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1 
,1'������±�,QIHUrQFLD�(VWDWtVWLFD�
�
3ODQHMDPHQWR�GH�([SHULPHQWRV��$QiOLVH�GH�9DULkQFLD�H�([SHULPHQWRV�)DWRULDLV�
�SRU�)OiYLD�&HVDU�7HL[HLUD�0HQGHV��
 
2�TXH�p�XP�SODQHMDPHQWR�GH�H[SHULPHQWRV"�
Um planejamento de experimentos consiste em um teste ou uma série de testes nos quais variam-se 
propositadamente os valortes das chamadas YDULiYHLV�FRQWUROiYHLV de modo a se poder observar e 
identificar as mudanças correspondentes na YDULiYHO� GH� UHVSRVWD. A figura a seguir mostra 
esquematicamente uma variável de resposta e variáveis controláveis de um processo. 
 
 
 
 
 
 
As variáveis incontroláveis (ou “de ruído”), também representadas, correspondem à variação 
aleatória da resposta. Os métods de análise de experimentos buscam identificar o efeito das 
variáveis controláveis (ou “fatores”) através da observação (ruidosa) dos valores da resposta. 
Tais experimentos são muito usados para melhorar processos. 
Apresentaremos agora os principais métodos de planejamento de experimentos e introduziremos as 
ferramentas apropriadas para análise dos dados. Iniciaremos o estudo com o tipo mais simples de 
planejamento de experimentos: o experimento com um fator. 
�
([SHULPHQWR�FRP���IDWRU�
Suponha que um fabricante de alumínio produza anodos de carbono, endurecendo-os mediante 
“cozimento” em um forno industrial antes de usá-los na operação de fundição do alumínio. A 
densidade do anodo é uma característica de qualidade importante, pois ela pode afetar seu tempo de 
vida útil. Um dos engenheiros do processo suspeita que a temperatura do forno afeta a densidade do 
anodo. Para verificar se isso é verdade, foi realizado um experimento para investigar 4 níveis 
distintos de temperatura do forno (500oC, 525oC, 550oC e 575oC) e 6 anodos foram “cozidos” a 
cada temperatura, de modo inteiramente aleatório. 
Processo 
variáveis controláveis 
variáveis incontroláveis 
entrada resposta \�
 2 
Este é um exemplo de um experimento com 1 fator com 4 níveis do fator (a = 4), onde, para cada 
nível do fator, existem 6 observações (n = 6). 
 
Uma tabela pode ser criada para anotar todos os 4×6 = 24 dados deste experimento: 
Temperatura 
do forno (oC) 
Densidade do anodo 
500 41,8 41,9 41,7 41,6 41,5 41,7 
525 41,4 41,3 41,7 41,6 41,7 41,8 
550 41,2 41,0 41,6 41,9 41,7 41,3 
575 41,0 41,6 41,8 41,2 41,9 41,5 
 
Veremos, agora, como os dados de um experimento com 1 fator podem ser analisados 
estatisticamente. A ferramenta que iremos utilizar é a $QiOLVH�GH�9DULkQFLD a 1 fator. 
 
Vamos supor que existam D níveis do fator. Queremos comparar esses níveis do fator. Os dados 
obtidos de um experimento com 1 fator podem ser escritos da seguinte maneira: 
 
1tYHO�GR�IDWRU� 2EVHUYDo}HV� 7RWDLV� 0pGLDV�
�� �\\\\ 1131211 � � ⋅1\ �
⋅1\ �
�� �\\\\ 2232221 � � ⋅2\ �
⋅2\ �
� � ����� � � � � �
D� ������ \\\\ �321 � ⋅�\ � ⋅�\ �
� �
⋅⋅
\ �
⋅⋅
\ �
 
Cada entrada na tabela ( � �\ ) representa a j-ésima observação retirada quando o nível do fator é i; 
⋅
�\ �representa a soma das observações para o i-ésimo nível do fator, e 
⋅
	\
 representa a média das 
observações para o i-ésimo nível do fator; 
⋅⋅
\ representa a soma total de todas as 1� � DQ 
observações, e 
⋅⋅
\
 representa a média global de todas as 1� �DQ observações. Iremos considerar 
aqui neste nosso estudo somente os casos onde existe um número igual de observações para cada 
nível do fator. 
 
