INTEGRAL Apostila (1)
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INTEGRAL Apostila (1)


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Módulo 2
281
Cálculo Integral
Função primitiva
1R\ufffdHVWXGR\ufffdGD\ufffdGHULYDGD\ufffdSULPLWLYD\ufffd\ufffdWtQKDPRV\ufffdXPD\ufffdIXQ-
omR\ufffdH\ufffdREWLYHPRV\ufffd\ufffdD\ufffdSDUWLU\ufffdGHOD\ufffd\ufffdXPD\ufffdRXWUD\ufffd\ufffdD\ufffdTXH\ufffdFKDPDPRV\ufffd
de derivada\ufffd\ufffd1HVWD\ufffdVHomR\ufffd\ufffdIDUHPRV\ufffdR\ufffdFDPLQKR\ufffdLQYHUVR\ufffd\ufffdLVWR\ufffd
é, dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma 
IXQomR\ufffdRULJLQDO\ufffd\ufffdTXH\ufffdFKDPDUHPRV\ufffdGH\ufffdSULPLWLYD\ufffd\ufffd9RFr\ufffdGHYH\ufffd
REVHUYDU\ufffd \ufffdTXH\ufffdp\ufffd LPSRUWDQWH\ufffdFRQKHFHU\ufffdEHP\ufffdDV\ufffdUHJUDV\ufffdGH\ufffd
derivação e as derivadas de várias funções, estudadas no 
Capítulo 5, para determinar as primitivas. O que acabamos 
GH\ufffdPHQFLRQDU\ufffd\ufffdQRV\ufffdPRWLYD\ufffdD\ufffdVHJXLQWH\ufffdGHÀQLomR\ufffd
Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função 
f (x) em um intervalo I , se para todo x DI , tem-se 
F '(x) \ufffd f (x) .
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 7.1 A funçãoF (x) \ufffd x
5
5
é uma primitiva da função f (x) \ufffd x4 ,
pois 
F '(x) \ufffd 5 x
4
5
\ufffd x4 \ufffd f (x) , ™x D°
Exemplo 7.2 As funções T (x) \ufffd x
5
5
 9 , H (x) \ufffd x
5
5
< 2 também são 
primitivas da função f (x) \ufffd x4 , poisT '(x) \ufffd H '(x) \ufffd f (x) .
Nesta unidade, passaremos 
a nos preocupar com o 
teorema mais importante 
do cálculo diferencial, que 
é o Teorema Fundamental 
do Cálculo. É importante 
TXH\ufffdYRFr\ufffdFRPSUHHQGD\ufffdHVWD\ufffd
temática antes de prosseguir 
seus estudos. Não esqueça 
TXH\ufffdYRFr\ufffdQmR\ufffdHVWi\ufffdVR]LQKR\ufffd\ufffd
conte com o Sistema de 
$FRPSDQKDPHQWR\ufffdSDUD\ufffd
auxiliar-lo nas suas dúvidas. 
Curso de Graduação em Administração a Distância
282
Exemplo 7.3 A função F (x) \ufffd e
<3 x
<3
 é uma primitiva da função
f (x) \ufffd e< 3x , pois 
F '(x) \ufffd <3 = e
<3x
<3
\ufffd e<3x \ufffd f (x) ,™x D° .
Exemplo 7.4 A função F (x) \ufffd x \ufffd x
1
2 é uma primitiva da função
f (x) \ufffd 1
2 x
, pois 
F '(x) \ufffd 1
2
x
1
2
< 1
\ufffd 1
2
= x
<
1
2 \ufffd 1
2
= 1
x
1
2
\ufffd 1
2 x
\ufffd f (x) ,x \ufffd 0 .
Observação Seja I um intervalo em° . SeF : I A ° é uma primitiva de
f : I A ° , então para qualquer constante realk , a função G(x) dada por 
G(x) \ufffd F (x) 
 k é também uma primitiva de f (x) .
Se F ,G : I A ° são primitivas de f : I A ° , então existe uma 
constante real k
,
 tal queG(x) \ufffd F (x) 
 k , para todox DI .
Exemplo 7.5 Sabemos que sen x\ufffd 	 ' \ufffd cosx . Assim, F (x) \ufffd sen x
é uma primitiva da função f (x) \ufffd cosx e toda primitiva da função 
f (x) \ufffd cosx é do tipo G(x) \ufffd sen x 
 k para k D ° .
Assim, G
1
(x) \ufffd sen x 
10 , G
2
(x) \ufffd sen x < 50 e G
3
(x) \ufffd sen x < 3
4
são 
todas primitivas da função f (x) \ufffd cosx , pois
G
1
`(x) \ufffdG
2
` (x) \ufffdG
3
`(x) \ufffd cos x \ufffd f (x) .
