A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
20 pág.
APOSTILA_COMPLETA_matematica basica

Pré-visualização | Página 2 de 3

nem uma fórmula para solucionar um 
problema, é possível, no entanto, adotar certos procedimentos pode facilitar a resolução 
dos problemas: 
• Na leitura compreensiva do problema, verificar quem é a incógnita de maneira a 
atribuir à mesma um símbolo(digamos x). 
• Equacionar o problema de acordo aos dados do mesmo. 
• Proceder a uma interpretação da solução no correspondente problema. 
 Existem problemas físicos ou matemáticos que envolvem duas ou mais 
equações, cada uma delas com uma, duas ou mais variáveis. Ao conjunto formado por 
essas equações chamamos de sistema de equações. Resolver um sistema de equações do 
1º grau com duas variáveis consiste em encontrar dois valores que verifiquem 
simultaneamente as equações do sistema. 
Aula 06: Equação do 2° Grau 
Definição: 
 Denomina-se equação do 2° grau a toda sentença aberta, em x redutível a 
, com 
Exemplo: 
x
2 
- 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 
Resolução do caso geral: Fórmula de Báskara 
As raízes de uma equação do 2° grau são dadas da seguinte forma: 
 
Onde a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau indicada acima e 
 
Se , as duas raízes são reais e diferentes. 
Se , as duas raízes são reais e iguais (Raiz dupla). 
Se , não há raízes reais. 
Exemplo: resolução da equação: 
 
 
 
 
Portanto: e 
 
 
Aula 07: Funções Polinomiais 
Definição: 
 Uma função pode ser expressa por meio de uma tabela, um gráfico ou uma 
fórmula matemática (lei de formação) e função polinomial é aquela cuja fórmula 
matemática é expressa por um polinômio. O grau de uma função é dado conforme o 
grau do polinômio que compõe a fórmula matemática. 
Exemplo: , esta é uma função de grau 5. 
Função Polinomial de 1º Grau: 
 Define-se uma função polinomial de primeiro grau a toda função definida como 
, tal que com . 
 O conjunto de pares ordenados formados numa função de primeiro grau 
organiza-se em forma de uma reta quando representados no plano cartesiano. Na função 
 , com (a ≠ 0), ‘a’ é conhecido como coeficiente angular da reta e o valor 
de ‘b’ é conhecido como coeficiente linear da reta. 
 Na representação gráfica, o coeficiente linear indica o ponto onde a reta 
intercepta o eixo das ordenadas(eixo y), já o coeficiente angular representa a 
declividade da reta. A raiz da função , indica o ponto que a reta 
intercepta o eixo das abscissas. 
• Se a > 0 então a função é estritamente crescente; 
• Se a < 0 então a função é estritamente decrescente; 
• Se a = 0 então a função é definida como função constante. 
Função Constante: 
 Defini-se função constante por: dado um número k, 
 
 
Ou seja, o valor da imagem será sempre o mesmo, independente do valor do “x”. O 
gráfico de uma função constante é uma reta paralelo ao eixo x. 
Função Polinomial de 2º Grau: 
 Defini-se como função polinomial de segundo grau, a função tal que 
 , com . 
 Graficamente a função polinomial de segundo grau é representada por uma 
parábola, na qual o valor de ‘c’ indica o ponto em que a parábola intercepta o eixo das 
ordenadas. As raízes ou zeros da função indicam os pontos em que a parábola 
intercepta o das abscissas. 
 Se a > 0, então a concavidade da parábola está voltada para cima, se a < 0, então 
a concavidade da parábola está voltada para baixo. De acordo com os valores de a e de 
 temos as seguintes situações: 
 
Vértice da Parábola: 
 O vértice da parábola é o ponto de coordenadas: . Se a > 0, então o 
vértice é o ponto máximo da mesma, se a < 0, então o vértice da parábola é o ponto de 
mínimo da mesma. 
 
