Inferência
10 pág.

Inferência


DisciplinaBioestatística I4.650 materiais34.932 seguidores
Pré-visualização2 páginas
que um automóvel roda, 
em média, 22.000 km, com desvio padrão de 3800 km. Construa um intervalo de 98% de confiança 
para a rodagem anual média dos carros.
2.5. Intervalo de confiança para \uf028 \uf029ba \uf06d\uf06d \uf02d , \uf073\uf032\u2019s conhecidas
Dado que 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
2 2
0,1a b a b
a b
a b
x x
N
n n
\uf06d \uf06d
\uf073 \uf073
\uf02d \uf02d \uf02d
\uf02b
\ufffd . 
Então, \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 / 21
22
a b
a b
a b
a b
IC x x z
n n\uf061\uf061
\uf06d \uf06d \uf073\uf073\uf02d \uf03d \uf0b1\uf02d \uf02d \uf02b
Exemplo 6: As empresas A e B produzem tubos para esgoto com as variâncias em seus diâmetros 
iguais a 8mm2 e 10mm2, respectivamente. Uma amostra de 48 tubos da empresa A apresentou 
diâmetro médio igual a 40mm, e uma amostra de 36 tubos da empresa B apresentou diâmetro médio 
Curso de Estatística \u2013 Professora Aurélia 7
de 42mm. Verifique, por meio de um intervalo de confiança com 0, 95 de confiança, se existe 
diferença entre os diâmetros médios dos tubos das marcas A e B.
2.6.Intervalo de confiança para \uf028 \uf029ba \uf06d\uf06d \uf02d , \uf073\uf032\u2019s desconhecidas
a)\uf020\uf020Sabe-se que as \uf073\uf032\u2019s são desiguais ( 2a\uf073 \u2260 2b\uf073 )
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 22/ 21 a ba ab b a b
ssIC x x t
n n\uf061\uf061
\uf06d \uf06d
\uf02d
\uf02d \uf03d \uf02d \uf0b1 \uf02b ,
onde 
2
\uf061t possui \uf06a graus de liberdade. Ou seja 
22
22 22
.
1 1
a b
a b
ba
a b
a b
ss
n n
g l
ss
nn
n n
\uf06a
\uf0e6 \uf0f6
\uf0e7 \uf0f7\uf0e7 \uf0f7\uf0e8 \uf0f8
\uf0e6 \uf0f6\uf0e6 \uf0f6 \uf0e7 \uf0f7\uf0e7 \uf0f7\uf0e7 \uf0f7 \uf0e7 \uf0f7\uf0e8 \uf0f8 \uf0e8 \uf0f8
\uf02b
\uf03d
\uf02b\uf02d \uf02d
\uf020
\uf020
b) Sabe-se que as \uf073\uf032\u2019s iguais ( 2a\uf073 = 2b\uf073 )
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 / 21 1 1a b a pb
a b
IC x x t s
n n\uf061\uf061
\uf06d \uf06d \uf02d \uf03d \uf0b1\uf02d \uf02d \uf02b
onde 
2
\uf061t possui \uf020\uf06a = (na + nb - 2) graus de liberdade e 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf0292 21 1
2
a a b b
p
a b
n s n s
s
n n
\uf02d \uf02b \uf02d
\uf03d \uf02b \uf02d
2.7.Intervalo de confiança para proporção
Seja X o número de elementos de uma amostra de tamanho n que apresentam a característica de 
interesse. Queremos estabelecer um intervalo de confiança para a proporção populacional p. Temos:
\u2c6
X
p
n
\uf03d
Observe que: \u2c6( )E p p\uf03d e \uf028 \uf029\u2c6 pqVar p
n
\uf03d e \uf028 \uf029\u2c6 pqEP p
n
\uf03d
a) Quando n for suficientemente grande ( n \u2265 30), do TCL, teremos
z = \uf028 \uf029\u2c6 \u2c6 0,1
\u2c6( ) \u2c6 \u2c6
p p p p
N
EP p pq
n
\uf02d \uf02d\uf03d \ufffd .
