INTEGRAL Apostila
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INTEGRAL Apostila


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as seguintes integrais usando o método de integração por 
partes:
1) ex x 
1\ufffd 	2 dx0 . 2) x2 lnx dx0 . 
3) x0 lnx dx . 4) sen2x dx0 . 
5)
lnx
x
dx0 . 6) x e<xdx0 .
Integrais impróprias
Sabemos que toda função contínua num intervalo fechado é inte-
grável nesse intervalo, ou seja, se f é uma função contínua em [a,b]
então existe f (x)dx
a
b
0 . Quando f QmR\ufffdHVWi\ufffdGH¿QLGD\ufffdQXP\ufffdGRV\ufffdH[WUHPRV\ufffdGR\ufffd
intervalo[a,b] , digamos ema , mas existe f (x)dx
t
b
0 para todo t D(a,b)
\ufffd\ufffdSRGHPRV\ufffdGH¿QLU\ufffd f (x)dx
a
b
0 como sendo o limite lim
tAa
f (x)dx
t
b
0 quan-
do este limite existe. Para os outros casos a situação é análoga. Nestes 
casos as integrais são conhecidas como LQWHJUDLV\ufffdLPSUySULDV. A seguir 
DSUHVHQWDUHPRV\ufffd D\ufffd GH¿QLomR\ufffd H\ufffd R\ufffd SURFHGLPHQWR\ufffdSDUD\ufffd FDOFXODU\ufffd LQWHJUDLV\ufffd
impróprias. Analisaremos cada caso em separado.
(i) Dado f : (a,b]A ° , se existe f (x)dx
t
b
0 para todot D(a,b) ,
GH¿QLPRV\ufffd
Módulo 2
315
f (x)dx \ufffd lim
tAa
f (x)dx
t
b
0a
b
0 , a \ufffd t \ufffd b ,
quando este limite existe. Caso não exista este limite diremos 
que a integral f (x)dx
a
b
0 não existe, ou não converge.
*UD¿FDPHQWH\ufffd
x0 a b
y
y = f(x)
Figura 7.5
(ii) Dado f : [a,b)A ° , se existe f (x)dx
a
t
0 para todot D(a,b) ,
GH¿QLPRV\ufffd
f (x)dx \ufffd lim
tAb<
f (x)dx
a
t
0a
b
0 , a \ufffd t \ufffd b ,
quando este limite existe. Caso não exista este limite diremos 
que f (x)dx
a
b
0 não existe, ou não converge.
*UDÀFDPHQWH\ufffd
x0 a b
y
y = f(x)
Figura 7.6
Curso de Graduação em Administração a Distância
316
(iii) Dado\ufffdf : (a,b)A ° , escrevemos:
f (x)dx \ufffd f (x)dx
a
c
0a
b
0 
 f (x)dxc
b
0 , a \ufffd c \ufffd b ,
quando as duas integrais do 2o membro existem.
$V\ufffdLQWHJUDLV\ufffdGR\ufffdVHJXQGR\ufffdPHPEUR\ufffdIRUDP\ufffdGHÀQLGDV\ufffdHP\ufffd\ufffdL\ufffd\ufffdH\ufffd\ufffdLL\ufffd\ufffd\ufffd
respectivamente.
(iv) Quando \ufffdf : [a,b]A ° é descontínua em algum c D(a,b) e 
não existe algum limite lateral perto de c , então escrevemos
f (x)dx \ufffd f (x)dx
a
c
0a
b
0 
 f (x)dxc
b
0 , a \ufffd c \ufffd b ,
sempre que as integrais do 2o membro existem. 
$V\ufffdLQWHJUDLV\ufffdGR\ufffdVHJXQGR\ufffdPHPEUR\ufffdIRUDP\ufffdGHÀQLGDV\ufffdHP\ufffd\ufffdLL\ufffd\ufffdH\ufffd\ufffdL\ufffd\ufffd
respectivamente.
 