Exemplo 7.6 Encont rar uma primit iva F (x) , da f unção
f (x) \ufffd 2x3 < 4x2 
 5x <1 , para todo x D° , que satisfaça a seguinte 
condiçãoF (1) \ufffd 4 .
Resolução:\ufffd3HOD\ufffdGH¿QLomR\ufffdGH\ufffdIXQomR\ufffdSULPLWLYD\ufffdWHPRV\ufffdF '(x) \ufffd f (x)
para todox D ° , assim, F (x) será uma função cuja derivada será 
a função f (x) dada. Logo, 
F (x) \ufffd 2
4
x4 < 4 x
3
3
 5x
2
2
< x 
 k ,
pois 
F '(x) \ufffd 2
4
u4x3 < 4 u3x
2
3
 5 u2 x
2
<1
 0
Módulo 2
283
\ufffd 2x3 < 4x2 
 5x <1\ufffd f (x) ,
ou seja,
F (x) \ufffd 1
2
x4 < 4 x
3
3
 5x
2
2
< x 
 k .
Como F (x) deve satisfazer a condiçãoF (1) \ufffd 4 , vamos calcular o 
valor da constante k , fazendo x \ufffd 1 na funçãoF (x) ,
isto é, 
F (1) \ufffd 1
2
1\ufffd 	4 < 4 1\ufffd 	
3
3
< 5
1\ufffd 	2
2
<1
 k \ufffd 4
e resolvendo temos k \ufffd 10
4
.
Assim, 
F (x) \ufffd 1
2
x4 < 4 x
3
3
 5x
2
2
< x 
 10
3
.
Portanto, 
F (x) \ufffd 1
2
x4 < 4 x
3
3
 5x
2
2
< x 
 13
3
,
é uma função primitiva de 
f (x) \ufffd 2x3 < 4x2 
 5x <1,
que satisfaz condiçãoF (1) \ufffd 4 .
Exemplo 7.7 Encontrar uma primitivaF (x) , da função
f (x) \ufffd 1
1 
 x2
 x3+2 ,
que satisfaça a seguinte condiçãoF (0) \ufffd 2 .
Resolução: Sabemos que F (x) é uma função cuja derivada é a 
função f (x) dada. Conforme visto no Capitulo 5, temos
d
dx
arc tg x\ufffd 	 \ufffd 1
1
 x2
ou arc tg x\ufffd 	 ' \ufffd 1
1
 x2
.
Logo, 
F (x) \ufffd arc tg x 
 x
4
4
 2x 
 k ,
pois, 
Curso de Graduação em Administração a Distância
284
F '(x) \ufffd arc tg x\ufffd 	 ' + x
4
4
£
¤²
¥
¦´
v
 (2x) '
 k '
 
\ufffd 1
1
 x2
 4x
3
4
 2 
 0
 =
1
1
 x2
 x3 
 2 \ufffd f (x) ,
ou seja, 
F (x) \ufffd arc tg x 
 x
4
4
 2 x 
 k .
Como F (x) deve satisfazer a condiçãoF (0) \ufffd 2 , com isto vamos 
calcular o valor da constante k fazendox \ufffd 0 na funçãoF (x) ,
isto é, 
F (x) \ufffd arc tg x 
 x
4
4
 2x 
 k
‰ F (0) \ufffd arc tg 0 
 0
4
4
 2 u0 
 k \ufffd 2
‰ 0 
 0 
 0 
 k \ufffd 2 ‰ k \ufffd 2
Assim, 
F (x) \ufffd arc tg x 
 x
4
4
 2x 
 2 .
Portanto, 
F (x) \ufffd arc tg x 
 x
4
4
 2x 
 2
é uma função primitiva de 
f (x) \ufffd 1
1
 x2
 x3+2
que satisfaz a condiçãoF (0) \ufffd 2 .
Exemplo 7.8 Encontrar uma primitivaF (x) , da função
f (x) \ufffd e<3x 
 x ,
que satisfaça a condiçãoF (0) \ufffd 1 .
Resolução: Sabemos que F (x) será uma função cuja derivada 
Módulo 2
285
será a função f (x) dada, logo 
F (x) \ufffd < e
<3 x
3
 2
3
x
3
2 
 k ,
pois,
F '(x) \ufffd < e
<3 x
3
£
¤²
¥
¦´
v
 2
3
x
3
2
£
¤²
¥
¦´
v
 k
 
\ufffd <(<3) e
<3 x
3
 2
3
u 3
2
x
3
2
<1
 
\ufffd e<3 x 
 x
1
2 \ufffd e<3 x 
 x \ufffd f (x) ,
ou seja,
F (x) \ufffd < e
<3 x
3
 2
3
ux
3
2 
 k .
