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Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - Funçoes

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de uma ED representa uma família de curvas. Essa solução 
denomina-se primitiva ou integral da ED. 
 
Exemplo: 
1) Seja a equação x
dx
dy 2= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 127
2) Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação diferencial de 
menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária. 
 
a) 6
2
3 2 +−= xxy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y = C1 sen x + C2 cos x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) y = C1 x2 + C2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) y = C1 e3x + C2 e- 2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 128
11.2 - EQUAÇÃO DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU 
 
 São equações de 1a ordem e 1o grau: 
 
),( yxF
dx
dy = ou 0=+ NdyMdx 
 
em que M = M(x,y) e N = N(x,y). 
 Estas funções tem que ser contínuas no intervalo considerado ( - ∞, ∞) 
 
 
10 TIPO: EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. 
 
 Uma equação do tipo Mdx + Ndy = 0 em que M e N pode ser: 
a) Funções de apenas uma variável: 
b) Produtos com fatores de uma só variável ou 
c) Constantes. 
 
é denominada equação de variáveis separáveis. 
 
Exemplos: Resolver as seguintes equações: 
 
1) 13 −= x
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) y dx – x dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 129
3) 04 =−− dy
y
xxdx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 0secsec. =− xdytgyydxtgx 
Cálculo Diferencial e Integral 
 130
5) 01)1( 222 =−−− dyxdxyx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) (x – 1) dy – y dx = 0 
Cálculo Diferencial e Integral 
 131
7) 
xyx
y
dx
dy
)1(
1
2
2
+
+= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) (1 + x2)dy – xydx = 0 
Cálculo Diferencial e Integral 
 132
9) 2
2
1
1
x
y
dx
dy
+
+= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) 0cos =+ xy
dx
dy
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 133
11) (x2 + a2)(y2 + b2)dx + (x2 – a2)(y2 – b2)dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) sec2 x tg y dx + sec2 y tg x dy = 0 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 134
13) 
dx
dyxyy
dx
dyxa =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) (1 + x2) y3 dx + (1 – y2) x3 dy = 0 
Cálculo Diferencial e Integral 
 135
AULA 25 – EXERCÍCIOS 
 
Sendo dadas as curvas seguintes, determinar 
para cada uma delas a equação diferencial 
de menor ordem possível que não contenha 
nenhuma constante arbitrária. 
1) x2 + y2 = C2 
 
2) y = C ex 
 
3) x3 = C (x2 – y2) 
 
4) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x 
 
5) y = (C1 + C2x) ex + C3 
 
6) y = C1 e2x + C2 e- x 
 
Resolver as equações abaixo: 
 
7) 0.1 =−
dx
dytgy
x
 
 
8) 4xy2 dx + (x2 + 1) dy = 0 
 
9) (2+ y) dx - (3 – x) dy = 0 
 
10) xy dx – (1 + x2) dy = 0 
 
11) 
42
2
+=
−
x
e
dx
dy y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) 0=+ ydyxdx 
 
2) 0=− y
dx
dy
 
 
3) 
dx
dyxyxy 23 22 =− 
 
4) 042
2
=+ y
dx
yd
 
 
5) 02 2
2
3
3
=+−
dx
dy
dx
yd
dx
yd
 
 
6) 022
2
=−− y
dx
dy
dx
yd
 
 
 
7) x cos y = C 
8) C
y
xLg =−+ 1)1(2 2 
9) (2 + y)(3 – x) = C 
10) C y2 = 1 + x2 
11) Cxarctge y =−
2
2 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 136
AULA 26 
 
 
11.3 - EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS 
 
 São as da forma Mdx + Ndy = 0, onde M e N são funções homogêneas em x e y e do 
mesmo grau. 
 
Exemplos: 
1) (x2 – y2) dx – 2xy dy = 0 
Cálculo Diferencial e Integral 
 137
2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 138
3) (x2 + y2) dx – xy dy = 0 
Cálculo Diferencial e Integral 
 139
AULA 26 – EXERCÍCIOS 
 
1) (x – y) dx – (x + y) dy = 0 
 
2) (x2 + y2) dx + (2x + y)y dy = 0 
 
3) (x + y) dx + (y – x) dy = 0 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) y2 + 2xy – x2 = K 
2) y3 + 3xy2 + x3 = k 
3) 
x
yarctgyxLgC =+ 221 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 140
AULA 27 
 
 
11.4 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS 
 
 Uma equação do tipo M dx + N dy = 0 é denominada diferencial exata, se e somente se: 
 
x
N
y
M
∂
∂=∂
∂
 → condição necessária 
 
∫ ∫ =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−+= Cdy
y
PNMdxU 
 
onde, 
 ∫= MdxP 
 
Exemplos: 
1) (x2 – y2)dx – 2xy dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (2x – y + 1) dx – (x + 3y – 2) dy = 0 
Cálculo Diferencial e Integral 
 141
3) ey dx + ( xey – 2y) dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.4.1 - FATOR INTEGRANTE: 
 Quando a expressão Mdx + Ndy não é diferencial exata, isto é, 
x
N
y
M
∂
∂≠∂
∂
, mostra-se que 
há uma infinidade de funções ),( yxF , tais que )( NdyMdxF + é uma diferencial exata. 
 A esta função ),( yxF , dá-se o nome de fator integrante. 
 
F(x): F(y): 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=
x
N
y
M
N
xR 1)( ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂−=
x
N
y
M
M
yR 1)( 
 
 
∫= dxxRecxF )(.)( ∫= dyyRecyF )(.)( 
 
 
Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do fator 
integrante. 
 
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0 
Cálculo Diferencial e Integral 
 142
2) (x2 – y2) dx + 2xy dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 27 – EXERCÍCIOS 
 
1) (x3 + y2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0 
 
2) 
2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
+=++ 
 
3) 2xy dx + x2 dy = 0 
 
4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy 
 
5) 0)( 22 =−− θθ drrdre 
 
6) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy 
 
7) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0 
 
8) seny dx + cos y dy = 0 
 
Encontre a solução particular em: 
 
9) 2xy dy = (x2 + y2) dx para y(1) = 2 
 
10) 3y2 dx + x dy = 0 para y(1) = 1/2 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) Ksenyxyx =++ 2
4
4
 
 
2) Kyxx =++ 22 
 
3) x2y = K 
 
4) coshycosy = K 
 
5) Kre =− 22θ 
 
6) x2 cos y + x4 = C 
 
7) Ctgyex