Exercícios de Álgebra Linear Capítulos 3 e 4
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Exercícios de Álgebra Linear Capítulos 3 e 4


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= e { }321 ,,\u2019 wwwB = , t.q.:
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
=
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
2
4
9
6
 ,
2
1
4
1
 ,
1
1
1
2
 ,
1
1
1
0
4321 vvvv
w t t w t t w t t1
2
2
2
3
22 2 7 8 6 9= + = \u2212 + + = \u2212 + +, , 
a) Encontrar as componentes de T v( )1 , T v( )2 , T v( )3 , T v( )4 na base B\u2019.
b) Encontrar T v( )1 , T v( )2 , T v( )3 , T v( )4 na base canónica.
c) Encontrar uma fórmula para 
\uf8f7\uf8f7
\uf8f7\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ec\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
4
3
2
1
x
x
x
x
T .
d) Usar a fórmula obtida em c) para calcular 
\uf8f7\uf8f7
\uf8f7\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ec\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
0
0
1
1
T .
3.23 Seja 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee \u2212
=
433
502
131
A a matriz para a transformação T P P: 2 2\u2192 em relação à base
{ }321 ,, vvvB = , t.q.:
v t t v t t v t t1
2
2
2
3
21 3 2 3 7 2= + = \u2212 + + = + +, , 
a) Encontrar as componentes de T v( )1 , T v( )2 , T v( )3 na base B.
b) Encontrar T v( )1 , T v( )2 , T v( )3 na base canónica.
c) Encontrar uma fórmula para ( )2310 tataaT ++ .
d) Usar a fórmula obtida em c) para calcular ( )21 tT + .
e) Calcular a nulidade e a dimensão da imagem de T. Esta aplicação é injectiva?
Sobrejectiva?
f) Resolver T y t t( ) = + +3 7 10 2 .
3.24 Sendo D P P: 3 3\u2192 a derivação D p x
dp x
dx
p x( ( )) ( ) \u2019( )= = .
a) Qual a matriz de D em relação à base { }32 ,,,1 ttt ? Utilize essa matriz para calcular
D t t t( )6 6 24 42 3\u2212 + + .
b) Qual a matriz de D em relação à base { }32 32,232,32,2 ttttt +\u2212+\u2212\u2212 ? Utilize
essa matriz para calcular D t t t( )6 6 24 42 3\u2212 + + .
3.25 Encontrar em cada alínea a matriz da transformação derivação, em relação às
bases indicadas, { }321 ,, fff , de subespaços do espaço das funções reais de variável real.
a) f f t f t1 2 31= = =, sin , cos .
b) f f e f et t1 2 3 21= = =, ,
c) f e f xe f x ex x x1 2 2 2 3 2 2= = =, ,
3.26 Sendo \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
=\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
2
21
2
1 2
x
xx
x
x
T a fórmula da transformação linear T R R: 2 2\u2192 e B e
B\u2019 bases de R2 .
\uf8fe\uf8fd
\uf8fc
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=
1
0
,
0
1
B 
\uf8fe\uf8fd
\uf8fc
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee\u2212\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=
4
3
,
1
2
\u2019B
a) Represente T na base B.
b) Represente T na base B\u2019 utilizando a matriz calculada em a).
c) Obtenha uma fórmula para a inversa de T.
d) Represente T \u22121 na base B\u2019.
3.27 Sendo \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
+
=\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
21
21
2
1
43
7
xx
xx
x
x
T a fórmula da transformação linear T R R: 2 2\u2192 e B
e B\u2019 bases de R2 .
\uf8fe\uf8fd
\uf8fc
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=
1
2
,
1
1
B 
\uf8fe\uf8fd
\uf8fc
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
\u2212
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=
1
1
,
3
1
\u2019B
a) Represente T na base B.
b) Represente T na base B\u2019 utilizando a matriz calculada em a).
c) Obtenha uma fórmula para a inversa de T.
d) Represente T \u22121 na base B\u2019.
3.28 Sendo \uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
+
\u2212
\u2212+
=
\uf8f7\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
31
2
321
3
2
1
7
2
xx
x
xxx
x
x
x
T a fórmula da transformação linear T R R: 3 3\u2192 e
B a base canónica, sendo B\u2019 a base de R3:
\uf8f4\uf8fe
\uf8f4\uf8fd
\uf8fc
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=
1
1
1
,
0
1
1
,
0
0
1
\u2019B
a) Represente T na base B.
b) Represente T na base B\u2019 utilizando a matriz calculada em a).
c) Obtenha uma fórmula para a inversa de T.
d) Represente T \u22121 na base B\u2019.
3.29 Sabendo que existe uma matriz não singular P e duas matrizes A e B, tais que:
B P AP= \u22121 , (A e B são semelhantes)
a) Prove que A2 e B2 são semelhantes.
b) Prove que Ak e Bk são semelhantes, sendo k uma constante natural.
3.30 Sejam C e D duas matrizes m n× quaisquer. Demonstre:
Se Cx Dx= para todo o vector x de Rn , então C D= .