As observações podem ser descritas pelo modelo: 
 3 


=
=
ε+τ+µ= QM
DL\ 
 �
 �
,,2,1
,,2,1
�
�
 , onde � 
\ � é a (ij)-ésima observação; µ é um parâmetro comum a 
todos os níveis do fator (média global); τi é um parâmetro associado ao i-ésimo nível do fator 
(efeito do nível i do fator); e εij é o componente do erro aleatório (assume-se que os erros são 
variáveis aleatórias normais e identicamente distribuídas com média zero e variância σ2 constante e 
igual para todos os níveis do fator). Os efeitos do fator (τi) são definidos de modo a se ter ∑
=
=τ
�
�
�
1
0 . 
 
Estamos interessados em testar a igualdade das médias de \ nos D níveis do fator. As hipóteses 
apropriadas são, então: 
Lummenospelopara0:H
0:H
1
210
≠τ
=τ==τ=τ
�
��
; se a hipótese nula for verdadeira, então cada observação é 
descrita somente pela média global µ mais um erro aleatório εij. 
 
A avaliação do teste de hipóteses descrito anteriormente é chamada DQiOLVH�GH�YDULkQFLD. 
O termo análise de variância resulta da partição da variabilidade total dos dados em seus 
componentes. Como medida da variabilidade total, usaremos a VRPD�GRV�TXDGUDGRV�WRWDO, dada 
por 
( ) DQ
\\\\
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� �
2
1 1
2
1 1
2
TSS
⋅⋅
= == =
⋅⋅
−=−= ∑∑∑∑ . 
A variabilidade total, medida através da soma dos quadrados total (SST), pode ser parcelada em: 
variabilidade existente entre os níveis do fator, medida através da VRPD�GRV�TXDGUDGRV�GHYLGR�DR�
IDWRU (SSfator), e variabilidade existente devido ao erro aleatório, medida através da VRPD� GRV�
TXDGUDGRV�GHYLGR�DR�HUUR (SSE). 
 
Podemos escrever, então: 
SST = SSfator + SSE 
onde SSfator é calculada da seguinte maneira: 
( ) DQ
\
Q
\\\Q
�
�
�
�
�
�
2
1
2
1
2
fatorSS
⋅⋅
=
⋅
=
⋅⋅⋅
−=−= ∑∑ , 
e, então, SSE = SST – SSfator. 
 
 4 
Se a SSfator for grande, isto ocorre devido às diferenças entre as médias de \ nos níveis do fator. 
Então, comparando a magnitude da SSfator com a da SSE, é possível saber o quanto a variabilidade é 
devido aos níveis do fator e o quanto ela é devido ao erro aleatório. Essa comparação é mais correta 
se dividirmos as somas dos quadrados pelos seus números de graus de liberdade. São DQ� � 1 
observações no total; então, 66 � �WHP��1�±����JUDXV�GH�OLEHUGDGH; são D níveis do fator; logo, 66 � �fiff fl�ffi �
WHP��D�±����JUDXV�GH�OLEHUGDGH; além disso, para cada nível do fator existem Q observações, que 
fornecem (Q – 1) graus de liberdade, e, como são D níveis do fator, 66 � WHP�D�Q� ±� ��� JUDXV�GH�
OLEHUGDGH. 
A razão entre uma soma dos quadrados e seu número de graus de liberdade é chamada de 
TXDGUDGR�PpGLR (MS); então: 
 
( )1
SSMSe
1
SSMS EEfatorfator
−
=
−
= QDD . 
Pode-se mostrar que o MSE é um estimador não-tendencioso da variância do erro aleatório, σ2, 
enquanto que MSfator somente o será se a hipótese H0 anterior for verdadeira, isto é, se as médias 
de \ forem iguais, em cada nível do fator. 
Podemos fazer, então, um teste estatístico baseado na distribuição F para a igualdade entre as 
médias de \ nos níveis do fator usando a estatística teste F0, dada por: 
 
E
fator
0 MS
MSF = , pois se H0 for verdadeira, teremos F0 ~ F! – 1, ! (" – 1). 
Se ) # �!�) $&%('*),+-%.'�/ 01),+-2 , pode-se concluir que as PpGLDV�GH�\�QRV�QtYHLV�GR� IDWRU�QmR�VmR� WRGDV�
LJXDLV��DR�QtYHO�GH�VLJQLILFkQFLD�D��
Podemos escrever a análise de variância de forma tabelada: 
)RQWH�GH�
YDULDomR�
6RPD�GRV�
TXDGUDGRV��66��
*UDXV�GH�
OLEHUGDGH��J��O���
4XDGUDGR��
PpGLR��06��
�
) # �
(QWUH�RV�QtYHLV��
GR�IDWRU� SSfator D – 1 1
SSMS fatorfator
−
= D E
fator
0 MS
MSF = 
(UUR��GHQWUR�GRV�
QtYHLV�GR�IDWRU�� SSE D(Q – 1) ( )1
SSMS EE
−
= QD 
7RWDO� SST DQ – 1 
 