Como F (x) deve satisfazer a condiçãoF (0) \ufffd 1 , com isto vamos 
calcular o valor da constante k fazendox \ufffd 0 na funçãoF (x) ,
isto é, 
F (x) \ufffd < e
<3 x
3
 2
3
. x
3
2 
 k
‰ F (0) \ufffd < e
<3 . 0
3
 2
3
. 0
3
2 
 k \ufffd 1
‰< 1
3
 2
3
u0 
 k \ufffd 1
‰< 1
3
 0 
 k \ufffd 1
‰ k \ufffd 1
 1
3
\ufffd 4
3
‰ k \ufffd 4
3
.
Assim, 
F (x) \ufffd < e
<3 x
3
 2
3
x
3
2 
 4
3
.
Portanto, F (x) \ufffd < e
<3 x
3
 2
3
x
3
2 
 4
3
, é uma função primitiva de 
f (x) \ufffd e-3 x 
 x que satisfaz a condiçãoF (0) \ufffd 1 .
Curso de Graduação em Administração a Distância
286
+PVGITCN\ufffdKPFG\u17fPKFC
Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do 
Cálculo. Outro conceito também muito importante é o de Integral. Exis-
te uma estreita relação entre estas duas idéias. Assim, nesta seção, será 
introduzida a idéia de integral, mostrando sua relação com a derivada.
Se a função F (x) é primitiva da função f (x), a expressão
F (x) 
C é chamada LQWHJUDO\ufffdLQGHÀQLGD da função f (x)
e é denotada por 
f (x) dx \ufffd F (x) 
C0
onde
0 < é chamado sinal de integração; 
f (x) < é a função integrando;
dx \ufffd ²\ufffdD\ufffdGLIHUHQFLDO\ufffdTXH\ufffdVHUYH\ufffdSDUD\ufffdLGHQWLÀFDU\ufffdD\ufffdYDULiYHO\ufffdGH\ufffd
integração;
C \u2013 é a constante de integração.
/r\ufffdVH\ufffd\ufffd,QWHJUDO\ufffdLQGHÀQLGD\ufffdGH\ufffd f (x) em relação a x ou simplesmente 
integral de f (x) em relação ax .
2\ufffdSURFHVVR\ufffdTXH\ufffdSHUPLWH\ufffd HQFRQWUDU\ufffd D\ufffd LQWHJUDO\ufffd LQGHÀQLGD\ufffdGH\ufffd XPD\ufffd
IXQomR\ufffdp\ufffdFKDPDGR\ufffdintegração.
Observação'D\ufffdGHÀQLomR\ufffdGH\ufffdLQWHJUDO\ufffdLQGHÀQLGD\ufffd\ufffdWHPRV\ufffdDV\ufffdVHJXLQWHV\ufffd
observações:
(i) f (x) dx \ufffd F (x) 
C ‹ F '(x) \ufffd f (x)0 .
(ii) f (x) dx0 representa uma família de funções, isto é, a família 
ou o conjunto de todas as primitivas da função integrando.
(iii) d
dx
f (x) dx0\ufffd 	 \ufffd ddx F (x) 
C\ufffd 	 \ufffd
d
dx
F (x) \ufffd F '(x) \ufffd f (x) .
Módulo 2
287
Vejamos alguns casos, no exemplo a seguir. 
Exemplo 7.9
(i) Se d
dx
senx\ufffd 	 \ufffd cosx então cosx dx \ufffd senx 
C0 .
(ii) Se d
dx
x4\ufffd 	 \ufffd 4x3 então 4x3dx \ufffd x4 + C0 .
(iii) Se d
dx
x\ufffd 	 \ufffd 1
2 x
 então
1
2 x
dx \ufffd x 
C0 .
(iv) Se d
dx
tg x\ufffd 	 \ufffd sec2 x então sec2 x dx \ufffd tgx 
 C0 .
(v) Se d
dx
arctg x\ufffd 	 \ufffd 1
1
 x2
 então
1
1
 x2
dx \ufffd arctgx 
C0 .
(vi) Se d
dx
3
5
x
5
3
£
¤²
¥
¦´
\ufffd x
2
3
, então x
2
3 dx \ufffd 3
5
x
5
3 
C0 .
Observação Pelos exemplos acima, temos:
f (x) dx \ufffd F (x) 
C0 ‰
d
dx
f (x)dx0\ufffd 	 \ufffd f (x) .
Isto nos permite que obtenhamos fórmulas de integração