ME - Apostila geral
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ME - Apostila geral


DisciplinaMateriais Elétricos para Engenharia Elétrica78 materiais193 seguidores
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não pode ser também 
de difusão. Logo, esta corrente contrária deve necessariamente ser do tipo condução 
(Fig. 3.6.2). No entanto, para que possa existir, uma corrente de condução exige, 
como visto, um campo elétrico, isto é, um gradiente de potencial. Pode-se concluir, 
então, que, em uma amostra semicondutora de dopagem não uniforme, um campo 
elétrico deve ser criado em seu interior (Fig. 3.6.2) e, conseqüentemente, uma ddp 
(gradiente de potencial) entre dois pontos quaisquer da amostra, para 
impedir a difusão de lacunas (portadores majoritários), isto é, a referida 
ddp funciona como uma barreira de potencial para os majoritários. 
Seja, então, uma amostra de semicondutor isolado com dopagem 
não uniforme (Fig. 3.6.3), onde a concentração de lacunas p(x) diminui 
com a distância x. Pretende-se agora determinar o campo elétrico criado 
devido à dopagem não uniforme e a correspondente variação de 
potencial. Como a amostra está isolada (isto é, não há movimento 
preferencial de carga), conclui-se que a densidade de corrente de lacunas 
tem que ser nula. Assim, fazendo Jp = 0 na Eq. 3.6.4 e usando-se ainda a 
relação de Einstein (Eq. 3.6.3), obtém-se: 
dx
dp
p
V
E T= (3.6.6) 
onde o campo elétrico resultante E pode ser determinado se conhecida a concentração de dopagem p(x). 
Como o campo elétrico expressa a variação de potencial elétrico V com a distância x (E = - dV/dx), obtém-se, 
da Eq. 3.6.6, uma equação que, integrada desde um ponto qualquer x1 , de concentração p1 e potencial V1 , até um 
ponto qualquer x2 de concentração p2 e potencial V2 (Fig. 3.6.3), estabelece: 
\u222b\u222b \u2212=\u21d2\u2212=\u21d2=\u2212=
2
1
2
1
1p
pT
V
VT
T dp
p
VdV
p
dpVdV
dx
dp
p
V
dx
dVE 
21
1
2 1 21 1 2
2
, ou T
V
V
T
pV V V V n p p
p
e
\uf8eb \uf8f6
\u2234 \u2212 = = =\uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
\u2113
 (3.6.7) 
onde nota-se que a diferença de potencial entre os dois pontos x1 e x2 depende apenas da concentração de lacunas 
nestes dois pontos e é independente da distância entre os mesmos (x2 - x1). 
Analogamente, fazendo-se Jn = 0 na Eq. 3.6.5 e procedendo-se como anteriormente tem-se: 
21
2
21 1 2
1
, ou T
V
V
T
nV V n n n
n
e
\u2212\uf8eb \uf8f6
= =\uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
\u2113
 (3.6.8) 
Como visto, a dopagem de lacunas da amostra de semicondutor mostrado na Fig. 3.6.1 é a função da distância 
x, isto é, a dopagem é progressiva (não uniforme), podendo haver, então, uma corrente de difusão. No entanto, pela 
Lei da Ação de Massas, a densidade de elétrons livres também tem de variar com a distância x. Como a multiplicação 
das Eqs. 3.6.7 e 3.6.8 resulta: n1 p1 = n2 p2 , então conclui-se, desde que se mantenha as condições de equilíbrio 
térmico, que o produto n p é constante e independente de x e do nível de dopagem. 
 Considere-se agora o caso particular mostrado na Fig. 3.6.4, chamado 
cristal PN. A região à esquerda do cristal é de semicondutor tipo P (chamado 
agora de substrato ou região P), com uma concentração de átomos 
aceitadores NA uniforme, e a região à direita do tipo N (substrato ou região 
N), com uma concentração de átomos doadores ND também uniforme. Nota-
se, então, que a concentração de portadores livres varia bruscamente do lado 
P para o lado N na junção dos dois substratos. Esta fronteira entre os 
substratos recebe a denominação de junção PN (Fig. 3.6.4) e se constitui na 
chamada junção abrupta. 
Pode-se notar, então, que este caso particular constitui-se também em 
uma diferença de concentração de portadores, pois, entre um ponto qualquer 
x1 no substrato P e um ponto qualquer x2 no substrato N há uma diferença de 
concentração de portadores (Fig. 3.6.4), pois, como visto, elétrons livres são 
portadores minoritários no lado P e majoritários no lado N e lacunas são 
Fig. 3.6.3: Semicondutor com 
distribuição não uniforme de lacunas. 
 p1 p2 
V1 
E
 