 5 
Voltando ao H[HPSOR: 
Temperatura 
do forno (oC) 
Densidade do anodo Totais Médias 
500 41,8 41,9 41,7 41,6 41,5 41,7 250,2 41,7 
525 41,4 41,3 41,7 41,6 41,7 41,8 249,5 41,6 
550 41,2 41,0 41,6 41,9 41,7 41,3 248,7 41,5 
575 41,0 41,6 41,8 41,2 41,9 41,5 249,0 41,5 
 997,4 41,6 
Logo: 
DQ
\\
3
4
5
6
4 6
2
1 1
2
TSS
⋅⋅
= =
−= ∑∑ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
×
−++++
64
997,441,541,741,941,8
2
2222
� 1,72 
 
DQ
\
Q
\7
8
2
1
2
fatorSS
⋅⋅
=
⋅
−= ∑ 9 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
×
−
+++
64
997,4
6
0,2497,2485,2492,250 22222 0,22 
 
SSE = SST – SSfator = 1,50 
 
Então: 
)RQWH�GH�
YDULDomR�
6RPD�GRV�
TXDGUDGRV��66��
*UDXV�GH�
OLEHUGDGH��J��O���
4XDGUDGR��
PpGLR��06��
�
) : �
(QWUH�RV�QtYHLV��
GR�IDWRU� 0,22 3 
073,0
3
22,0MSfator == 973,0075,0
073,0F0 == 
(UUR��GHQWUR�
GRV�QtYHLV�GR�
IDWRU��
1,50 20 075,0
20
50,1MSE == 
7RWDO�1,72 23 
 
Como ) : � ���������) :�; :=<-;?>@;BA@: � �����, podemos concluir que as médias dos níveis do fator QmR são 
diferentes, ou seja, a temperatura do forno QmR� DIHWD a densidade do anodo, ao nível de 
significância de 1%. 
�
 6 
([SHULPHQWRV�IDWRULDLV�
Quando existem muitos fatores em um experimento, o experimento fatorial deve ser utilizado. 
Neste tipo de experimento, os fatores variam simultaneamente: em cada repetição do experimento, 
todas as possíveis combinações dos níveis dos fatores são investigadas. Por exemplo, se existem 2 
fatores (A e B), com D níveis do fator A e E níveis do fator B, então cada repetição contém todas as 
DE possíveis combinações. 
 
O HIHLWR�GH�XP�IDWRU é definido como a alteração na média da variável de resposta produzida por 
uma mudança no nível deste fator. Isto é denominado efeito principal (ou primário). Por exemplo, 
consideremos a figura abaixo, onde os fatores A e B possuem 2 níveis, denotados por “ – ” (baixo) e 
“ + ” (alto), respectivamente: 
 
 
 
 
O efeito principal do fator A equivale à diferença entre a resposta média no nível alto de A e a 
resposta média no nível baixo de A, ou seja 20
2
2010
2
4030
=
+
−
+
=$ , isto é, alterando o fator A 
do nível baixo para o nível alto provoca-se um aumento médio na resposta de 20 unidades. 
Similarmente, o efeito principal do fator B é 10
2
3010
2
4020
=
+
−
+
=% . 
 
Em alguns experimentos, a diferença na resposta entre os níveis do fator não é a mesma em todos os 
níveis dos outros fatores. Quando isto ocorre, existe LQWHUDomR entre os fatores. Por exemplo, 
consideremos a figura abaixo: 
 
 
 
 
No nível baixo do fator B, o efeito do fator A é $C
-
 = 30 – 10 = 20, e no nível alto do fator B, o 
efeito do fator A $C + =é 0 – 20 = -20. Uma vez que o efeito do fator A depende do nível escolhido 
para o fator B, existe interação entre A e B. 
fator A 
fato
r
 B
 - 
- 
+ 
+ 
20 0 
10 30 
fator A 
fato
r
 B
 - 
- 
+ 
+ 
20 40 
10 30 
 7 
Quando a interação é grande, os efeitos principais correspondentes têm pouco significado. Por 
exemplo, usando a figura anterior, o efeito principal do fator A é 0
2
2010
2
030
=
+
−
+
=$ , o que, 
num primeiro momento, nos levaria a concluir que não existe o efeito do fator A; no entanto, 
quando examinamos o efeito do fator A nos diferentes níveis do fator B, vimos que isto não é 
verdade. O efeito do fator A depende dos níveis do fator B. Então, o conhecimento da interação AB 
é mais útil do que o conhecimento do efeito principal. Uma interação significativa pode mascarar o 
significado dos efeitos principais. 
 
