A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
17 pág.
texto-apostila-ProjExper.PDF.zip

Pré-visualização | Página 1 de 4

1 
,1'������±�,QIHUrQFLD�(VWDWtVWLFD�
�
3ODQHMDPHQWR�GH�([SHULPHQWRV��$QiOLVH�GH�9DULkQFLD�H�([SHULPHQWRV�)DWRULDLV�
�SRU�)OiYLD�&HVDU�7HL[HLUD�0HQGHV��
 
2�TXH�p�XP�SODQHMDPHQWR�GH�H[SHULPHQWRV"�
Um planejamento de experimentos consiste em um teste ou uma série de testes nos quais variam-se 
propositadamente os valortes das chamadas YDULiYHLV�FRQWUROiYHLV de modo a se poder observar e 
identificar as mudanças correspondentes na YDULiYHO� GH� UHVSRVWD. A figura a seguir mostra 
esquematicamente uma variável de resposta e variáveis controláveis de um processo. 
 
 
 
 
 
 
As variáveis incontroláveis (ou “de ruído”), também representadas, correspondem à variação 
aleatória da resposta. Os métods de análise de experimentos buscam identificar o efeito das 
variáveis controláveis (ou “fatores”) através da observação (ruidosa) dos valores da resposta. 
Tais experimentos são muito usados para melhorar processos. 
Apresentaremos agora os principais métodos de planejamento de experimentos e introduziremos as 
ferramentas apropriadas para análise dos dados. Iniciaremos o estudo com o tipo mais simples de 
planejamento de experimentos: o experimento com um fator. 
�
([SHULPHQWR�FRP���IDWRU�
Suponha que um fabricante de alumínio produza anodos de carbono, endurecendo-os mediante 
“cozimento” em um forno industrial antes de usá-los na operação de fundição do alumínio. A 
densidade do anodo é uma característica de qualidade importante, pois ela pode afetar seu tempo de 
vida útil. Um dos engenheiros do processo suspeita que a temperatura do forno afeta a densidade do 
anodo. Para verificar se isso é verdade, foi realizado um experimento para investigar 4 níveis 
distintos de temperatura do forno (500oC, 525oC, 550oC e 575oC) e 6 anodos foram “cozidos” a 
cada temperatura, de modo inteiramente aleatório. 
Processo 
variáveis controláveis 
variáveis incontroláveis 
entrada resposta \�
 2 
Este é um exemplo de um experimento com 1 fator com 4 níveis do fator (a = 4), onde, para cada 
nível do fator, existem 6 observações (n = 6). 
 
Uma tabela pode ser criada para anotar todos os 4×6 = 24 dados deste experimento: 
Temperatura 
do forno (oC) 
Densidade do anodo 
500 41,8 41,9 41,7 41,6 41,5 41,7 
525 41,4 41,3 41,7 41,6 41,7 41,8 
550 41,2 41,0 41,6 41,9 41,7 41,3 
575 41,0 41,6 41,8 41,2 41,9 41,5 
 
Veremos, agora, como os dados de um experimento com 1 fator podem ser analisados 
estatisticamente. A ferramenta que iremos utilizar é a $QiOLVH�GH�9DULkQFLD a 1 fator. 
 
Vamos supor que existam D níveis do fator. Queremos comparar esses níveis do fator. Os dados 
obtidos de um experimento com 1 fator podem ser escritos da seguinte maneira: 
 
1tYHO�GR�IDWRU� 2EVHUYDo}HV� 7RWDLV� 0pGLDV�
�� �\\\\ 1131211 � � ⋅1\ �
⋅1\ �
�� �\\\\ 2232221 � � ⋅2\ �
⋅2\ �
� � ����� � � � � �
D� ������ \\\\ �321 � ⋅�\ � ⋅�\ �
� �
⋅⋅
\ �
⋅⋅
\ �
 
Cada entrada na tabela ( � �\ ) representa a j-ésima observação retirada quando o nível do fator é i; 
⋅
�\ �representa a soma das observações para o i-ésimo nível do fator, e 
⋅
	\
 representa a média das 
observações para o i-ésimo nível do fator; 
⋅⋅
\ representa a soma total de todas as 1� � DQ 
observações, e 
⋅⋅
\
 representa a média global de todas as 1� �DQ observações. Iremos considerar 
aqui neste nosso estudo somente os casos onde existe um número igual de observações para cada 
nível do fator. 
 
As observações podem ser descritas pelo modelo: 
 3 


=
=
ε+τ+µ= QM
DL\ 
 �
 �
,,2,1
,,2,1
�
�
 , onde � 
\ � é a (ij)-ésima observação; µ é um parâmetro comum a 
todos os níveis do fator (média global); τi é um parâmetro associado ao i-ésimo nível do fator 
(efeito do nível i do fator); e εij é o componente do erro aleatório (assume-se que os erros são 
variáveis aleatórias normais e identicamente distribuídas com média zero e variância σ2 constante e 
igual para todos os níveis do fator). Os efeitos do fator (τi) são definidos de modo a se ter ∑
=
=τ
�
�
�
1
0 . 
 
Estamos interessados em testar a igualdade das médias de \ nos D níveis do fator. As hipóteses 
apropriadas são, então: 
Lummenospelopara0:H
0:H
1
210
≠τ
=τ==τ=τ
�
��
; se a hipótese nula for verdadeira, então cada observação é 
descrita somente pela média global µ mais um erro aleatório εij. 
 