3.31 Sejam V e W dois espaços lineares, T T T, 1 2 e transformações lineares de V para W
e k um escalar. Sejam as transformações T T1 2+ e kT , definidas por:
( )( ) ( ) ( ),T T x T x T x x V1 2 1 2+ = + \u2200 \u2208
( ) VxxTkxkT \u2208\u2200= ,)())((
a) Prove que T T V W1 2+ \u2192: e kT V W: \u2192 são transformações lineares.
b) Mostre que as transformações lineares de um espaço linear noutro, com as
operações definidas acima é um espaço vectorial.
3.32 Seja T V V: \u2192 uma transformação linear num espaço linear de dimensão n
(finito). Prove que um e um só destas afirmações se verifica:
1. A equação T x b( ) = tem solução para todos os vectores b em V.
2. A nulidade de T é maior que zero.
3.33 Para todo o real c os vectores:
1
2
2
, ,
( )
!
,...,
( )
!
t c
t c t c
n
n
\u2212
\u2212 \u2212
formam base para Pn . Encontre a matriz para o operador derivação em relação a esta base.
Esta aplicação tem inversa? Justifique.
3.34 Seja J P Pn n: \u2192 +1 a transformação definida por:
n
nn
n
n
tatata
tadttatataatpJ
1
...
32
)...())((
3
2
2
1
0
2
210 +
++++=++++= \u222b
onde p t a a t a t a tn n( ) ...= + + + +0 1 2 2 . Encontrar a matriz de J às bases canónicas de Pn e de
Pn+1 . Esta aplicação tem inversa? Justifique.
3.35 Seja M o espaço linear real das matrizes reais 2 2× e considere em M a base
formada pelas 4 matrizes seguintes:
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=
10
00
 , 
01
00
 , 
00
10
 , 
00
01
4321 EEEE
a) Sendo 
01
10
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
=A determine na base anterior, qual a matriz que representa a
aplicação linear T M M T X AX XA AX XA: , ( ) ,\u2192 = \u2212 onde e são os produtos
matriciais usuais.
b) Obtenha uma base para o núcleo de T.
c) Calcule a dimensão e indique uma base para o subespaço imagem de T.
d) Determine a matriz que representa T na base formada pelas quatro matrizes
seguintes:
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212
==\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=
10
01
 , = , , 
10
01
\u2019
43
\u2019
32
\u2019
2
\u2019
1 EEEEEE
(Exames)
3.36 Seja P3 o espaço linear real dos polinómios de grau menor ou igual a 3 e
considere a transformação linear T P R: 3 4\u2192 definida por:
T p x T p y T p z T p( ) , )1 2 3 4 0= = = = ( ) , ( ) , ( .
em que:
p t t p t t t p t t p t t t R
x y z
1 2
2
3
2
4
31 1
1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1
( ) , ( ) ( ) ( ) ,
( , , , ),
= + = = = \u2208
= = =
 + , + , 
 ( , , - , ), ( , , , ).
a) Mostre que o conjunto { }4321 p,,, pppP = é linearmente independente.
b) Obtenha um vector w R\u2208 4 por forma a que o conjunto { }tzyxB ,,,= seja uma
base de R4 .
c) Aplique o método de ortogonalização de Gram-Schmidt ao conjunto B para obter
uma base ortogonal B~ de R4 , usando o produto interno usual.
d) Obtenha a matriz que representa T em relação às bases P de P3 e B~ de R4 .
e) Determine o vector b~ , a projecção ortogonal do vector b = \u2212( , , , )3 2 2 1 sobre o
subespaço gerado pelos vectores x,y e z.
f) Resolva a equação (isto é, se existirem soluções determine-as):
bpT ~)( = .
(Exames)
3.37 Considere a transformação linear F C C: 3 3\u2192 que em relação à base canónica de
C3 , tem representação matricial:
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2212=
100
001
010
A .
a) Calcule os valores próprios e os vectores próprios de F e identifique, justificando,
se existe uma base de C3 em relação à qual a representação matricial de F seja
diagonal. Em caso afirmativo, indique uma tal base, a correspondente
representação diagonal \u39b = \u2212S AS1 .
b) Resolva a alínea precedente para o caso em que F é definida como indicado, mas
substituindo C3 por R3.
c) Prove que existe n N\u2208 tal que F In = e calcule o menor n com esta propriedade.
Prove que A é não singular e determine as matrizes Ak , para todo o k N\u2208 ,
naturalmente considerando A A m Nm m\u2212 \u2212= \u2208( ) ,1 para .
(Exames)
3.38 Seja M 2 2, o espaço linear das matrizes 2 2× de elementos reais e considere a
transformação linear R M M: , ,2 2 2 2\u2192 definida por:
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212
++
=\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
dacb
cbda
dc
ba
R
3434
4343
a) Determine a matriz A que representa R em relação à base canónica de M 2 2, .
Verifique que é válida a relação A I2 25= , em que I é a matriz identidade
b) Mostre que R é invertível e determine a sua inversa.
c) Resolva a equação linear
.
12
21)( \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2212\u2212
=XR
(Exames)
Capítulo 4
Projecções, comprimento e ortogonalidade
4.1 (Fachada) Diga como se devem escolher os escalares reais \u3b1 \u3b2 \u3b3 \u3b4, , , de modo a
que a expressão:
x y x y x y x y x y, = + + +\u3b1 \u3b2 \u3b3 \u3b41 1 1 2 2 1 2 2
defina um produto interno dos