Veremos agora como analisar um H[SHULPHQWR�IDWRULDO�FRP���IDWRUHV: 
Sejam os 2 fatores denotados por A e B, com D níveis do fator A e E níveis do fator B. Se o 
experimento é repetido Q vezes, os dados podem ser melhor visualizados da seguinte maneira: 
 Fator B 
 1 2 . . . E�
1 D\\\ 11112111 ...,,, E\\\ 12122121 ...,,, . . . F EFF \\\ 12111 ...,,, 
2 G\\\ 21212211 ...,,, H\\\ 22222221 ...,,, . . . I�JII \\\ 22212 ...,,, 
� � � � � 
Fator A 
D� K
LLL \\\ 11211 ...,,, MNNN \\\ 22221 ...,,, . . . N-O-MN-ON-O \\\ ...,,, 21 
As DEQ observações ocorrem em ordem aleatória, ou seja, trata-se de um planejamento de 
experimentos inteiramente aleatorizado. A observação na (ij)-ésima célula na k-ésima repetição é 
denotada por P QSR\ . 
As observações podem ser descritas pelo modelo: 
( )



=
=
=
ε+τβ+β+τ+µ=
QN
EM
DL
\ T USVT UUTT USV
...,,1
...,,1
...,,1
 , onde µ é a média principal global; τi é o efeito do 
i-ésimo nível do fator A; βj é o efeito do j-ésimo nível do fator B; (τβ)ij é o efeito da interação entre 
os fatores A e B; e εijk é o componente do erro aleatório (assume-se que os erros são variáveis 
aleatórias normais e identicamente distribuídas com média zero e variância σ2). Estamos 
interessados em testar a hipótese de efeitos não-significativos dos fatores A e B e da interação AB. 
 8 
Podemos escrever 
⋅⋅
W\ �como o total das observações no i-ésimo nível do fator A, 
⋅⋅X
\ �FRPR�o total 
das observações no j-ésimo nível do fator B, 
⋅
YZ\ �como o total das observações na (ij)-ésima célula 
e 
⋅⋅⋅
\ como o total de todas as observações, ou seja, 
∑∑∑∑∑∑∑∑
= = =
⋅⋅⋅
=
⋅
= =
⋅⋅
= =
⋅⋅
====
[
\
]
^
_
`
\ ^S`
_
`
\ ^S`^\
[
\
_
`
\ ^S`^
]
^
_
`
\ ^S`\ \\\\\\\\
1 1 111 11 1
 
 
Podemos definir, então, as médias: 
DEQQDQEQ
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
====
\\\\\\\\ ababaabb
 
 
A DQiOLVH�GH�YDULkQFLD SDUD�H[SHULPHQWRV�FRP���IDWRUHV é, então, mostrada da seguinte maneira, 
de forma tabelada: 
)RQWH�GH�
YDULDomR�
6RPD�GRV�
TXDGUDGRV��66��
*UDXV�GH�
OLEHUGDGH��J��O���
4XDGUDGR��
PpGLR��06��
�
) c �
$� SSA D – 1 1
SSMS AA
−
= D E
A
0 MS
MSF = 
%� SSB E – 1� 1
SSMS BB
−
= E E
B
0 MS
MSF = 
,QWHUDomR� SSAB (D – 1)(E – 1)� ( )( )11
SSMS ABBA
−−
= ED E
AB
0 MS
MSF = 
(UUR�� SSE DE(Q – 1) ( )1
SSMS EE
−
= QDE 
7RWDO� SST DEQ – 1 
 
Com SST = SSA + SSB + SSAB + SSE, onde 
( ) DEQ
\\\\
d
e
f
g
h
i
e g
i
d
e
f
g
h
i
e g
i
2
1 1 1
2
1 1 1
2
TSS
⋅⋅⋅
= = == = =
⋅⋅⋅
−=−= ∑∑∑∑∑∑ 
( ) DEQ
\
EQ
\\\EQ
j
k
k
j
k
k
2
1
2
1
2
ASS
⋅⋅⋅
=
⋅⋅
=
⋅⋅⋅⋅⋅
−=−= ∑∑ 
( ) DEQ
\
DQ
\\\DQ
l
m
m
l
m
m
2
1
2
1
2
BSS
⋅⋅⋅
=
⋅⋅
=
⋅⋅⋅⋅⋅
−=−= ∑∑ 
 9 
( ) BA2
1 1
2
1 1
2
AB SSSSSS −−−=+−−=
⋅⋅⋅
= =
⋅
= =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ∑∑∑∑ DEQ
\
Q
\\\\\Q
n
o
p
q
qo
n
o
p
q
qoqo
 
 
então SSE = SST – SSA – SSB – SSAB. 
 
