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1º TVC 09-2

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1a Prova de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Curso de Cieˆncias Exatas - 23/09/2009
Departamento de Matema´tica - ICE - UFJF
Quest. Notas
1
2
3
4
Total
Aluno: Matr´ıcula: Turma:
1. Resolva, usando escalonamento de matrizes (me´todo de Gauss ou de Gauss-
Jordan), o sistema linear: (30 pts)
2x − 3y + 2z + 5w = 3
x − y + z + 2w = 1
3x + 2y + 2z + w = 0
x − 2y + z + 3w = 2
2. (a) Encontre, se existir, a inversa da matriz: A =
 3 1 22 1 2
1 2 2
. (25 pts)
(b) Resolva o sistema linear:

3x + y + 2z = 10
2x + y + 2z = 1
x + 2y + 2z = 4
3. (a) Calcule o determinante da matriz: A =

2 0 1 4
2 3 −1 0
1 2 −5 −6
8 4 −7 0
. (25 pts)
(b) O sistema AX = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o trivial? Justifique.
4. Classifique cada uma das afirmac¸o˜es abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se ver-
dadeira, prove; se falsa, prove ou deˆ um contra-exemplo. (20 pts)
(a) Se A, B e C sa˜o matrizes n× n tais que AB = AC enta˜o B = C.
(b) Se A e´ invers´ıvel e k e´ escalar na˜o nulo enta˜o (kA)−1 = kA−1.
(c) Se AT = A−1 enta˜o det(A) = ±1.
(d) Se A e B sa˜o sime´tricas enta˜o AB e´ sime´trica. (Lembre-se: uma matriz A e´ dita
sime´trica se At = A.)