INTEGRAL Apostila (2)
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INTEGRAL Apostila (2)


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f (x) \ufffd 4.000x 
1.000 de 0 até n , ou seja, 
f (x)dx
0
n
0 \ufffd 36.000 .
Resolvendo a integral acima, vem 
f (x)dx
0
n
0 \ufffd 36.000‰ 4.000x 
1.000\ufffd 	dx
0
n
0 \ufffd 36.000
 
‰ 2.000x2 
1.000x\ufffd 	
0
n
\ufffd 36.000
 
‰ 2.000n2 
1.000n \ufffd 36.000 ,
 
‰ 2n2 
 n < 36 \ufffd 0 .
Resolvendo a equação 2n2 
 n < 36 \ufffd 0 pela fórmula de Bhaskara , 
temos n \ufffd 4 en \ufffd < 9
2
.
Portanto, são necessários 4 anos de uso para o equipamento pagar-
se por si mesmo.
&KHJRX\ufffdD\ufffdKRUD\ufffdGH\ufffdSRU\ufffdHP\ufffdSUiWLFD\ufffd
R\ufffdTXH\ufffdYRFr\ufffdDSUHQGHX\ufffdQHVWD\ufffdVHomR\ufffd\ufffd
Resolva os exercicios e tire suas 
dúvidas com seu tutor. Só prossiga 
após resolver todos as questões 
pois tudo que veremos as seguir 
depende do ceonceito introduzido 
nesta seção.
Módulo 2
307
Exercícios propostos \u2013 2
1. Calcular a integral f (x)dx
0
3
0 onde f (x) \ufffd
7 < x, se x \ufffd 2
x 
 3, se x * 2
¨
©
ª
.
2. Determinar o valor das seguintes integrais, aplicando o Teorema 
Fundamental do Cálculo.
a) x 
 cosx\ufffd 	 dx
0
/
2
0 . b) x3 < 6x 
 8\ufffd 	
0
1
0 dx .
c) sec2 x
0
/
4
0 dx . d) ex
0
2
0 dx .
Integração por substituição
A partir de agora você vai conhecer uma técnica utilizada com 
R\ufffdREMHWLYR\ufffdGH\ufffdGHVHQYROYHU\ufffdR\ufffdFiOFXOR\ufffdGH\ufffdLQWHJUDLV\ufffdLQGH¿QLGDV\ufffdGH\ufffdIXQo}HV\ufffd
que possuem primitivas. A esta técnica, damos o nome de integração 
por substituição ou mudança de variável.
Suponha que você tem uma função g(x) e uma outra função f
tal que f g(x)\ufffd 	 \ufffdHVWHMD\ufffdGH¿QLGD\ufffd\ufffd f e g HVWmR\ufffdGH¿QLGDV\ufffdHP\ufffdLQWHUYDORV\ufffd
convenientes). Você quer calcular uma integral do tipo 
f g(x)\ufffd 	 = g '(x) dx0 ,
Logo,
f g(x)\ufffd 	 = g '(x) dx \ufffd F g(x)\ufffd 	 
 C.0 (1)
)D]HQGR\ufffdu \ufffd g(x)‰ du