Para testar a hipótese de efeitos não-significativos dos fatores e da interação, dividimos os 
correspondentes quadrados médios pelo quadrado médio do erro. Estas razões seguem uma 
distribuição F com o número de graus de liberdade do numerador igual ao número de graus de 
liberdade do quadrado médio do numerador, e número de graus de liberdade do denominador igual 
a DE(Q – 1), que é o número de graus de liberdade do quadrado médio do erro. Rejeitaremos a 
hipótese de efeitos não-significativos dos fatores A e B e da interação AB quando os F0’s 
correspondentes forem maiores que o F tabelado para determinado nível de significância α. 
 
Vamos agora analisar um H[HPSOR de experimento fatorial com 2 fatores:�
A pré-pintura de partes componentes de aviões pode ser feita por dois métodos: imersão ou spray. 
O propósito da pré-pintura é melhorar a adesão da tinta definitiva a ser aplicada posteriormente. Um 
engenheiro interessado em verificar se três diferentes tipos de tinta de pré-pintura diferem quanto à 
adesão da tinta posterior realizou um experimento fatorial, incluindo nele também os dois métodos 
de aplicação (imersão e spray). Três itens foram pintados com cada tipo de tinta e cada método de 
aplicação e a força de adesão foi medida. Os resultados estão na tabela a seguir. 
 
Método de aplicação 
Tipo de tinta 
Imersão Spray 
1 4,0 4,5 4,3 5,4 4,9 5,6 
2 5,6 4,9 5,4 5,8 6,1 6,3 
3 3,8 3,7 4,0 5,5 5,0 5,0 
 
Podemos calcular as somas dos quadrados necessárias para realizarmos a análise de variância para 
este exemplo de experimento fatorial. Temos 2 fatores: tipo de tinta (fator A, com D = 3 níveis) e 
método de aplicação (fator B, com E = 2 níveis), e repetimos o experimento N = 3 vezes para cada 
combinação dos fatores. 
 
A tabela a seguir mostra os dados já fornecidos, e os totais: 
 10 
Método de aplicação 
Tipo de tinta 
Imersão Spray 
1 4,0 4,5 4,3 12,8 5,4 4,9 5,6 15,9 28,7 
2 5,6 4,9 5,4 15,9 5,8 6,1 6,3 18,2 34,1 
3 3,8 3,7 4,0 11,5 5,5 5,0 5,0 15,5 27,0 
 40,2 49,6 89,8 
Então: 
DEQ
\\
r
s
t
u
s v
u
2
1 1 1
2
TSS
⋅⋅⋅
= = =
−= ∑∑∑
w
x
 = ( ) ( ) ( ) ( ) 72,10
323
8,890,55,404,
2
222
=
××
−+++ � 
DEQ
\
EQ
\y
z
2
1
2
ASS
⋅⋅⋅
=
⋅⋅
−= ∑ { = ( ) ( ) ( ) ( ) 58,4323
8,89
32
0,271,347,28 2222
=
××
−
×
++
 
DEQ
\
DQ
\|
}
2
1
2
BSS
⋅⋅⋅
=
⋅⋅
−= ∑ ~ = ( ) ( ) ( ) 91,4323
8,89
33
6,492,40 222
=
××
−
×
+
 
BA
2
1 1
2
AB SSSSSS−−−=
⋅⋅⋅
= =
⋅∑∑ DEQ
\
Q
\
€

‚
‚ƒ
= 
= 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24,091,458,4
323
8,89
3
5,152,189,155,119,158,12 2222222
=−−
××
−
+++++
 
 
SSE = 10,72 – 4,58 – 4,91 – 0,24 = 0,99. 
 
Completando a tabela de análise de variância: 
)RQWH�GH�
YDULDomR�
6RPD�GRV�
TXDGUDGRV��66��
*UDXV�GH�
OLEHUGDGH��J��O���
4XDGUDGR��
PpGLR��06��
�
) „ �
$� 4,58 D – 1 = 2 29,2MSA = 
E
A
0 MS
MSF = = 28,6 
%� 4,91 E – 1 = 1� 91,4MSB = 
E
B
0 MS
MSF = = 61,4 
,QWHUDomR� 0,24 (D – 1)(E – 1) = 2� 12,0MSAB = 
E
AB
0 MS
MSF = = 1,5 
(UUR�� 0,99 DE(Q – 1) = 12 08,0MSE = 
7RWDO� 10,72 DEQ – 1 = 17 
 
Comparando os F0’s com os F’s tabelados (para α = 5%, por exemplo): 
 11 
como F0 = 28,6 > F0,05, 2, 12 = 3,89, o tipo de tinta afeta a força de adesão; 
como F0 = 61,4 > F0,05, 1, 12 = 4,75, o método de aplicação também afeta a força de adesão; 
PDV�como F0 = 1,5 < F0,05, 2, 12 = 3,89, não existe indicação de interação entre estes fatores. 
 