x2 x1 x
 V21 
 p1 > p2 V2 
dp/dx
 
 0
 
dx
dp
 
dx
dV
 
corrente 
de difusão 
corrente de 
condução 
campo elétrico criado 
(barreira de potencial) 
Fig. 3.6.2: Efeitos da 
dopagem não uniforme. 
E 
Fig. 3.6.4: O cristal PN. 
 junção PN 
substrato P substrato N 
NA ND 
V1 V2 
V21 = Vo 
 p1 p2 
x1 x2 x 
CAPÍTULO 3 Introdução à teoria dos semicondutores 
49 
 
majoritários no lado P e minoritários no lado N. Portanto, como visto, a teoria mostra que surge uma ddp (barreira de 
potencial) entre estes dois pontos, agora chamada de potencial de contato Vo. 
Assim, considerando, por exemplo, na Eq. 3.6.7 que p1 = NA (lacuna é majoritário no lado P - Eq. 3.4.8) e que 
p2 = ni2/ND (lacuna é minoritário no lado N - Eq. 3.4.6), tem-se que o potencial de contato Vo será dado por: 
21 o 2
i
A D
T
N NV V V n
n
\uf8eb \uf8f6
= = \uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
\u2113
 (3.6.9) 
Analogamente, para o caso dos elétrons livres, considera-se na Eq. 3.6.8 que n1 = ni2/NA (lado P - Eq. 3.4.9) e 
que n2 = ND (lado N - Eq. 3.4.5), tem-se que o potencial de contato Vo será dado por: 
o 2
i
A D
T
N NV V n
n
\uf8eb \uf8f6
= \uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
\u2113 
que é o mesmo resultado da Eq. 3.6.9, como teria de se esperar. 
Logo, a diferença de concentrações de portadores em um cristal PN provoca uma diferença de potencial Vo 
entre os substratos, que impede, no cristal PN isolado, a difusão de majoritários através da junção PN, isto é, funciona 
como uma barreira do tipo potencial para os majoritários. Logo, conclui-se então que os portadores majoritários só 
conseguirão se difundir através da junção PN se for aplicado uma ddp que vença a barreira de potencial Vo. 
Assim, como será novamente discutido no Capítulo 4, o efeito desta barreira de potencial permite que o cristal 
PN conduza bem corrente no sentido P \u2192 N (sentido convencional), porque a corrente resultante será constituída por 
portadores majoritários, e praticamente não o faça no sentido contrário, porque a corrente resultante será constituída 
por portadores minoritários, ou seja, dependendo de sua polarização, o cristal PN funciona em dois modos distintos: 
condução-não condução, o que é denominado função retificadora. 
Com este simples efeito, a junção PN tornou-se a base construtiva de quase todos os dispositivos eletrônicos, 
pois é empregada na construção de inúmeros componentes e diversos dispositivos semicondutores, tais como diodos e 
transistores, assuntos discutidos nos próximos capítulos, além de circuitos integrados, tiristores, etc. 
A condição de equilíbrio no cristal PN, definida pelo anulamento da corrente de lacunas e elétrons livres 
resultantes, permite calcular o nível da barreira de potencial Vo em termos das concentrações de doadores e 
aceitadores, através da Eq. 3.6.9, o que é exemplificado a seguir. 
 
EXERCÍCIO 3.6.1: Calcule o valor da barreira de potencial Vo numa junção PN a 300 K, considerando ambas as 
regiões P e N de silício com dopagens iguais de 1 átomo de impureza por 108 átomos de silício. 
SOLUÇÃO 
Da Tab. 3.3.1 tem-se: concentração intrínseca ni = 1,5 x 1010 portadores/cm3 
concentração de átomos no cristal de silício = 5 x 1022 átomos/cm3 
Se a dopagem é de 1 átomo de impureza para 108 átomos de silício, então a concentração de átomos doadores (para o 
substrato N) e aceitadores (substrato P) é de 5 x 1014 átomos/cm3, ou seja, ND = NA = 5 x 1014 átomos/cm3. 
Logo, da Eq. 3.6.9 tem-se: 
( )
14 14
o 22 2 10
i i
300 5 10 5 10
11600 11600 1,5 10
A D A D
T
N N N NTV V n n n
n n
× × ×
×
\uf8eb \uf8f6\uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6 \uf8ec \uf8f7
= = =\uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7\uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8
\u2234 \u2248o 0,54
\u2113 \u2113 \u2113
V V
 
que é um resultado coerente, pois os valores típicos da barreira de potencial a 300 K para um cristal PN de silício 
estão entre 0,5 e 0,7 V (para um cristal PN de germânio, os valores típicos situam-se em torno de 0,2 V). 
 
 
QUESTÕES 
 
1) Comente sobre os materiais semicondutores em geral. 
2) Explique o conceito de lacuna e como ocorre a condução em um semicondutor. 
3) Qual o propósito da dopagem?