativos (\u3b1
 
<
 
0), conhecidos como tipo NTC, isto é, a resistividade (resistência) elétrica diminui com o 
aumento da temperatura. É o caso do grafite (Tab. 1.4.1), algumas ligas metálicas resistivas, semicondutores 
e dos isolantes. Um uso particular para esta propriedade é compensar elevações de resistência em um circuito. 
2) Pela Tab. 1.4.1 nota-se ainda que algumas ligas metálicas, tal como o constantan (outro exemplo é a manganina), 
apresentam um coeficiente \u3b1 muito menor em relação aos metais puros, ou seja, a declividade do comportamento 
gráfico da resistência com a temperatura é praticamente nula, sendo, então, denominados termoestáveis. 
 
 1.4.2) FREQÜÊNCIA 
 
Quando uma corrente contínua percorre um material, esta se distribui uniformemente pela seção transversal ao 
fluxo da corrente. Assim, tomando-se como exemplo um condutor de seção transversal circular, a densidade de 
corrente J ocupa toda a área A do condutor (Fig. 1.4.2-a). Sendo o valor da resistência elétrica dependente da área 
pela qual flui a corrente elétrica, então o cálculo da resistência à passagem de corrente contínua (RCC) é, como visto, 
dado pela Eq. 1.3.8. Tal cálculo, no entanto, não pode ser considerado para o caso de uma corrente alternada. 
 Quando uma corrente variante no tempo (exemplo: corrente alternada, dita CA) flui por um material condutor, 
a mesma estabelece um fluxo de campo magnético \u3c6 (Fig. 1.4.2-b) também variante no tempo, que envolve o próprio 
material. Como conseqüência da Lei de Faraday (fem = - d\u3c6/dt), este fluxo magnético induz uma força eletromotriz 
(fem) em qualquer condutor imerso no mesmo, inclusive no próprio material (fem auto-induzida). Porém, devido à Lei 
de Lenz, esta auto-indução provoca uma corrente elétrica em oposição à própria corrente original, o que tende a 
diminuí-la. Como as linhas de corrente distribuídas mais internamente à seção transversal do condutor estão sujeitas a 
um maior enlace das linhas do campo magnético (Fig. 1.4.2-b), estas sofrerão, então, uma maior oposição e, portanto, 
uma maior diminuição na sua intensidade do que as linhas de corrente distribuídas mais externamente à seção do 
condutor. Assim, a densidade de corrente em um condutor, diminui gradativamente da seção externa para a interna à 
área transversal ao fluxo de corrente variante no tempo (Fig. 1.4.2-b). Esta consequência, chamado Efeito Pelicular 
ou Skin, é, portanto, tanto mais acentuado quanto maior é a freqüência do sinal da corrente, pois maior é a freqüência 
do fluxo magnético (d\u3c6/dt), e maior é a concentração de linhas de indução no interior do meio material, isto é, 
propriedades magnéticas do condutor (permeabilidade magnética) também influenciam o Efeito Pelicular. 
CAPÍTULO 1: Materiais condutores 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, devido ao Efeito Pelicular, a área que efetivamente é ocupada por uma corrente alternada é menor do 
que a utilizada por uma corrente contínua. Como a resistência elétrica depende inversamente desta área (Eq. 1.3.8), o 
Efeito Pelicular acarreta, então, em um aumento da resistência do condutor à passagem de correntes alternadas, com o 
conseqüente aumento no aquecimento do mesmo por Efeito Joule. Logo, devido a esta desuniformidade da densidade 
de corrente, a Eq. 1.3.8 pode não ser apropriada para o cálculo da resistência elétrica de um condutor à passagem de 
corrente alternada (RCA), pois esta resistência poderá apresentar um valor consideravelmente maior. 
 Análises teóricas têm demonstrado que, quando a dimensão de uma seção transversal de um condutor é muito 
maior que a área efetiva ocupada pela corrente, a densidade de corrente varia exponencialmente a partir da superfície. 
Para se obter um valor quantitativo da resistência, considera-se, então, que a corrente alternada se concentra apenas 
em uma fina película na superfície do material, cujo alcance, determinado em teorias e denominado profundidade de 
penetração \u3b4, corresponde ao decrescimento em 63% da densidade de corrente em relação à superfície e dada por: 
)(mf µpi
\u3c1\u3b4 =
 (1.4.5) 
onde \u3c1 (\u2126m) é a resistividade do material, f (Hz) é a freqüência