Introdução em Limites e Continuidade

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FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE 
 
 CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 ASSUNTO: LIMITE E CONTINUIDADE CÁLCULO I 
 
 PROFESSOR: MARCOS AGUIAR 
 
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE LIMITE 
 
 
1. CONTINUIDADE 
 
Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p do seu domínio é uma função 
cujo gráfico não apresenta “ salto “ em p. 
 
Observe na figura (i) a função é contínua pois não apresenta salto em p, enquanto 
no figura (ii) não é contínua pois apresenta salto em p 
 
 
 fig. (i) fig. (ii) 
 
Exemplo 1: Consideremos as funções 
 e f g dadas por 
 
( )f x x= e ( ) 1 se 1
2 se 1
x
g x
x
≤
= 
>
 
 
 
 
Vemos intuitivamente, que f é contínua em todo p de seu domínio. Por sua vez, g 
não é contínua em 1p = , mas é contínua em todo 1p ≠ . 
 
 2 
2. LIMITE 
 
Intuitivamente, dizer que o limite de ( )f x , quando x tende a p, é igual a L que, 
simbolicamente, se escreve ( )lim
x p
f x L
→
= , significa que quando x tende a p, ( )f x 
tende a L. 
 
 
 
Exemplo 2: Consideremos a função ( ) 3 22
3 6
x xf x
x
−
=
−
 
 
Substituindo os valores de x indicados na tabela abaixo, observamos intuitivamente que os 
valores de ( )f x se aproximam de 2 tanto pela direita como pela esquerda, porém não é 2, 
então dizemos que quando x tende a 2 ( )f x tende a 4
3
 , onde usamos a notação 
( )
2
4lim
3x
f x
→
= , generalizando ( )lim
x a
f x L
→
= 
 
Calculando o limite: 
 
( ) 3 22 0
3 6 0
x xf x
x
−
= =
−
 levantando a indeterminação temos: 
 
( )
( )
23 2 3 2 2
2 2 2 2
22 2 4lim lim lim lim
3 6 3 6 3 2 3 3x x x x
x xx x x x x
x x x→ → → →
−
− −
= = = =
− − −
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
Exemplo 3: Utilizando a idéia intuitiva de limite, calcule 
2
1
1lim
1x
x
x→
−
−
 
 
Solução: Seja ( )
2 1
, x 1
1
xf x
x
−
= ≠
−
; f não está definida em 1x = 
 
Para 1x ≠ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intuitivamente, é razoável esperar que se f estiver definida em p, então, 
( ) ( )lim
x p
f x f p
→
= , e reciprocamente. Veremos que isto realmente acontece, isto é, se 
f estiver definida em p. 
 
 
( ) ( ) é contínua em lim
x p
f p f x f p
→
⇔ = 
 
 
 
x 
 
 
( )f x 
 
x 
 
( )f x 
 
1,9 
1,99 
1,999 
1,9999 
1,99999 
1,999999 
 
1,20333333 
1,32003333 
1,33200033 
1,33320000 
2,33332000 
1.33333200 
 
2,1 
2,01 
2,001 
2,0001 
2,00001 
2,000001 
 
 
1,47000000 
1,34670000 
1,33466700 
1,33346667 
1,33334667 
1,33333467 
( )
2 1 1.
1
xf x x
x
−
= = +
−
( )
2
1 1
1lim lim 1 2
1x x
x
x
x→ →
−
= + =
−
 4 
Veremos, ainda, que se ( )lim
x p
f x L
→
= se f não for contínua em p, então L será 
aquele valor que f deveria ter em p para ser contínua neste ponto. 
 
 
 
f não está definida em p ( )lim
x p
f x L
→
= . 
L é valor que f deveria ter em p para ser contínua em 
p 
 
Exercícios: 
 
 
I. Utilizando a idéia intuitiva de limite, calcule 
 
a) ( )
0
lim 3 1
x
x
→
+ b) 
2
2
lim
3x
x x
x→
+
+
 
c) 
2
2
4lim
2x
x
x→
−
−
 d) 
2
0
lim
x
x x
x→
+
 e) 
1
1lim
1x
x
x→
−
−
 f) 
2
2
4 4lim
2x
x x
x→
− +
−
 
g) 
2
1
1lim
1x
x
x→−
−
+
 
 
 
3. DEFINIÇÃO DE LIMITE 
 
Consideremos as situações a seguir: 
 
 
 5 
Na situação (a), f não está definida em p, mas existe L que satisfaz a propriedade 
 
 
 
(i) 
 
Na situação (b), f está definida em p, mas não é continua em p, entretanto existe L 
satisfazendo (i): observe que neste caso a restrição x p≠ é essencial. Na situação (c), f é 
contínua em p, assim ( )L f p= satisfaz (i). Na situação (d), não existe L satisfazendo (i) 
em p. 
A propriedade (i) é equivalente a 
 
 
Para todo 0ε > dado, existe 0δ > tal que, para todo fx D∈ , 
( )0 x p f x Lδ ε< − < ⇒ − < 
 
 
 
Definição. Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um 
dos intervalos que compõem o domínio de f . Dizemos que f tem limite L, em p, se, para 
todo 0ε > dado, existe um 0δ > tal que, para todo 
,fx D∈ 
 
( )0 x p f x Lδ ε< − < ⇒ − < . 
Tal número L, quando existe é único, será indicado por ( )lim
x p
f x
→
. 
 