Então \uf028 \uf029
22
1P z z z
\uf061\uf061 \uf061\uf02d \uf0a3 \uf0a3 \uf03d \uf02d . Logo, \uf028 \uf029
22
_________ 1P z z
\uf061\uf061 \uf061\uf02d \uf0a3 \uf0a3 \uf03d \uf02d
Desenvolvendo teremos:
Curso de Estatística \u2013 Professora Aurélia 8
2 2
\u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6
\u2c6 \u2c6 1
pq pq
P p z p z
n n\uf061 \uf061
\uf06d \uf061\uf0e6 \uf0f6\uf02d \uf0a3 \uf0a3 \uf02b \uf03d \uf02d\uf0e7 \uf0f7\uf0e7 \uf0f7\uf0e8 \uf0f8
 .
Portanto, \uf028 \uf0291 / 2\u2c6
\u2c6 \u2c6
IC p p z
pq
n\uf061 \uf061\uf02d
\uf03d \uf0b1 onde \u2c6 \u2c61q p\uf03d \uf02d
Logo, podemos dizer que 
2 2
\u2c6 \u2c6 \u2c6 \u2c6
\u2c6 \u2c6;
pq pq
p z p z
n n\uf061 \uf061
\uf06d \uf0e9 \uf0f9\uf0ce \uf02d \uf02b\uf0ea \uf0fa
\uf0eb \uf0fb
com \uf028 \uf0291 \uf061\uf02d 100% de confiança.
b) Se n < 30: 
\uf028 \uf029 / 21 \u2c6
\u2c6 \u2c6
IC p p t
pq
n\uf061\uf061\uf02d
\uf03d \uf0b1 onde \uf06a = (n \u2013 1) g. l. e \u2c6 \u2c61q p\uf03d \uf02d
Exemplo 7 : Dois candidatos disputam as eleições para prefeito em um cidade. 98 eleitores foram 
entrevistados e 53 deles pretendem votar no candidato A.
a) construir um intervalo de confiança de 95% de confiança para a proporção populacional p de 
eleitores que pretendem votar no candidato A
b) construir um intervalo de confiança de 99% de confiança para a proporção populacional p de 
eleitores que pretendem votar no candidato A
2.8. Intervalo de confiança para variância
Sabe-se que a estatística 
\uf028 \uf029
2
1
\uf073
ssn \uf02d
~ 2 1\uf02dn\uf063 (essa estatística tem distribuição qui-quadrado, com n
\u2013 1 graus de liberdade). 
Veja a forma da distribuição qui-quadrado a seguir:
Se 2
2
\uf061\uf063 e 21
2
\uf061\uf063 \uf02d são valores da distribuição qui-quadrado que deixam áreas (1- 2\uf061 ) e 2\uf061
respectivamente à esquerda, temos:
2 2
1 2 2
__________P \uf061 \uf061\uf063 \uf063\uf02d\uf0e9 \uf0f9\uf03c \uf03c\uf0ea \uf0fa\uf0eb \uf0fb = 1 \u2013 \uf061 
Invertendo a equação teremos : 
2
22 2
1 22
1 1
( 1)
P
n s \uf061\uf061
\uf073
\uf063\uf063 \uf02d
\uf0e9 \uf0f9
\uf0ea \uf0fa\uf03c \uf03c \uf03d\uf0ea \uf0fa\uf02d\uf0eb \uf0fb
1 \u2013 \uf061 
Curso de Estatística \u2013 Professora Aurélia 9
Logo: 
2 2
2
2 2
12 2
( 1) ( 1)n s n s
P
\uf061 \uf061
\uf073\uf063 \uf063 \uf02d
\uf0e9 \uf0f9\uf02d \uf02d\uf0ea \uf0fa\uf03c \uf03c \uf03d\uf0ea \uf0fa\uf0eb \uf0fb
1 \u2013 \uf061 
Logo, podemos dizer que 
2 2
2
2 2
12 2
( 1) ( 1)
;
n s n s
\uf061 \uf061
\uf073 \uf063 \uf063 \uf02d
\uf0e9 \uf0f9\uf02d \uf02d\uf0ea \uf0fa\uf0ce \uf03d\uf0ea \uf0fa\uf0eb \uf0fb
1 \u2013 \uf061 com \uf028 \uf0291 \uf061\uf02d 100% de confiança.