(v) Dada\ufffdf : (<',b]A ° , se existir f (x)dxt
b
0 para todot D(<',b),
GH¿QLPRV\ufffd\ufffd
f (x)dx \ufffd lim
tA<'
f (x)dx
t
b
0<'
b
0 , < ' \ufffd t \ufffd b ,
quando este limite existe. Se este limite não existir, diremos 
que a integral f (x)dx
<'
b
0 não existe ou não converge.
(vi) Dada\ufffdf : [a,')A ° , se existir f (x)dxa
t
0 para todot D[a,') ,
GH¿QLPRV\ufffd
f (x)dx \ufffd lim
tA'
f (x)dx
a
t
0a
'
0 , a \ufffd t \ufffd ' ,
quando este limite existe. Se este limite não existir diremos que 
a integral f (x)dx
a
'
0 não existe ou não converge.
(vii) Dada f : <','\ufffd 	A ° , escrevemos,
f (x)dx \ufffd f (x)dx
<'
c
0<'
'
0 
 f (x)dxc
'
0 , < ' \ufffd c \ufffd ' ,
quando as duas integrais do 2o membro existem. 
Módulo 2
317
$V\ufffdLQWHJUDLV\ufffdGR\ufffdVHJXQGR\ufffdPHPEUR\ufffdIRUDP\ufffdGHÀQLGDV\ufffdHP\ufffd\ufffdY\ufffd\ufffdH\ufffd\ufffdYL\ufffd\ufffd
respectivamente.
Quando uma integral imprópria existe, ou seja, o limite envolvido 
WHP\ufffdYDORU\ufffdÀQLWR\ufffd\ufffdGL]HPRV\ufffdTXH\ufffdHOD\ufffdp\ufffdconvergente. Caso contrário dizemos 
que ela é divergente.
A seguir apresentaremos alguns exemplos.
Exemplo 7.31 Calcular, se existir:
dx
1< x
.
0
1
0
Resolução: Observemos que a função f (x) \ufffd dx
1< x
 não está de-
¿nida no ponto x \ufffd 1. Neste caso calculamos o limite, usando (ii)
lim
tA1<
dx
1< x20
t
0 \ufffd lim
tA1<
(1< x)
<
1
2 dx
0
t
0
)D]HQGRu \ufffd 1< x‰ du \ufffd <dx , pelo método de substituição, vem
(1< x)
<
1
20 dx \ufffd < u
<
1
20 du \ufffd <2u1/ 2 ,
ou seja, 
(1< x)<1/ 2dx \ufffd <2(1< x)1/ 2
0
t
0
t
0
 
\ufffd <2 (1< t)1/ 2 <1•– —˜ .
Logo,
\ufffd
lim
tA1<
dx
1< x0
t
0 \ufffd lim
tA1<
< 2 (1< t)1/ 2 <1•– —˜
 \ufffd <2[0 <1] \ufffd 2
Portanto, a integral converge e temos
dx
1< x
\ufffd 2
0
1
0 .
Exemplo 7.32 Calcular, se existir:
dx
x2
.
0
1
0
Curso de Graduação em Administração a Distância
318
Resolução: Observemos que a função f (x) \ufffd 1
x2
\ufffdQmR\ufffdHVWi\ufffdGH¿QLGD\ufffd
no ponto x \ufffd 0. Neste caso, calculamos o limite, usando (i)
lim
tA0
dx
x2t
1
0 \ufffd lim
tA0
x<1
<1
t
1
 \ufffd lim
tA0
<1
 1
t
£
¤²
¥
¦´
\ufffd ' .
Portanto, a integral 
dx
x20
1
0 diverge ou não existe.
Exemplo 7.33 Calcular, se existir:
cos x
1< sen x
dx.
0
/
20
Resolução: Observemos que f (x) \ufffd cos x
1< sen x
\ufffdQmR\ufffdHVWi\ufffdGH¿QLGD\ufffd
em x \ufffd /
2
. Assim, calculamos o limite, usando (i)
\ufffd
lim
xA
/
2
cos x
1< sen x
dx
0
t
0 \ufffd lim
tA
/
2
1< sen x\ufffd 	<1/ 2 cos x dx
0
/
20
 \ufffd lim
tA
/
2
<
1< sen x\ufffd 	1/ 2
1
2 0
t•
–
³
³
³
³
—
˜
µ
µ
µ
µ
 \ufffd lim
tA
/
2
<2 1< sen x\ufffd 	1/ 2
0
t•
–
³
—
˜
µ
 \ufffd lim
tA
/
2
<2 1< sen t\ufffd 	1/ 2 
 2 1< sen 0\ufffd 	1/ 2•–³
—
˜µ
 \ufffd <2 1< sen /
2
£
¤²
¥
¦´
1/ 2
 2
•
–
³
³
—
˜
µ
µ
 
