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de uma ED representa uma família de curvas. Essa solução denomina-se primitiva ou integral da ED. Exemplo: 1) Seja a equação x dx dy 2= Cálculo Diferencial e Integral 127 2) Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária. a) 6 2 3 2 +−= xxy b) y = C1 sen x + C2 cos x c) y = C1 x2 + C2 d) y = C1 e3x + C2 e- 2x Cálculo Diferencial e Integral 128 11.2 - EQUAÇÃO DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU São equações de 1a ordem e 1o grau: ),( yxF dx dy = ou 0=+ NdyMdx em que M = M(x,y) e N = N(x,y). Estas funções tem que ser contínuas no intervalo considerado ( - ∞, ∞) 10 TIPO: EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Uma equação do tipo Mdx + Ndy = 0 em que M e N pode ser: a) Funções de apenas uma variável: b) Produtos com fatores de uma só variável ou c) Constantes. é denominada equação de variáveis separáveis. Exemplos: Resolver as seguintes equações: 1) 13 −= x dx dy 2) y dx – x dy = 0 Cálculo Diferencial e Integral 129 3) 04 =−− dy y xxdx 4) 0secsec. =− xdytgyydxtgx Cálculo Diferencial e Integral 130 5) 01)1( 222 =−−− dyxdxyx 6) (x – 1) dy – y dx = 0 Cálculo Diferencial e Integral 131 7) xyx y dx dy )1( 1 2 2 + += 8) (1 + x2)dy – xydx = 0 Cálculo Diferencial e Integral 132 9) 2 2 1 1 x y dx dy + += 10) 0cos =+ xy dx dy Cálculo Diferencial e Integral 133 11) (x2 + a2)(y2 + b2)dx + (x2 – a2)(y2 – b2)dy = 0 12) sec2 x tg y dx + sec2 y tg x dy = 0 Cálculo Diferencial e Integral 134 13) dx dyxyy dx dyxa =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 2 14) (1 + x2) y3 dx + (1 – y2) x3 dy = 0 Cálculo Diferencial e Integral 135 AULA 25 – EXERCÍCIOS Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária. 1) x2 + y2 = C2 2) y = C ex 3) x3 = C (x2 – y2) 4) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x 5) y = (C1 + C2x) ex + C3 6) y = C1 e2x + C2 e- x Resolver as equações abaixo: 7) 0.1 =− dx dytgy x 8) 4xy2 dx + (x2 + 1) dy = 0 9) (2+ y) dx - (3 – x) dy = 0 10) xy dx – (1 + x2) dy = 0 11) 42 2 += − x e dx dy y Respostas: 1) 0=+ ydyxdx 2) 0=− y dx dy 3) dx dyxyxy 23 22 =− 4) 042 2 =+ y dx yd 5) 02 2 2 3 3 =+− dx dy dx yd dx yd 6) 022 2 =−− y dx dy dx yd 7) x cos y = C 8) C y xLg =−+ 1)1(2 2 9) (2 + y)(3 – x) = C 10) C y2 = 1 + x2 11) Cxarctge y =− 2 2 Cálculo Diferencial e Integral 136 AULA 26 11.3 - EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS São as da forma Mdx + Ndy = 0, onde M e N são funções homogêneas em x e y e do mesmo grau. Exemplos: 1) (x2 – y2) dx – 2xy dy = 0 Cálculo Diferencial e Integral 137 2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0 Cálculo Diferencial e Integral 138 3) (x2 + y2) dx – xy dy = 0 Cálculo Diferencial e Integral 139 AULA 26 – EXERCÍCIOS 1) (x – y) dx – (x + y) dy = 0 2) (x2 + y2) dx + (2x + y)y dy = 0 3) (x + y) dx + (y – x) dy = 0 Respostas: 1) y2 + 2xy – x2 = K 2) y3 + 3xy2 + x3 = k 3) x yarctgyxLgC =+ 221 Cálculo Diferencial e Integral 140 AULA 27 11.4 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS Uma equação do tipo M dx + N dy = 0 é denominada diferencial exata, se e somente se: x N y M ∂ ∂=∂ ∂ → condição necessária ∫ ∫ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−+= Cdy y PNMdxU onde, ∫= MdxP Exemplos: 1) (x2 – y2)dx – 2xy dy = 0 2) (2x – y + 1) dx – (x + 3y – 2) dy = 0 Cálculo Diferencial e Integral 141 3) ey dx + ( xey – 2y) dy = 0 11.4.1 - FATOR INTEGRANTE: Quando a expressão Mdx + Ndy não é diferencial exata, isto é, x N y M ∂ ∂≠∂ ∂ , mostra-se que há uma infinidade de funções ),( yxF , tais que )( NdyMdxF + é uma diferencial exata. A esta função ),( yxF , dá-se o nome de fator integrante. F(x): F(y): ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= x N y M N xR 1)( ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂−= x N y M M yR 1)( ∫= dxxRecxF )(.)( ∫= dyyRecyF )(.)( Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do fator integrante. 1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0 Cálculo Diferencial e Integral 142 2) (x2 – y2) dx + 2xy dy = 0 AULA 27 – EXERCÍCIOS 1) (x3 + y2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0 2) 2222 yxy xdy y dy yx dx +=++ 3) 2xy dx + x2 dy = 0 4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy 5) 0)( 22 =−− θθ drrdre 6) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy 7) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0 8) seny dx + cos y dy = 0 Encontre a solução particular em: 9) 2xy dy = (x2 + y2) dx para y(1) = 2 10) 3y2 dx + x dy = 0 para y(1) = 1/2 Respostas: 1) Ksenyxyx =++ 2 4 4 2) Kyxx =++ 22 3) x2y = K 4) coshycosy = K 5) Kre =− 22θ 6) x2 cos y + x4 = C 7) Ctgyex