A avaliação do teste de hipóteses descrito anteriormente é chamada DQiOLVH�GH�YDULkQFLD. 
O termo análise de variância resulta da partição da variabilidade total dos dados em seus 
componentes. Como medida da variabilidade total, usaremos a VRPD�GRV�TXDGUDGRV�WRWDO, dada 
por 
( ) DQ
\\\\
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� �
2
1 1
2
1 1
2
TSS
⋅⋅
= == =
⋅⋅
−=−= ∑∑∑∑ . 
A variabilidade total, medida através da soma dos quadrados total (SST), pode ser parcelada em: 
variabilidade existente entre os níveis do fator, medida através da VRPD�GRV�TXDGUDGRV�GHYLGR�DR�
IDWRU (SSfator), e variabilidade existente devido ao erro aleatório, medida através da VRPD� GRV�
TXDGUDGRV�GHYLGR�DR�HUUR (SSE). 
 
Podemos escrever, então: 
SST = SSfator + SSE 
onde SSfator é calculada da seguinte maneira: 
( ) DQ
\
Q
\\\Q
�
�
�
�
�
�
2
1
2
1
2
fatorSS
⋅⋅
=
⋅
=
⋅⋅⋅
−=−= ∑∑ , 
e, então, SSE = SST – SSfator. 
 
 4 
Se a SSfator for grande, isto ocorre devido às diferenças entre as médias de \ nos níveis do fator. 
Então, comparando a magnitude da SSfator com a da SSE, é possível saber o quanto a variabilidade é 
devido aos níveis do fator e o quanto ela é devido ao erro aleatório. Essa comparação é mais correta 
se dividirmos as somas dos quadrados pelos seus números de graus de liberdade. São DQ� � 1 
observações no total; então, 66 � �WHP��1�±����JUDXV�GH�OLEHUGDGH; são D níveis do fator; logo, 66 � �fiff fl�ffi �
WHP��D�±����JUDXV�GH�OLEHUGDGH; além disso, para cada nível do fator existem Q observações, que 
fornecem (Q – 1) graus de liberdade, e, como são D níveis do fator, 66 � WHP�D�Q� ±� ��� JUDXV�GH�
OLEHUGDGH. 
A razão entre uma soma dos quadrados e seu número de graus de liberdade é chamada de 
TXDGUDGR�PpGLR (MS); então: 
 
( )1
SSMSe
1
SSMS EEfatorfator
−
=
−
= QDD . 
Pode-se mostrar que o MSE é um estimador não-tendencioso da variância do erro aleatório, σ2, 
enquanto que MSfator somente o será se a hipótese H0 anterior for verdadeira, isto é, se as médias 
de \ forem iguais, em cada nível do fator. 
Podemos fazer, então, um teste estatístico baseado na distribuição F para a igualdade entre as 
médias de \ nos níveis do fator usando a estatística teste F0, dada por: 
 
E
fator
0 MS
MSF = , pois se H0 for verdadeira, teremos F0 ~ F! – 1, ! (" – 1). 
Se ) # �!�) $&%('*),+-%.'�/ 01),+-2 , pode-se concluir que as PpGLDV�GH�\�QRV�QtYHLV�GR� IDWRU�QmR�VmR� WRGDV�
LJXDLV��DR�QtYHO�GH�VLJQLILFkQFLD�D��
Podemos escrever a análise de variância de forma tabelada: 
)RQWH�GH�
YDULDomR�
6RPD�GRV�
TXDGUDGRV��66��
*UDXV�GH�
OLEHUGDGH��J��O���
4XDGUDGR��
PpGLR��06��
�
) # �
(QWUH�RV�QtYHLV��
GR�IDWRU� SSfator D – 1 1
SSMS fatorfator
−
= D E
fator
0 MS
MSF = 
(UUR��GHQWUR�GRV�
QtYHLV�GR�IDWRU�� SSE D(Q – 1) ( )1
SSMS EE
−
= QD 
7RWDO� SST DQ – 1 
 
 5 
Voltando ao H[HPSOR: 
Temperatura 
do forno (oC) 
Densidade do anodo Totais Médias 
500 41,8 41,9 41,7 41,6 41,5 41,7 250,2 41,7 
525 41,4 41,3 41,7 41,6 41,7 41,8 249,5 41,6 
550 41,2 41,0 41,6 41,9 41,7 41,3 248,7 41,5 
575 41,0 41,6 41,8 41,2 41,9 41,5 249,0 41,5 
 997,4 41,6 
Logo: 
DQ
\\
3
4
5
6
4 6
2
1 1
2
TSS
⋅⋅
= =
−= ∑∑ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
×
−++++
64
997,441,541,741,941,8
2
2222
� 1,72 
 
DQ
\
Q
\7
8
2
1
2
fatorSS
⋅⋅
=
⋅
−= ∑ 9 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
×
−
+++
64
997,4
6
0,2497,2485,2492,250 22222 0,22 
 
SSE = SST – SSfator = 1,50 
 
Então: 
)RQWH�GH�
YDULDomR�
6RPD�GRV�
TXDGUDGRV��66��
*UDXV�GH�
OLEHUGDGH��J��O���
4XDGUDGR��
PpGLR��06��
�
) : �
(QWUH�RV�QtYHLV��
GR�IDWRU� 0,22 3 
073,0
3
22,0MSfator == 973,0075,0
073,0F0 == 
(UUR��GHQWUR�
GRV�QtYHLV�GR�
IDWRU��
1,50 20 075,0
20
50,1MSE == 
7RWDO