Podemos verificar, também, que, como uma resposta maior indica uma maior força de adesão, o 
método spray é um método de aplicação superior, e o tipo de tinta 2 é mais eficiente; então, se 
desejamos operar o processo de modo a se ter a máxima força de adesão, devemos usar o tipo de 
tinta 2 e o método spray em todas as partes.�
 
3ODQHMDPHQWR�IDWRULDO�� … �
Alguns tipos especiais de planejamentos fatoriais são muito úteis no desenvolvimento e 
aprimoramento do processo. Um destes casos é o SODQHMDPHQWR�IDWRULDO�FRP�N�IDWRUHV��FDGD�XP�
GHOHV�FRP���QtYHLV. 
 
3ODQHMDPHQWR�IDWRULDO��† �
O tipo mais simples de planejamento fatorial é o 22, ou seja, 2 fatores (A e B), cada um com 2 
níveis (baixo ou “ – ” e alto ou “ + ” ), onde há um total de 22 = 4 combinações entre os fatores. 
A figura abaixo ilustra este tipo de experimento: 
 
 
 
 
 
Uma notação especial é usada para representar as combinações entre os fatores. Cada combinação é 
representada por uma série de letras minúsculas; se a letra está presente, o fator correspondente 
encontra-se em seu nível alto; se a letra está ausente, o fator correspondente encontra-se em seu 
nível baixo; a combinação na qual todos os fatores encontram-se em seus níveis baixos é 
representada por (1). 
 
Os HIHLWRV de interesse em um planejamento 22 são os efeitos principais dos fatores A e B e o efeito 
da interação AB. As letras (1), a, b, e ab representam também os totais de todas as Q observações 
retiradas nestes pontos. 
- + 
b 
- 
+ 
A 
B 
(1) a 
ab 
 12 
Para estimar os efeitos dos fatores, faz-se a média das observações no nível alto do fator e subtrai-se 
a média das observações no nível baixo do fator, ou seja: 
( ) ( )[ ]1baba
2
1
2
1b
2
aba
−−+=
+
−
+
= QQQ$ 
( ) ( )[ ]1aabb
2
1
2
1a
2
abb
−−+=
+
−
+
= QQQ% 
O efeito da interação é estimado tirando-se a diferença das médias na diagonal: 
( ) ( ) ( )[ ]EDDEQQ
ED
Q
DE
QQ
E
Q
D
Q
DE
−−+=
+
−
+
=


−−


−= 1
2
1
22
1
2
1
222
 
 
As quantidades entre colchetes são chamadas de FRQWUDVWHV. Por exemplo, o contraste do fator A é 
dado por ( )1baba −−+=‡&RQWUDVWH . 
Nestas equações, os coeficientes do contraste são sempre –1 ou +1. Uma PDWUL]�GH�VLQDLV + e –, 
como a da tabela a seguir, pode ser usada para determinar o sinal em cada combinação para um 
dado contraste: 
 Fator 
Combinação ,� $� %� $%�
1 (1) + – – + 
2 a + + – – 
3 b + – + – 
4 ab + + + + 
 
As colunas representam os fatores $ e %, a interação $% e o total ,. As linhas representam as 
combinações. Os sinais da interação $% são obtidos fazendo-se o produto dos sinais das 
colunas $�e�%. 
 
Para encontrar o contraste usando a tabela de sinais, basta multiplicar o sinal na coluna apropriada 
pelas observações listadas e somá-las. 
Para obter a soma dos quadrados dos fatores A e B, e a soma dos quadrados da interação AB, 
usamos o seguinte resultado: 
( )
( )
( )
ˆQ
&RQWUDVWH
Q
&RQWUDVWH
2contrastedoescoeficient
SS
2
2
2
== ∑ 
 
 13 
Então, as somas dos quadrados dos fatores A e B e da interação AB são: 
( )[ ]2A 1baba4
1SS −−+= Q 
( )[ ]2B 1aabb4
1SS −−+= Q 
( )[ ]2AB ba1ab4
1SS −−+= Q 
 
A análise de variância se completa através do cálculo da SST (com 2kQ – 1 graus de liberdade) como 
feita anteriormente, e da obtenção (por subtração) da SSE (com 2k(Q – 1) graus de liberdade), e, por 
fim, da verificação dos efeitos significativos, de acordo com os resultados do teste de hipóteses 
envolvendo as estatísticas F0’ s de cada fator e da interação. 
 