Assim 
 
( ) ( )
0, 0 tal que, para todo 
lim
0
f
x p
x D
f x L
x p f x L
ε δ
δ ε→
∀ > ∃ > ∈
= ⇔ 
< − < ⇒ − <
 
 
 
4. PROPRIEDADES DO LIMITE 
 
 
(i) lim
x a
c c
→
= o limite de uma constante é a própria constante 
(ii) lim
x a
x a
→
= 
Se ( ) ( )lim e lim
x a x a
f x g x
→ →
 existem ambos, então 
 
 
Para todo 0∈> dado, existe 0δ > tal que, para todo fx D∈ , 
( ),p x p x p L f x Lδ δ ε ε− < < + ≠ ⇒ − < < + 
 
 6 
a) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
 + = +  
b) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
 ⋅ = ⋅  
c) ( )( )
( )
( ) ( )
lim
lim , desde que lim 0
lim
x a
x a x a
x a
f xf x
g x
g x g x
→
→ →
→
 
= ≠ 
  
 
d) ( ) ( )lim lim
x a x a
cf x c f x
→ →
  =  
e) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
 − = −  
f) lim n n
x a
x a
→
= para 0a > e n inteiro positivo; ou se 0a ≤ e n é um inteiro positivo 
impar 
g) Se m e n são inteiros positivo, ou se 0a ≤ e n é um inteiro positivo impar, então 
 ( ) ( ) ( )lim lim mm mn n n
x a x a
x x a
→ →
= = 
h) ( )( ) ( )lim limn n
x a x a
f x f x
→ →
= n inteiro positivo impar ou n inteiro positivo par e 
( )lim 0
x a
f x
→
> 
 
5. TEOREMA DO SANDUÍCHE 
 
 
Suponhamos ( ) ( ) ( )f x h x g x≤ ≤ para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto 
possivelmente para o próprio a 
 
Se ( ) ( )lim lim ,
x a x a
f x L g x
→ →
= = então ( )lim
x a
h x L
→
= 
 
Exemplo: Use o teorema para provar que 2 20
1lim 0
x
x sen
x→
= 
 
Como ( )1 1sen t− ≤ ≤ para todo t, logo, 
 
2
11 1sen
x
 
− ≤ ≤ 
 
 para todo 0x ≠ . Multiplicando por 2x ( que é positivo se 0x ≠ ), 
obtemos: 2 2 22
1
x x sen x
x
 
− ≤ ≤ 
 
 , como ( ) ( )2 2
0 0
lim 0 e lim 0,
x x
x x
→ →
− = = concluímos 
que 2 20
1lim 0
x
x sen
x→
= 
 
Exercícios. Lista 
 
 
 
 7 
5. LIMITES LATERAIS 
 
 
Seja f uma função. P um número real e suponhamos que exista b tal que ( ), fb p D⊂ 
definimos: 
 
( ) ( )
0, 0 tal que
lim
px p
f x L
x p f x L
ε δ
δ ε+→
∀ > ∃ >
= ⇔ 
< < + ⇒ − <
 
O número L, quando existe, denomina-se limite lateral à direita de 
 em pf 
 
 
 
Suponhamos agora que exista um real a tal que ( ), fa p D⊂ definimos: 
 
( ) ( )
0, 0 tal que
lim
px p
f x L
p x f x L
ε δ
δ ε−→
∀ > ∃ >
= ⇔ 
− < < ⇒ − <
 
 
O número L, quando existe, denomina-se limite lateral à esquerda de 
 em pf 
 
 
 
Exemplo 1. Calcule ( ) ( ) ( )
2
1 1
` se 1lim e lim sendo f
2 se 1x x
x xf x f x x
x x+ −→ →
 <
= 
>
 
 
Solução: ( ) ( ) 2
1 11 1
lim lim 2 2 e lim lim 1
x xx x
f x x f x x
+ −→ →→ →
= = = = 
 
Exemplo 2. Calcule 
0 0
lim e lim .
x x
x x
x x+ −→ →
 
 8 
Solução: 
 1 se 0
1 se 0
xx
xx
>
= 
− <
 
 
0 00 0
lim = lim1=1 e lim lim 1 1
x xx x
x x
x x+ −→ →→ →
= − = − 
 
Teorema. Sejam f uma função, p um número real e suponhamos que existam a e b 
tais que ( ) ( ), e ,a p p b estejam contidos em fD . Então, 
 
( ) ( ) ( )
 admite limites laterais à direita e à esquerda em p
lim
e lim limx p
x p x p
f
f x L f x f x L
+ −
→
→ →

= ⇔ 
= =

 
 
Exercícios. 
 
I. Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. 
 
 
 
II. Calcule 
 
 
 9 
III. Calcule 
 
 
 
 
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: 
 
 SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. v. 1.São Paulo: Makron Books 
do 
 Brasil, 1994. 
 ANTON HOWARD. Cálculo um novo horizonte volume I 6ª ed.- Porto Alegre Bookman 
2000 
GUIDORIZZI, HAMILTON LUIZ. Um curso de Cálculo.V. 1 5ª ed. Rio de Janeiro. LTC. 
Editora – 2003.