\ufffd <2(1<1)1/ 2 
 2•– —˜ \ufffd 2
Logo, a integral converge e temos
cos x
1< sen x
dx \ufffd 2
0
/
20 .
Módulo 2
319
Exemplo 7.34 Determinar, se existir:
dx
x < 2
.
0
4
0
Resolução: Observemos que f (x) \ufffd 1
x < 2
 não é contínua em 
x \ufffd 2. Assim,
dx
x < 2
\ufffd dx
x < 2
 dx
x < 22
4
00
2
00
4
0 ,
se as integrais do segundo membro convergirem.
lim
tA2<
dx
x < 20
t
0 
 lim
tA2
dx
x < 2t
4
0
\ufffd lim
tA2<
ln x < 2
0
t
 lim
tA2
ln x < 2
t
4
\ufffd lim
tA2<
ln t < 2 < ln <2\ufffd 	 
 lim
tA2
ln 2 < ln t < 2\ufffd 	 .
Observamos que calculando o primeiro limite obtemos o resultado
' , logo, podemos concluir que a integral proposta não existe, ou 
seja, a integral é divergente.
Exemplo 7.35 Determinar, se existir:
exdx.
<'
0
0
Resolução: Calculamos 
lim
tA<'
exdx
t
0
0 \ufffd limtA<'e
x
t
0
 (<' \ufffd t \ufffd 0 )
 \ufffd lim
tA<'
1< et\ufffd 	
 
\ufffd 1.
Logo, a integral converge e temos
exdx
<'
0
0 \ufffd 1.
Exemplo 7.36 Determinar, se existir:
dx
x
.
1
'
0
Curso de Graduação em Administração a Distância
320
Resolução: Calculamos
lim
tA'
dx
x1
t
0 \ufffd limtA'
x
<
1
2
1
< 1
2
1
1
t
\ufffd lim
tA'
x1/ 2
1
2 1
t
(1\ufffd t \ufffd ' )
 
\ufffd lim
tA'
2 t < 2\ufffd 	 \ufffd ' .
Portanto, a integral diverge.
Exemplo 7.37 Calcular, se existir:
dx
1
 x2
.
<'
'
0
Resolução. Escrevemos,
dx
1
 x2
\ufffd
<'
'
0
dx
1
 x2
 dx
1
 x20
'
0<'
0
0 ,
e calculamos os limites:
lim
tA<'
dx
1
 x2
 lim
tA'
dx
1
 x20
t
0t
0
0
 \ufffd lim
tA<'
arc tg x
t
0
 lim
tA'
arc tg x
0
t
 \ufffd < < /
2
£
¤²
¥
¦´
 /
2
\ufffd /
Portanto, a integral converge e temos
dx
1
 x2
\ufffd /
<'
'
0 .
Exercícios propostos \u2013 5
%\ufffd Calcular, se existirem, as seguintes integrais impróprias, indicar 
se converge ou diverge.
1) e< x dx
<'
'
0 . 2) x lnx dx0
1
0 .
3)
dx
9 < x20
3
0 . 4)
4dx
x2 
16<'
'
0 . 5)
dy
y2<1
1
0 .
Módulo 2
321
Saiba Mais...
Para aprofundar os conteúdos abordados neste capítulo consulte:
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Fun-
ções, Limite, Derivação, Integração, 5ª ed. São Paulo: Makron 
Books, 1992.
MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton 
de O. Cálculo funções de uma e várias variáveis. São Paulo: 
Saraiva, 2005.
SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; 
SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática: para os cursos de 
HFRQRPLD\ufffd\ufffdDGPLQLVWUDomR\ufffdH\ufffdFLrQFLDV\ufffdFRQWiEHLV\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffdHG\ufffd\ufffd6mR\ufffd3DXOR\ufffd\ufffd
Atlas, 1988.
KWWS\ufffd\ufffd\ufffdSHVVRDO\ufffdVHUFRPWHO\ufffdFRP\ufffdEU\ufffdPDWHPDWLFD\ufffdVXSHLRU\ufffdVXSHULRU\ufffdKWP
KWWS\ufffd\ufffd\ufffdZZZ\ufffdFHSD\ufffdLI\ufffdXVS\ufffdEU\ufffdH\ufffdFDOFXOR