dx
\ufffd g '(x)‰ du \ufffd g '(x) dx e substituindo 
na equação (1), vem 
f g(x)\ufffd 	 = g`(x) dx \ufffd f (u) du \ufffd0 F (u) 
 C.0
Curso de Graduação em Administração a Distância
308
Vejamos agora alguns exemplos de como determinar a integral 
LQGHÀQLGD\ufffdGH\ufffdXPD\ufffdIXQomR\ufffd\ufffdDSOLFDQGR\ufffdD\ufffdWpFQLFD\ufffdGD\ufffdPXGDQoD\ufffdGH\ufffdYDULiYHO\ufffd
ou substituição e usando a tabela acima.
Exemplo 7.22 Calcular a integral 
x2 
 5\ufffd 	3 = 2 x dx0 .
Resolução:\ufffd)D]HQGR\ufffdD\ufffdVXEVWLWXLomR\ufffdGH\ufffdx2 
 5 por u na integral 
dada, ou seja, u \ufffd x2 
 5 , vem
u \ufffd x2 
 5 ‰ du
dx
\ufffd 2 x 
 0 \ufffd 2 x ‰ du \ufffd 2 x dx .
Agora, vamos em x2 
 5\ufffd 	3 = 2 x dx0 , substituímos x2 
 5
por u e 2 x dx por du e temos:
x2 
 5\ufffd 	3 = 2 x dx0 \ufffd u3 du \ufffd u
4
4
C0 ,
onde utilizamos a fórmula (ii) da tabela de integrais.
Como,
u \ufffd x2 
 5 ‰ u
4
4
C \ufffd
x2 
 5\ufffd 	4
4
 C .
Portanto, 
x2 
 5\ufffd 	3 . 2 x dx0 =
x2 
 5\ufffd 	4
4
 C .
Exemplo 7.23 Calcular: 
3 x2 dx
1
 x30 .
Resolução:\ufffd)D]HQGR\ufffdD\ufffdVXEVWLWXLomR\ufffdGH\ufffd1 
 x3 por u na integral 
dada, ouu \ufffd 1 
 x3 , vem: 
u \ufffd 1 
 x3 ‰ du
dx
\ufffd 0 
 3 x2 \ufffd 3 x2 ‰ du = 3 x2 dx .
Agora, vamos em
3 x2 dx
1
 x30 , substituímos u \ufffd 1
 x
3 por u e 
Módulo 2
309
3 x2 dx por du e temos:
3 x2 dx
1
 x30 \ufffd
du
u
\ufffd ln u0 
C .
(Pela fórmula (iii) da tabela de integrais).
Como 
u \ufffd 1
 x3 ‰ ln u 
C \ufffd ln 1
 x3 
C .
Portanto, 
3 x2 dx
1
 x30 \ufffd ln 1
 x
3 
C .
Exemplo 7.24 Calcular:
dx
16 
 9x20 .
Resolução. Na integral dada temos 
dx
16 
 9x20 \ufffd
dx
42 +32x20 \ufffd
dx
42 
 (3x)20
aquia \ufffd 4 e u \ufffd 3x .
Assim, 
u \ufffd 3x ‰ du
dx
\ufffd 3 ‰ du \ufffd 3dx ‰ dx \ufffd 1
3
du .
Agora, vamos à integral dada
dx
16 
 9x20 , substituímos 3x por u
e dx por 
1
3
du e temos
dx
16 
 9x20 \ufffd
dx
42 
 3x\ufffd 	20
 =
1
3
du
42 
 u2
\ufffd 1
30
du
42 
 u20
 \ufffd 1
3
= 1
4
arc tg
u
4
C
 
