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Como ) : \ufffd \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd) :\ufffd; :=<-;?>@;BA@: \ufffd \ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd, podemos concluir que as médias dos níveis do fator QmR são 
diferentes, ou seja, a temperatura do forno QmR\ufffd DIHWD a densidade do anodo, ao nível de 
significância de 1%. 
\ufffd
 6 
([SHULPHQWRV\ufffdIDWRULDLV\ufffd
Quando existem muitos fatores em um experimento, o experimento fatorial deve ser utilizado. 
Neste tipo de experimento, os fatores variam simultaneamente: em cada repetição do experimento, 
todas as possíveis combinações dos níveis dos fatores são investigadas. Por exemplo, se existem 2 
fatores (A e B), com D níveis do fator A e E níveis do fator B, então cada repetição contém todas as 
DE possíveis combinações. 
 
O HIHLWR\ufffdGH\ufffdXP\ufffdIDWRU é definido como a alteração na média da variável de resposta produzida por 
uma mudança no nível deste fator. Isto é denominado efeito principal (ou primário). Por exemplo, 
consideremos a figura abaixo, onde os fatores A e B possuem 2 níveis, denotados por \u201c \u2013 \u201d (baixo) e 
\u201c + \u201d (alto), respectivamente: 
 
 
 
 
O efeito principal do fator A equivale à diferença entre a resposta média no nível alto de A e a 
resposta média no nível baixo de A, ou seja 20
2
2010
2
4030
=
+
\u2212
+
=$ , isto é, alterando o fator A 
do nível baixo para o nível alto provoca-se um aumento médio na resposta de 20 unidades. 
Similarmente, o efeito principal do fator B é 10
2
3010
2
4020
=
+
\u2212
+
=% . 
 
Em alguns experimentos, a diferença na resposta entre os níveis do fator não é a mesma em todos os 
níveis dos outros fatores. Quando isto ocorre, existe LQWHUDomR entre os fatores. Por exemplo, 
consideremos a figura abaixo: 
 
 
 
 
No nível baixo do fator B, o efeito do fator A é $C
-
 = 30 \u2013 10 = 20, e no nível alto do fator B, o 
efeito do fator A $C + =é 0 \u2013 20 = -20. Uma vez que o efeito do fator A depende do nível escolhido 
para o fator B, existe interação entre A e B. 
fator A 
fato
r
 B
 - 
- 
+ 
+ 
20 0 
10 30 
fator A 
fato
r
 B
 - 
- 
+ 
+ 
20 40 
10 30 
 7 
Quando a interação é grande, os efeitos principais correspondentes têm pouco significado. Por 
exemplo, usando a figura anterior, o efeito principal do fator A é 0
2
2010
2
030
=
+
\u2212
+
=$ , o que, 
num primeiro momento, nos levaria a concluir que não existe o efeito do fator A; no entanto, 
quando examinamos o efeito do fator A nos diferentes níveis do fator B, vimos que isto não é 
verdade. O efeito do fator A depende dos níveis do fator B. Então, o conhecimento da interação AB 
é mais útil do que o conhecimento do efeito principal. Uma interação significativa pode mascarar o 
significado dos efeitos principais. 
 