onde s2 é a variância de uma amostra de tamanho n e os valores 2
2
\uf061\uf063 e 21
2
\uf061\uf063 \uf02d , são obtidos de uma 
tabela de distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.
Resumindo : \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf0292 1
2 2
2 2
1
2 2
1 1
;IC
n s n s
\uf061
\uf061 \uf061
\uf073 \uf063 \uf063\uf02d
\uf02d
\uf03d
\uf0e9 \uf0f9
\uf02d \uf02d\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa\uf0eb \uf0fb
e \uf06a = (n \u2013 1) g. l. 
Exemplo 8: Têm-se os seguintes pesos, em gramas, de 10 pacotes postais, remetidos por certa 
empresa: 
46,4 46,1 45,8 47,0 46,1 45,9 45,8 46,9 45,2 46,0
e X = 46,12 ( média amostral) , s2 = 0,286 ( variância amostral) e s = 0,535 (desvio padrão 
amostral). Admitindo normal a distribuição dos pesos, determinar um intervalo de 95% de 
confiança para a variância de todos os pacotes (população) expedidos pela empresa.
2.9.Cálculo do tamanho da amostra
Podemos calcular o tamanho da amostra necessário para fazermos inferência.
a) Seja o caso da média. Se estamos dispostos a aceitar um erro máximo de tamanho e, com 
probabilidade 1 \u2013 \uf061 , o intervalo de confiança de nível 100(1- \uf061)% será
[ X \u2013 e ; X + e]
Da expressão do intervalo de confiança, temos:
2 2
;X z X z
n n
\uf061 \uf061
\uf073 \uf073\uf0e9 \uf0f9\uf02d \uf02b\uf0ea \uf0fa\uf0eb \uf0fb
Logo X + e =
2
X z
n
\uf061
\uf073\uf02b . Então, o erro é :
2
z
n
\uf061
\uf073 \u2264 e. 
Portanto, o tamanho da amostra é: n \u2265 
2
2
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
e
\uf073\uf061z
Exemplo 9: Em um estudo para a determinação do perfil dos veteranos de um colégio, a 
característica de maior interesse tem desvio padrão 0,3. 
Qual deve ser o tamanho da amostra para que tenhamos 95% de confiança em que o erro da 
estimativa de \uf06d correspondente não supere 0,05?
Curso de Estatística \u2013 Professora Aurélia 10
b) Seja o caso da proporção. Se estamos dispostos a aceitar um erro máximo de tamanho e, com 
probabilidade 1 \u2013 \uf061 , o intervalo de confiança de nível 100(1- \uf061)% será
[ p\u2c6 \u2013 e ; p\u2c6 + e]
Da equação do intervalo de confiança, temos:
\uf028 \uf0291 / 2\u2c6
\u2c6 \u2c6
IC p p z
pq
n\uf061 \uf061\uf02d
\uf03d \uf0b1 onde \u2c6 \u2c61q p\uf03d \uf02d
Então, o erro é: 
2
\u2c6 \u2c6pq
z
n\uf061
\u2264 e. Portanto, o tamanho da amostra é: n \u2265 qp
e
z
\u2c6\u2c6
2
2
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9 \uf061
Exemplo 10 : Suponha que, em uma amostra de 500 famílias que possuem aparelho de televisão 
em certa cidade, haja 340 com televisor LCD. Se quisermos estimar o número de famílias que 
possuem televisor LCD, qual o tamanho da amostra necessário para que tenhamos 95% de 
confiança em que o erro de nossa estimativa não seja superior a 0,02?