Método do Lugar das Raízes em Controle

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Engenharia de Controle 1
Aula 17: Método do lugar das 
raízes. Obtenção dos diagramas do 
lugar das raízes.
Pedro M. G. del Foyo
 
Introdução
● A característica básica da resposta transitória 
de um sistema linear em malha fechada é 
determinada através da localização dos polos 
de malha fechada no plano s.
● A localização dos polos em malha fechada 
depende do valor do ganho do sistema em 
malha aberta portanto é importante conhecer 
como a localização dos polos em malha 
fechada muda conforme varia o ganho em 
malha aberta. 
 
Introdução
● No projeto de sistemas de controle as vezes 
um simples ajuste do ganho produz o 
comportamento desejado.
● Tentaremos reduzir o problema de projetar um 
sistema de controle à escolha de um valor de 
ganho adequado. 
● No caso das especificações de 
comportamento não serem atingidas um 
compensador deverá ser projetado.
 
Introdução
● Obter os polos em malha fechada para 
sistemas de ordem superior é um processo 
trabalhoso.
● Se requer ajuda de sistemas computacionais. 
(MATLAB)
● A localização dos polos muda com a variação 
do ganho em malha aberta, portanto os 
cálculos devem ser refeitos. 
 
Introdução
● W. R. Evans projetó um método simples para 
determinar as raizes da equação 
característica denominado “método do lugar 
geométrico das raizes”.
● O método consiste em graficar a localização 
das raizes da equação característica para 
todos os valores de um parâmetro do sistema. 
 
 
Sumário
● Conceitos básicos do método do lugar das 
raizes. 
● Regras para a construção do lugar 
geomêtrico das raizes.
 
O método do lugar das raizes
● É uma técnica poderosa para pesquisar os 
efeitos da variação de um parâmetro do 
sistema na localização dos polos em malha 
fechada.
● Na maioria dos casos o ganho K é usado 
como o parâmetro do sistema, mas pode ser 
qualquer outra variável. 
 
O método do lugar das raizes
● Equação característica
1+G(s)H(s) = 0
 G(s)H(s)=-1
Como G(s)H(s) é uma 
quantidade complexa 
pode-se obter 
separadamente a 
magnitude e a fase
 C(s)= G(s) 
 R(s) 1+G(s)H(s)
 
O método do lugar das raizes
● Condição de fase:
 G(s)H(s) = ±180º (2k-1), k=1,2,3,...
● Condição de magnitude:
 |G(s)H(s)| = 1
Os valores de s que cumprem as duas condições 
são as raizes da equação característica (polos de 
malha fechada).
 
O método do lugar das raizes
● O lugar geométrico das raizes é uma grafica 
dos pontos no plano complexo s que 
satisfazem a condição de fase.
● As raizes da equação característica que 
correspondem a um determinado valor de 
ganho são determinados a partir da condição 
de magnitude. (o ganho não produz aporte à 
fase do sistema)
 
O método do lugar das raizes
Dada a equação característica:
1 + K(s+z
1
)(s+z
2
)...(s+z
m
) = 0
 (s+p
1
)(s+p
2
)...(s+p
n
)
O lugares geométricos das raizes do sistema 
são os lugares geométricos dos polos em malha 
fechada conforme o ganho varia de zero a 
infinito.
 
O método do lugar das raizes
● Para começar a desenhar o lugar geométrico 
é necessário conhecer a localização dos 
polos e zeros de G(s)H(s).
● Os ángulos em relação ao ponto de teste são 
sempre medidos em sentido antihorário.
Dada a seguinte FT em malha aberta:
G(s)H(s) = K(s+z
1
)
 (s+p
1
)(s+p
2
)(s+p
3
)(s+p
4
)
Vamos mostrar como determinar a fase e 
magnitude do sistema para um ponto de teste.
 
Medição dos ángulos e magnitudes 
a partir de um ponto de teste.
 
Passos para a construção do lugar 
geométrico das raizes
● Primeiro passo: Localizar os zeros e polos da 
função de malha aberta G(s)H(s) no plano s.
● Segundo passo: Localizar os possíveis 
lugares geométricos das raizes usando a 
condição de fase.
● Tercer passo: Se necessário, graduar a 
escala dos lugares geométricos no ganho 
usando a condição de magnitude.
 
Exemplo 1
● Desenhar o lugar geométrico das raizes para 
o seguinte sistema:
G(s)= K 
 s(s+1)(s+2)
H(s) = 1
● Determinar o valor do ganho K para que o 
amortecimento relativo dos polos dominantes 
seja de 0.5
 
Exemplo 1: solução
1. Determinar os lugares geomêtricos das raizes 
no eixo real.
θ
1
=0θ
2
=0θ
3
=0
Não pertence ao lugar 
geometrico 
 
Exemplo 1: solução
1. Determinar os lugares geomêtricos das raizes 
no eixo real.
θ
1
=180θ
2
=0θ
3
=0
Pertence ao lugar 
geometrico 
 
Exemplo 1: solução
1. Determinar os lugares geomêtricos das raizes 
no eixo real.
θ
1
=180θ
2
=180θ
3
=0
Não pertence ao lugar 
geometrico 
 