\ufffd 1
12
arc tg
u
4
 C .
(Pela fórmula (xvi) da tabela de integrais).
Curso de Graduação em Administração a Distância
310
Como: 
u \ufffd 3x ‰ 1
12
arctg
u
4
C \ufffd 1
12
arctg
3x
4
C .
Portanto, 
dx
16 
 9x20 \ufffd
1
12
arctg
3x
4
C .
Exercícios propostos \u2013 3
Calcular as seguintes integrais abaixo:
1)
4
7 < 5x\ufffd 	3
dx0 . 2) 
1
x2
dx0 . 
3) cos 7t < /\ufffd 	 dt0 . 4) x2 < 2x4 dx0 .
5)
dx
x2 
 30 . 6) cos
3 x sen x dx
0
/
2
0 .
7) 
lnt5
t
1
4
0 dt . 8) 
x
x2 
1
dx
0
3
0 .
Integração por partes
Na seção anterior, estudamos como calcular integrais usando o mé-
todo da substituição. Mas, existem algumas integrais, tais como: lnxdx0 ,
xexdx0 , x3 cosxdx0 , etc. , que não podem ser resolvidas aplicando o mé-
todo da substituição. Necessitamos de alguns conhecimentos a mais. Neste 
caso, iniciaremos apresentando a técnica de LQWHJUDomR\ufffdSRU\ufffdSDUWHV.
Sejam u(x) e v(x) funções diferenciáveis num intervalo (a,b) .
\u2022
Módulo 2
311
Então, podemos escrever:
(uv v) \ufffd u vv 
 v vu ,
ou seja,
v vu \ufffd (uv v) < u vv .
Integrando os dois membros da igualdade acima, temos:
v vu dv \ufffd (uv v) dx < u vv dx
a
b
0a
b
0a
b
0 ,
ou,
vdu \ufffd uv
a
b
< udv
a
b
0a
b
0 .
(\ufffdSDUD\ufffdD\ufffdLQWHJUDO\ufffdLQGHÀQLGD\ufffdWHP\ufffdVH
vdu \ufffd uv
a
b
< udv
a
b
0a
b
0 ,
ou simplesmente, 
vdu \ufffd uv < udv00 . (2)
A expressão (2) é conhecida como a fórmula de LQWHJUDomR\ufffdSRU\ufffdSDUWHV.
Quando aplicarmos esta fórmula para resolver a integral f x\ufffd 	dx0 , devemos 
separar o integrando dado em duas partes, uma sendo u e a outra, juntamente 
comdx , sendodv . Por essa razão o cálculo de integral utilizando a fórmu-
la (2) é chamado LQWHJUDomR\ufffdSRU\ufffdSDUWHV. Para escolher u edv , devemos 
lembrar que:
(i) a parte escolhida comodv , deve ser facilmente integrável;
(ii) v du0 deve ser mais simples que udv0 .
A seguir, apresentaremos alguns exemplos:
Exemplo 7.25 Calcular a integral:
xexdx0 .
Resolução: Sejam u \ufffd x edv \ufffd exdx . Assim, teremos du \ufffd dx e
v \ufffd ex . Aplicando a fórmula udv \ufffd uv < v du00 , obtemos
xexdx0 \ufffd xex < exdx0
\ufffd xex < ex 
C.
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312
Exemplo 7.26 Calcular a integral:
lnxdx.0
Resolução: Sejam u \ufffd lnx edv \ufffd dx . Assim, teremos du \ufffd 1
x
dx
e v \ufffd x. Aplicando a fórmula (2), obtemos:
lnxdx0 \ufffd x lnx < x
1
x
dx0
\ufffd x lnx < x 
 c.
Exemplo 7.27 Encontre:
arc tgxdx.0
Resolução: Sejam u \ufffd arc tgx e dv \ufffd dx. Assim, teremos, 
du \ufffd dx
1
 x2
e v \ufffd x. Logo, 
arc tgxdx \ufffd xarc tgx < x
1
 x2
dx00 .
Para calcular a integral
x
1
 x2
dx0 , utilizamos a substituição
t \ufffd 1
 x2 ‰ dt \ufffd 2xdx , então,
x
1
 x2
dx0 \ufffd
1
2
dt
t
\ufffd 1
2
ln t0 
C
 \ufffd 1
2
ln(1
 x2 ) 
 c , pois 1
 x2 é sempre positivo.
Portanto,
arc tgxdx \ufffd xarc tgx < 1
2
ln(1
 x2 ) 
C.0
Exemplo 7.28 Calcular:
x lnxdx.0
Resolução: Sejam u \ufffd lnx e dv \ufffd xdx. Assim, teremos du \ufffd 1
x
dx
e v \ufffd 1
2
x2. Logo,
x lnxdx \ufffd 1
2
x2 lnx < 1
2
x0 dx0
\ufffd 1
2
x2 lnx < 1
4
x2 
C.
Módulo 2
313
Exemplo 7.29 Calcular:
ex senx0 dx.
Resolução: Sejam u \ufffd ex e dv \ufffd senxdx. Assim, teremos 
du \ufffd exdx e v \ufffd <cosx. Logo,
ex senx0 dx \ufffd <ex cosx 
 excosxdx.0 (3)
Novamente, considerando, u \ufffd ex e dv \ufffd cosxdx , temos 
du \ufffd exdx ev \ufffd senx . De (2), obtemos:
ex cosxdx \ufffd ex senx< exsenxdx00 . (4)
De (3) e (4), segue que:
exsenx0 dx \ufffd
1
2
ex (senx < cosx) 
C.
Exemplo 7.30 Determine:
sec3 xdx.0
Resolução: Podemos escrever:
sec3 xdx \ufffd sec2 x secxdx00 .
)D]HQGR\ufffd u \ufffd secx , temos du \ufffd secx tgxdx e dv \ufffd sec2 xdx e
v \ufffd tg x . Aplicando a fórmula (2), obtemos:
sec3 xdx \ufffd secx tgx < secx tg2xdx00
\ufffd secx tgx < secx (sec2 x <1)dx0
\ufffd secx tgx < (sec3 x < secx)dx0
\ufffd secx tgx < sec3 xdx 
 sec0 xdx0 .
6LPSOLÀFDQGR\ufffd\ufffdREWHPRV\ufffd
2 sec3 xdx \ufffd secx tgx 
 secx dx00 .
Pela tabela de integração sabemos que
secx dx0 \ufffd ln secx 
 tgx 
C .
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Logo,
sec3 xdx \ufffd 1
2
secx tgx 
 1
20 ln secx 
 tgx 
C.
Exercícios propostos \u2013 4
%\ufffd Calcular