Questão resolvida - Uma partícula está no ponto (2,1) de uma superfície em que a temperatura varia segundo a função T(x,y)=x²+xy-x³, determine:a) Qual direção a partícula deve seguir de forma que a te

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma partícula está no ponto (2,1) de uma superfície em que a temperatura varia 
segundo a função , determine:T x, y = x² + xy - y³( )
a) Qual direção a partícula deve seguir de forma que a temparatura aumente o mais 
rápido possível?
b) Qual direção a partícula deve seguir de forma que a temparatura diminua o mais 
rápido possível? 
c) Se T está em graus Celcius, x e y em metros, qual a taxa máxima de aumento?
 
Resolução:
 
 a) A direção do vetor gradiente no ponto fornece a maior taxa de variação da temperatura. 
O gradiente da função T, denotado por , é uma função vetorial dada por;𝛻T
 
𝛻T x, y = , = +( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
𝜕f
𝜕x
i
𝜕f
𝜕y
j
 
Assim, primeiro vamos encontrar as derivadas parciais de T;
= 2x + y; = x - 3y
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
2
O vetor gradiente é;
 
𝛻T x, y = 2x + y + x - 3y 𝛻T 2, 1 = 2 ⋅ 2 + 1 + 2 - 3 ⋅ 1( ) ( ) i 2 j → ( ) ( ) i ( )j
𝛻T 2, 1 = 4 + 1 + 2 - 3 𝛻T 2, 1 = 5 -( ) ( ) i ( )j → ( ) i j
𝛻T 2, 1 = 5 - Com isso, a temperatura aumenta mais rápitamente na direção( ) i j →
desse vetor!
 
b) Para a temperatura diminuir o mais rápido possível a partícula deve seguir a direção 
oposta do vetor gradiente no ponto (2,1), ou seja; na direção de;
-5 + i j
 
c) A taxa máxima de aumento é dada pelo módulo de ;𝛻T 2, 1( )
 
∣ 𝛻T 2, 1 ∣= ∣ 𝛻T 2, 1 ∣=( ) 5 + -1( )2 ( )2 → ( ) 25 + 1
 
 
 
∣ 𝛻T 2, 1 ∣= °C /m( ) 26