([HPSOR de um experimento fatorial 22: 
Um experimento para estudo da resistência do aço à tração foi realizado. Foram considerados dois 
fatores: o teor de carbono (fator A) e a temperatura de tratamento térmico (fator B). Foram 
utilizadas 8 peças de aço, sendo duas peças para cada uma das 4 combinações possíveis dos dois 
fatores. As medidas de resistência do aço à tração estão na tabela a seguir (em lb/pol2 × 10–3). 
 7HPSHUDWXUD��%��
7HRU�GH�FDUERQR��$�� � EDL[D� � DOWD�
 169 145 EDL[R�
173 143 
167 135 DOWR�
165 134 
 
Vamos inicialmente escrever os dados usando uma matriz de sinais para este experimento: 
 
 )DWRU�
&RPELQDomR� ,� $� %� $%� 2EVHUYDo}HV� 7RWDLV�
1 (1) + – – + 169 173 342 
2 a + + – – 167 165 332 
3 b + – + – 145 143 288 
4 ab + + + + 135 134 269 
 14 
As somas dos quadrados dos fatores A e B e da interação AB são: 
( )[ ]2A 1baba4
1SS −−+= Q = [ ]
2342288269332
24
1
−−+
×
 = 105,125 
( )[ ]2B 1aabb4
1SS −−+= Q = [ ]
2342332269288
24
1
−−+
×
 = 1711,125 
( )[ ]2AB ba1ab4
1SS −−+= Q = [ ]
2288332342269
24
1
−−+
×
 = 10,125 
A soma dos quadrados total e a soma dos quadrados do erro são: 
SST = ( ) ( ) ( ) ( ) =
××
−+++
222
1231134173169
2
222
� 1838,875 
SSE = 1838,875 – 105,125 – 1711,125 – 10,125 = 12,5 
 
Completando a tabela de análise de variância: 
 
)RQWH�GH�
YDULDomR�
6RPD�GRV�
TXDGUDGRV��66��
*UDXV�GH�
OLEHUGDGH��J��O���
4XDGUDGR��
PpGLR��06��
�
) ‰ �
$� 105,125 D – 1 = 1 125,105MSA = 
E
A
0 MS
MSF = = 33,64 
%� 1711,125 E – 1 = 1� 125,1711MSB =
 E
B
0 MS
MSF = = 547,56 
$%� 10,125 (D – 1)(E – 1) = 1� 125,10MSAB = 
E
AB
0 MS
MSF = = 3,24 
(UUR�� 12,5 DE(Q – 1) = 4 125,3MSE = 
7RWDO� 1838,875 DEQ – 1 = 7 
 
Comparando os F0’ s com os F’ s tabelados (para α = 1%, por exemplo): 
como F0 = 33,64 > F0,01, 1, 4 = 21,20, o teor de carbono afeta a resistência do aço à tração; 
como F0 = 547,56 >> F0,01, 1, 4 = 21,20, a temperatura de tratamento térmico afeta muito 
significativamente a resistência do aço à tração; 
PDV�como F0 = 3,24 < F0,01, 1, 4 = 21,20, não existe indicação de interação entre estes fatores. 
 
 15 
3ODQHMDPHQWR�IDWRULDO��Ł �
Podemos facilmente estender os métodos apresentados anteriormente para experimentos fatoriais 
com mais de 2 fatores. Vamos considerar o planejamento fatorial 23, onde existem 3 fatores (A, B e 
C), cada um com 2 níveis (baixo ou “ – ” e alto ou “ + ” ), onde há um total de 23 = 8 combinações 
entre os fatores. 
 
Devemos obter os HIHLWRV principais dos fatores (A, B e C) e os efeitos das interações entre 2 dos 3 
fatores (AB, AC e BC) e da interação entre os 3 fatores (ABC). 
 