Veremos agora como analisar um H[SHULPHQWR\ufffdIDWRULDO\ufffdFRP\ufffd\ufffd\ufffdIDWRUHV: 
Sejam os 2 fatores denotados por A e B, com D níveis do fator A e E níveis do fator B. Se o 
experimento é repetido Q vezes, os dados podem ser melhor visualizados da seguinte maneira: 
 Fator B 
 1 2 . . . E\ufffd
1 D\\\ 11112111 ...,,, E\\\ 12122121 ...,,, . . . F EFF \\\ 12111 ...,,, 
2 G\\\ 21212211 ...,,, H\\\ 22222221 ...,,, . . . I\ufffdJII \\\ 22212 ...,,, 
\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd 
Fator A 
D\ufffd K
LLL \\\ 11211 ...,,, MNNN \\\ 22221 ...,,, . . . N-O-MN-ON-O \\\ ...,,, 21 
As DEQ observações ocorrem em ordem aleatória, ou seja, trata-se de um planejamento de 
experimentos inteiramente aleatorizado. A observação na (ij)-ésima célula na k-ésima repetição é 
denotada por P QSR\ . 
As observações podem ser descritas pelo modelo: 
( )
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
=
=
=
\u3b5+\u3c4\u3b2+\u3b2+\u3c4+µ=
QN
EM
DL
\ T USVT UUTT USV
...,,1
...,,1
...,,1
 , onde µ é a média principal global; \u3c4i é o efeito do 
i-ésimo nível do fator A; \u3b2j é o efeito do j-ésimo nível do fator B; (\u3c4\u3b2)ij é o efeito da interação entre 
os fatores A e B; e \u3b5ijk é o componente do erro aleatório (assume-se que os erros são variáveis 
aleatórias normais e identicamente distribuídas com média zero e variância \u3c32). Estamos 
interessados em testar a hipótese de efeitos não-significativos dos fatores A e B e da interação AB. 
 8 
Podemos escrever 
\u22c5\u22c5
W\ \ufffdcomo o total das observações no i-ésimo nível do fator A, 
\u22c5\u22c5X
\ \ufffdFRPR\ufffdo total 
das observações no j-ésimo nível do fator B, 
\u22c5
YZ\ \ufffdcomo o total das observações na (ij)-ésima célula 
e 
\u22c5\u22c5\u22c5
\ como o total de todas as observações, ou seja, 
\u2211\u2211\u2211\u2211\u2211\u2211\u2211\u2211
= = =
\u22c5\u22c5\u22c5
=
\u22c5
= =
\u22c5\u22c5
= =
\u22c5\u22c5
====
[
\
]
^
_
`
\ ^S`
_
`
\ ^S`^\
[
\
_
`
\ ^S`^
]
^
_
`
\ ^S`\ \\\\\\\\
1 1 111 11 1
 
 
Podemos definir, então, as médias: 
DEQQDQEQ
\u22c5\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5\u22c5
\u22c5
\u22c5
\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5
\u22c5\u22c5
====
\\\\\\\\ ababaabb
 
 
A DQiOLVH\ufffdGH\ufffdYDULkQFLD SDUD\ufffdH[SHULPHQWRV\ufffdFRP\ufffd\ufffd\ufffdIDWRUHV é, então, mostrada da seguinte maneira, 
de forma tabelada: 
)RQWH\ufffdGH\ufffd
YDULDomR\ufffd
6RPD\ufffdGRV\ufffd
TXDGUDGRV\ufffd\ufffd66\ufffd\ufffd
*UDXV\ufffdGH\ufffd
OLEHUGDGH\ufffd\ufffdJ\ufffd\ufffdO\ufffd\ufffd\ufffd
4XDGUDGR\ufffd\ufffd
PpGLR\ufffd\ufffd06\ufffd\ufffd
\ufffd
) c \ufffd
$\ufffd SSA D \u2013 1 1
SSMS AA
\u2212
= D E
A
0 MS
MSF = 
%\ufffd SSB E \u2013 1\ufffd 1
SSMS BB
\u2212
= E E
B
0 MS
MSF = 
,QWHUDomR\ufffd SSAB (D \u2013 1)(E \u2013 1)\ufffd ( )( )11
SSMS ABBA
\u2212\u2212
= ED E
AB
0 MS
MSF = 
(UUR\ufffd\ufffd SSE DE(Q \u2013 1) ( )1
SSMS EE
\u2212
= QDE 
7RWDO\ufffd SST DEQ \u2013 1 
 
Com SST = SSA + SSB + SSAB + SSE, onde 
( ) DEQ
\\\\
d
e
f
g
h
i
e g
i
d
e
f
g
h
i
e g
i
2
1 1 1
2
1 1 1
2
TSS
\u22c5\u22c5\u22c5
= = == = =
\u22c5\u22c5\u22c5
\u2212=\u2212= \u2211\u2211\u2211\u2211\u2211\u2211 
( ) DEQ
\
EQ
\\\EQ
j
k
k
j
k
k
2
1
2
1
2
ASS
\u22c5\u22c5\u22c5
=
\u22c5\u22c5
=
\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5
\u2212=\u2212= \u2211\u2211 
( ) DEQ
\
DQ
\\\DQ
l
m
m
l
m
m
2
1
2
1
2
BSS
\u22c5\u22c5\u22c5
=
\u22c5\u22c5
=
\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5
\u2212=\u2212= \u2211\u2211 
 9 
( ) BA2
1 1
2
1 1
2
AB SSSSSS \u2212\u2212\u2212=+\u2212\u2212=
\u22c5\u22c5\u22c5
= =
\u22c5
= =
\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5\u22c5 \u2211\u2211\u2211\u2211 DEQ
\
Q
\\\\\Q
n
o
p
q
qo
n
o
p
q
qoqo
 