 
Aula 08: Logarítmos 
Definição: 
 sendo: 
N = Antilogarítmo ou logarítmando 
 = base 
 = logaritmo 
Condição de existência: 
 
Conseqüências: 
• 
• 
• 
• 
• 
 
Propriedades: 
 Sendo A > 0, B > 0 e 1 e m IR 
 
 
 
 
Mudança de Base: 
 Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases 
diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma 
base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma 
única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a 
mudança de uma base a para uma outra base b usa-se: 
 
 
 
Aula 09: Trigonometria 
 Deduzindo da própria palavra, trigonometria é a parte da geometria que 
estabelece relações métricas e angulares entre elementos de triângulo qualquer. 
Triângulos: 
 Dados 3 pontos A, B, C, não colineares, isto é, não alinhados, chama-se 
triângulo a região do plano limitada pelos segmentos AB, AC e BC, denominados lados, 
sendo A, B e C os seus vértices. 
 Teorema Angular de Tales: 
 A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. 
 
Teorema – Ângulo Externo: 
 Em todo triângulo, um ângulo externo, é igual à soma dos ângulos internos não 
adjacentes, ou seja: 
 
ºd = ºa+ºc 
Propriedade: 
 Se um triângulo possui dois lados medindo “a” e “b”, o terceiro lado “c” estará 
sempre compreendido entre |a-b| e (a+b), ou seja: |a-b| < c < (a+b) 
Classificação dos Triângulos: 
• Quanto aos Lados: 
Escaleno: Os três lados possuem medidas diferentes. 
Isósceles: Ao menos dois lados possuem medidas iguais. 
Eqüilátero: Os três lados possuem medidas iguais. 
• Quanto aos Ângulos: 
Acutângulo: Quando os três ângulos internos são agudos. 
Retângulo: Quando um dos ângulos internos é reto. 
Obtusângulo: Quando um dos ângulos internos é obtuso. 
 
Segmentos Notáveis de um triângulo: 
Mediana: é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. O ponto de 
interseção das 3 medianas de um triângulo denomina-se BARICENTRO do triângulo. 
Altura: é o segmento que une um vértice ao lado oposto(ou ao prolongamento deste), 
sendo perpendicular a esse lado. As 3 alturas de um triângulo passam por um mesmo 
ponto, chamado ORTOCENTRO do triângulo. 
Bissetriz interna: é o segmento que divide cada ângulo interno do triângulo, em 2 
ângulos iguais. As 3 bissetrizes internas de um triângulo passam por um ponto chamado 
INCENTRO do triangulo. O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo, 
isto é, da circunferência que tangencia os 3 lados do triângulo. 
Mediatriz: é a reta perpendicular ao lado, passando pelo ponto médio do mesmo. As 3 
mediatrizes de qualquer triângulo passam por um mesmo ponto, chamado 
CIRCUNCENTRO, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é, 
da circunferência que passa pelos 3 vértices do triângulo. 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo: 
 Triângulo retângulo é todo polígono de 3 lados que contém um ângulo interno 
reto, ou seja, 90º graus. 
 Num triângulo retângulo, o maior lado é denominado hipotenusa, e os outros 
dois lados, adjacentes ao ângulo reto, são denominados catetos. 
 
 A relação métrica do triângulo retângulo mais utilizada e conhecida é o teorema 
de Pitágoras que diz: “Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da 
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.” 
Hip² = cat² + cat² 
Existem ainda outras relações métricas do triângulo retângulo: 
 
Onde: 
h – altura do triângulo retângulo relativa ao ângulo reto 
n – projeção do cateto (b) sobre a hipotenusa (a) 
m - projeção do cateto (c) sobre a hipotenusa (a) 
Por semelhança de triângulos , obtemos as relações: 
� + � = � 
 
 
 Considerando um triângulo retângulo com a sua hipotenusa e seus dois 
catetos(adjacentes e opostos ao ângulo agudo α). Chega-se as seguintes expressões: 
 
Uma relação importante pode ser obtida pelo Teorema de Pitágoras: 
(cateto oposto)² + (cateto adjacente)² = (hipotenusa)² 
Dividindo toda a expressão acima por (hipotenusa)² e relacionando com as razões 
trigonométricas temos que: 
 
Essa relação também é conhecida como relação fundamental da trigonometria. 
 
Aula 10: Matrizes e Determinantes 
Matrizes 
 Sejam m e n dois números naturais não nulos. Denomina-se matriz de ordem m 
x n, como uma tabela retangular