Podemos usar aqui a PDWUL]�GH�VLQDLV: 
 Fator 
Combinação ,� $� %� $%� &� $&� %&� $%&�
1 (1) + – – + – + + – 
2 a + + – – – – + + 
3 b + – + – – + – + 
4 ab + + + + – – – – 
5 c + – – + + – – + 
6 ac + + – – + + – – 
7 bc + – + – + – + – 
8 abc + + + + + + + + 
 
O cálculo dos efeitos pode ser resumido matematicamente por: 
‹
Œ
Q
&RQWUDVWH(IHLWR
2
= 
 
A soma dos quadrados para qualquer efeito é dada por: 
( )
ŽQ
&RQWUDVWH
2
SS
2
= 
 
A análise de variância se completa através do cálculo da SST (com 8Q – 1 graus de liberdade) como 
feita anteriormente, e da obtenção (por subtração) da SSE (com 8(Q – 1) graus de liberdade), e, por 
fim, da verificação dos efeitos significativos, de acordo com os resultados do teste de hipóteses 
envolvendo as estatísticas F0’ s de cada fator e das interações. 
 16([HPSOR de um experimento fatorial 23: 
Um engenheiro químico realiza um experimento para escolher os melhores níveis para os 
parâmetros de um processo de fabricação de um polímero. Os fatores analisados são: A - agitação; 
B - temperatura e C - aeração. Para cada combinação de níveis dos fatores foram realizadas duas 
replicações do experimento. A resposta observada é um índice de viscosidade do produto. Os 
resultados estão abaixo. 
 )DWRU�
&RPELQDomR� ,� $� %� $%� &� $&� %&� $%&� 2EVHUYDo}HV 7RWDLV 
(1) + - - + - + + - 71,1 71,8 142,9 
a + + - - - - + + 69,4 71,4 140,8 
b + - + - - + - + 41,9 44,7 86,6 
ab + + + + - - - - 43,3 41,2 84,5 
c + - - + + - - + 56,2 57,1 113,3 
ac + + - - + + - - 56,8 58 114,8 
bc + - + - + - + - 56,5 57,1 113,6 
abc + + + + + + + + 56,3 57,4 113,7 
 
Calculando as somas dos quadrados: 
=ASS [ ]27,1136,1138,1143,1135,846,868,1409,14228
1
+−+−+−+−
×
 = 0,4225 
=BSS [ ]27,1136,1138,1143,1135,846,868,1409,14228
1
++−−++−−
×
 = 803,7225 
=ABSS [ ]27,1136,1138,1143,1135,846,868,1409,14228
1
+−−++−−
×
 = 0,1225 
=CSS [ ]27,1136,1138,1143,1135,846,868,1409,14228
1
++++−−−−
×
 = 0,0225 
=ACSS [ ]27,1136,1138,1143,1135,846,868,1409,14228
1
+−+−−+−
×
 = 2,1025 
=BCSS [ ]27,1136,1138,1143,1135,846,868,1409,14228
1
++−−−−+
×
 = 781,2025 
=ABCSS [ ]27,1136,1138,1143,1135,846,868,1409,14228
1
+−−+−++−
×
 = 0,1225 
A soma dos quadrados total e a soma dos quadrados do erro são: 
SST = ( ) ( ) ( ) ( ) =
×××
−+++
2222
2,9104,578,711,71
2
222
� 1597,998 
SSE = 1597,998 – 0,4225 – 803,7225 – 0,1225 – 0,0225 – 2,1025 – 781,2025 – 0,1225 = 10,2805 
 17 
Completando a tabela de análise de variância: 
 
)RQWH�GH�
YDULDomR�
6RPD�GRV�
TXDGUDGRV��66��
*UDXV�GH��
OLEHUGDGH��J��O���
4XDGUDGR��
PpGLR��06��
�
)  �
$� 0,4225 D – 1 = 1 4225,0MSA = 
E
A
0 MS
MSF = = 0,33 
%� 803,7225 E – 1 = 1� 7225,803MSB = 
E
B
0 MS
MSF = = 625,46 
$%� 0,1225 (D – 1)(E – 1) = 1� 1225,0MSAB = 
E
AB
0 MS
MSF = = 0,10 
&� 0,0225 F – 1 = 1 MSC = 0,0225 02,0MS
MSF
E
C
0 == 
$&� 2,1025 (D – 1)(F – 1) = 1 MSAB = 2,1025 64,1MS
MSF
E
AC
0 == 
%&� 781,2025 (E – 1)(F – 1) = 1 MSBC = 781,2025 94,607MS
MSF
E
BC
0 ==
 
$%&� 0,1225 (D – 1)(E – 1) (F – 1) = 1 MSABC = 0,1225 10,0MS
MSF
E
ABC
0 == 
(UUR�� 10,2805 DEF(Q – 1) = 8 285,1MSE = 
7RWDO� 1597,998 DEFQ – 1 = 15 
 
Comparando os F0’ s com F0,05, 1, 8 = 5,32 (para α = 5%, por exemplo), podemos concluir que 
somente os efeitos do fator B e da interação BC são significativos.��
