Integral - lista_4

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Universidade Federal do Ceara´
Departamento de Matema´tica - Ca´lculo III
Quarta Lista de Exercı´cios
Professor Fla´vio Franc¸a
1. Mostre que a expressa˜o do laplaciano em coordenadas polares e´
∆ =
∂2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
+
1
r2
∂2
∂θ2
+
∂2
∂z2
.
2. Verifique que a equac¸a˜o das ondas
∂2u
∂x2
− 1
c2
∂2u
∂t2
= 0
transforma-se em uµν = 0 atrave´s da mudanc¸a de coordenadas µ = x+ t e
ν = x− ct.
3. Demonstre que se todas normais a uma superfı´cie z = z(x, y) intersec-
tam o eixo Oz, enta˜o essa superfı´cie e´ de revoluc¸a˜o em torno deste eixo,
ou seja, z = f(x2 + y2).
4. Calcule a derivada das func¸o˜es dadas.
a) F (x) =
∫ x2
1
lny dy
b) F (x) =
∫ x
0
sen(xy)
y
dy
c) F (x) =
∫ pi
0
cos(xy−1)
y
dy
c) F (x) =
∫ 1
−√x
dy√
y2+1
5. Sejam D ⊂ R2 um subconjunto sime´trico com relac¸a˜o a origem e f :
D → R uma func¸a˜o contı´nua e impar. Em sı´mbolos,
(x, y) ∈ D ⇐⇒ (−x,−y) ∈ D ; f(x, y) = −f(−x,−y).
Mostre que ∫ ∫
D
f(x, y) dxdy = 0.
6. Em cada item, esboce o domı´nio D e calcule a integral dupla de f sobre
D.
a) D = {(x, y) : x ≥ 0 , y ≥ 0 , x+ y ≥ 1} e f(x, y) = x2y
b) D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , x+ y ≥ 1} e f(x, y) = x2 + y2
2
c) D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1 , y ≥ 0} e f(x, y) = x
d) D = {(x, y) : y ≥ x2 , y ≤ x} e f(x, y) = xey
e) D = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ x ≤ pi} e f(x, y) = xseny
f) D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , 1 − x2 ≤ y ≤ x2} e f(x, y) = ax + by + c,
interprete o resultado geometricamente.
7. Determine o volume do so´lido que esta´ no primeiro octante e e´ delimi-
tado pelos planos z = x+ y + 1 e x+ y = 1. Fac¸a um esboc¸o do so´lido.
8. Determine o volume do so´lido que esta´ no primeiro octante que e´ deli-
mitado pelo plano y + z = 1. Fac¸a um esboc¸o do so´lido.
9. Seja f ≥ 0 uma func¸a˜o contı´nua definida no domı´nio D ⊂ R2. Suponha
que ∫ ∫
D′
f(x, y) dxdy = 0,
para todo domı´nio limitado D′ ⊂ D. Mostre que f ≡ 0.
10. Calcule as integrais.
a)
∫ ∫
R
|(x+ y)(x− y)| dxdy ; R = {(x, y) : |x|+ |y| ≤ 1}.
b)
∫ ∫
x2+y2≤R2 dxdy
c)
∫ ∫
D
xy dxdy ; D : 0 ≤ y ≤ x ≤ 1
d)
∫ ∫
D
xy(x
4
a2
+ y
4
b2
) dxdy ; x
4
a2
+ y
4
b2
≤ R ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
e)
∫ ∫
x2+y2≤1
dxdy
x2+y2+1
.
11. Calcule a a´rea interior deo cı´rculo r = 3acosθ.
12. Calcule a a´rea dos conjuntos: a) D = {(x, y) : x3 ≤ y ≤ √x} b) D e´ o
conjunto limitado pelas curvas y = x2 − x e x = y2 − y.
13. Calcule as integrais impro´prias.
a)
∫∞
0
∫∞
0
e−x−y dxdy b)
∫ ∫
x2+y2≤1 ln(
√
x2 + y2)
c)
∫ ∫
D
ex/y dxdy , D : 0 ≤ x ≤ y2 , 0 ≤ y ≤ 1.
Terceira Avaliac¸a˜o: 28/06/2010.