Exemplo 1: solução
1. Determinar os lugares geomêtricos das raizes 
no eixo real.
θ
1
=180θ
2
=180θ
3
=180
Pertence ao lugar 
geometrico 
 
Exemplo 1: solução
1. Determinar os lugares geomêtricos das raizes 
no eixo real.
Lugar geometrico 
sobre o eixo real
 
Exemplo 1: solução
2. Determinar as asíntotas do lugar geomêtrico 
das raizes.
As asíntotas se determinam da seguinte forma:
Conforme s tiende a infinito e selecionando um 
ponto de teste longe do origem temos:
 
A condição de fase sería:
 
Exemplo 1: solução
2. Determinar as asíntotas do lugar geomêtrico 
das raizes.
asíntotas
 
Exemplo 1: solução
3. Determinar o ponto de ruptura
O ponto de ruptura acontece onde a equação 
característica apresenta raizes múltiplas.
Este ponto pode ser obtido a partir das raizes de 
dK/ds=0.
 
Exemplo 1: solução
3. Determinar o ponto de ruptura
O ponto de ruptura real é s=-0.4226 pois existe 
lugar geometrico entre 0 e -1.
Determinando os valores de K para cada um 
deles podemos validar isto:
K = -s3 - 3s2 - 2s
para s=-0.4226 obtemos K=0.3849
para s=-1.5774 obtemos K=-0.3849
 
Exemplo 1: solução
4. Determinar os pontos onde o lugar 
geometrico intercepta o eixo imaginário
Estes pontos podem ser obtidos a través do 
critério de Routh.
 s3 + 3s2 + 2s + K = 0
A fila s1 permite determinar o 
valor crítico de K.
A fila s2 permite determinar os 
pontos de intercepção com o 
eixo imaginário sendo s=±j√2
 
Ejemplo 1: solução
 
Ejemplo 1: solução
5. Selecionar um ponto de teste na vizinhança 
do origem e o eixo jω e verificar se pertence 
ao lugar geométrico através da condição de 
fase. 
Localize uma quantidade 
suficiente de pontos que 
satisfaçam a condição de 
fase.
 
Ejemplo 1: solução
 
Ejemplo 1: solução
6. Desenhar o lugar geométrico usando os 
pontos obtidos no passo anterior.
● Lembrar que o lugar 
geométrico é simétrico 
ao eixo real.
● Sinalizar o sentido do 
aumento do ganho 
para cada lugar geo-
metrico.
 
Ejemplo 1: solução
7. Determinar o lugar geometrico de dois polos 
dominantes em malha fechada tal que o fator 
de amortecimento relativo seja o solicitado.
Os polos complexos conjugados com 
amortecimento relativo constante encontram-se 
numa linha que parte do origem com o seguinte 
angulo:
Φ = cos-1ζ
Neste caso, para ζ=0.5, Φ = cos-10.5 = 60º
 
Ejemplo 1: solução
O valor de K para os 
polos dominantes com 
fator de amortecimento 
relativo 0.5 determinam-
se apartir da condição 
de magnitude:
 
Verificar que existem de 
fato polos dominantes 
para o valor de ganho 
determinado
 
Exemplo 2
● Desenhar o lugar geométrico das raizes para 
o seguinte sistema:
G(s)= K(s+2) 
 s2+2s+3
H(s) = 1
O sistema tem um zero em s=-2 e dois polos 
complexos conjugados em -1±j√2 
 
Exemplo 2: solução
1. Determinar os lugares geomêtricos das raizes 
no eixo real.
θ
1
+θ
2
=360
φ
1
=180
Pertençe ao 
lugar geométrico
 
Exemplo 2: solução
2. Determinar o ángulo de saída dos polos 
complexos conjugados.
Procurar um 
ponto de teste no 
entorno de um 
polo complexo 
conjugado que 
satisfaça a con-
dição de fase.
 
Exemplo 2: solução
3. Determinar o ponto de ingresso
O ponto de ingresso acontece onde a equação 
característica apresenta raizes reais.
Este ponto pode ser obtido a partir das raizes de 
dK/ds=0.
 
Exemplo 2: solução
4. Determinar os pontosonde o lugar 
geometrico intercepta o eixo imaginário
Estes pontos podem ser obtidos a través do 
critério de Routh.
 s2 + (K+2)s + 2K+3 = 0
Obviamente o lugar geometrico não 
intercepta o eixo imaginário
 
Ejemplo 2: solução
 
Ejemplo 2: solução
5. Selecionar um ponto de teste na vizinhança 
do ponto de ingresso e verificar se pertencem 
ao lugar geométrico através da condição de 
fase. 
Localize uma 
quantidade 
suficiente de 
pontos que 
satisfaçam a 
condição de 
fase.
 
Ejemplo 2: solução
5. Selecionar um ponto de teste na vizinhança 
do ponto de ingresso e verificar se pertencem 
ao lugar geométrico através da condição de 
fase. 
Determinar o 
ganho K em 
alguns dos 
pontos de 
teste.
 
Ejemplo 2: solução
6. Desenhar o lugar geométrico usando os 
pontos obtidos no passo anterior.
● Lembrar que o lugar 
geométrico é simétrico 
ao eixo real.
● Sinalizar o sentido do 
aumento do ganho 
para cada lugar geo-
metrico.
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