 
então SSE = SST \u2013 SSA \u2013 SSB \u2013 SSAB. 
 
Para testar a hipótese de efeitos não-significativos dos fatores e da interação, dividimos os 
correspondentes quadrados médios pelo quadrado médio do erro. Estas razões seguem uma 
distribuição F com o número de graus de liberdade do numerador igual ao número de graus de 
liberdade do quadrado médio do numerador, e número de graus de liberdade do denominador igual 
a DE(Q \u2013 1), que é o número de graus de liberdade do quadrado médio do erro. Rejeitaremos a 
hipótese de efeitos não-significativos dos fatores A e B e da interação AB quando os F0\u2019s 
correspondentes forem maiores que o F tabelado para determinado nível de significância \u3b1. 
 
Vamos agora analisar um H[HPSOR de experimento fatorial com 2 fatores:\ufffd
A pré-pintura de partes componentes de aviões pode ser feita por dois métodos: imersão ou spray. 
O propósito da pré-pintura é melhorar a adesão da tinta definitiva a ser aplicada posteriormente. Um 
engenheiro interessado em verificar se três diferentes tipos de tinta de pré-pintura diferem quanto à 
adesão da tinta posterior realizou um experimento fatorial, incluindo nele também os dois métodos 
de aplicação (imersão e spray). Três itens foram pintados com cada tipo de tinta e cada método de 
aplicação e a força de adesão foi medida. Os resultados estão na tabela a seguir. 
 
Método de aplicação 
Tipo de tinta 
Imersão Spray 
1 4,0 4,5 4,3 5,4 4,9 5,6 
2 5,6 4,9 5,4 5,8 6,1 6,3 
3 3,8 3,7 4,0 5,5 5,0 5,0 
 
Podemos calcular as somas dos quadrados necessárias para realizarmos a análise de variância para 
este exemplo de experimento fatorial. Temos 2 fatores: tipo de tinta (fator A, com D = 3 níveis) e 
método de aplicação (fator B, com E = 2 níveis), e repetimos o experimento N = 3 vezes para cada 
combinação dos fatores. 
 
A tabela a seguir mostra os dados já fornecidos, e os totais: 
 10 
Método de aplicação 
Tipo de tinta 
Imersão Spray 
1 4,0 4,5 4,3 12,8 5,4 4,9 5,6 15,9 28,7 
2 5,6 4,9 5,4 15,9 5,8 6,1 6,3 18,2 34,1 
3 3,8 3,7 4,0 11,5 5,5 5,0 5,0 15,5 27,0 
 40,2 49,6 89,8 
Então: 
DEQ
\\
r
s
t
u
s v
u
2
1 1 1
2
TSS
\u22c5\u22c5\u22c5
= = =
\u2212= \u2211\u2211\u2211
w
x
 = ( ) ( ) ( ) ( ) 72,10
323
8,890,55,404,
2
222
=
××
\u2212+++ \ufffd 
DEQ
\
EQ
\y
z
2
1
2
ASS
\u22c5\u22c5\u22c5
=
\u22c5\u22c5
\u2212= \u2211 { = ( ) ( ) ( ) ( ) 58,4323
8,89
32
0,271,347,28 2222
=
××
\u2212
×
++
 
DEQ
\
DQ
\|
}
2
1
2
BSS
\u22c5\u22c5\u22c5
=
\u22c5\u22c5
\u2212= \u2211 ~ = ( ) ( ) ( ) 91,4323
8,89
33
6,492,40 222
=
××
\u2212
×
+
 
BA
2
1 1
2
AB SSSSSS