APOSTILA_COMPLETA_matematica basica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
CAMPUS DE JOINVILLE 
CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Joinville 2011.1 
PET EMB 
 
Amauri da Silva Júnior 
Antônio Albino de Magalhães Neto 
Daniel Rossi Korol 
Diego Bonkowski de La Sierra Audiffred 
Evandro Machado 
Felipe Marin 
Geovana Girardelo Folle 
Gustavo Scheid Prass 
Hugo Borges de Quadros 
Keith Dillian Schneider 
Lucas Arrigoni Iervolino 
Rodrigo Antonio Sebben 
Thiago Francisco F. Vaz 
 
 
 
 
Apostila Desenvolvida pelo grupo PET EMB do 
curso Engenharia da Mobilidade do Centro de 
Engenharia da Mobilidade da Universidade Federal 
de Santa Catarina – Campus de Joinville. 
 
 
 
Joinville 
2011.1 
Apostila de Matemática Básica 
 
Criação: Antônio Albino de Magalhães Neto, Evandro Machado e Lucas Arrigoni 
Iervolino. 
Desenvolvimento e Planejamento: Evandro Machado. 
Revisão: Professor Alexandre Mikowski e Professora Susie Cristine Keller. 
Realização: PET EMB 
Apoio: UFSC Joinville e Biblioteca Setorial de Joinville 
Referências: 
EXATHUM. Apostila Semi Extensivo. 2009. Luiz Carlos Fuckner. Semi-Extensivo 01. Coleção 
Exathum – Março 2009. 
 
SÓ Matemática. Página desenvolvida por Grupo Virtuous. Atualmente é o maior e mais 
acessado site de matemática da Web, tornou-se referência no ensino de matemática na 
Internet. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/>. Acesso em: 2 mar. 2011. 
 
WIKIPÉDIA: a enciclopédia livre. Este site utiliza a ferramenta Wiki, que permite a qualquer 
pessoa, editar os artigos. Disponível em: 
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:P%C3%A1gina_principal>. Acesso em: 2 mar. 
2011. 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA (PUC). Departamento de Matemática e Estatística. 
Belo Horizonte, MG. Disponível em: <http://www.matematica.pucminas.br/>. Acesso em: 2 mar. 
2011. 
 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR, José Ruy. Matemática 
Fundamental: ensino médio. Local:São Paulo. Editora: FTD, 2002. 
 
 
Site PET EMB: http://www.petemb.ufsc.br 
Site UFSC Joinville: http://www.joinville.ufsc.br 
Site Biblioteca Joinville: http://www.bsjoi.ufsc.br 
 
SUMÁRIO 
 
 
Aula 01: Introdução à geometria plana – Ângulos..........................................................05 
Aula 02: Potenciação.......................................................................................................06 
Aula 03: Radiciação.........................................................................................................07 
Aula 04: Fatoração...........................................................................................................08 
Aula 05: Equação do 1º grau...........................................................................................09 
Aula 06: Equação do 2ºgrau............................................................................................10 
Aula 07: Funções Polinomiais.........................................................................................11 
Aula 08: Logaritmos........................................................................................................12 
Aula 09: Trigonometria...................................................................................................13 
Aula 10: Matrizes, determinantes e sistemas..................................................................16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 01: Introdução à geometria plana – Ângulos 
Introdução: 
 No estudo da Geometria Plana, consideraremos três conceitos primitivos: O 
ponto, a reta e o plano. Os mesmos são os pilares da construção da Geometria. 
Postulados da Geometria: 
• A reta tem infinitos pontos; 
• Dois pontos distintos determinam uma única reta; 
• Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela a essa reta. 
(Postulado das retas paralelas ou Postulado de Euclides.). 
Segmento de Reta: 
 Se numa reta r considerarmos dois pontos distintos A e B, podemos definir o 
segmento de reta AB, como sendo o conjunto dos pontos da reta r, situados entre A e B, 
incluindo-se estes, sendo A e B chamados extremos do segmento AB. 
Ângulos: 
 Chama-se ângulo, a figura plana limitada por duas semi-retas de mesma origem. 
Na figura abaixo, podemos observar que as semi-retas e determinam dois 
ângulos: um de abertura “a” (ângulo convexo) e outro de abertura “b” (ângulo côncavo). 
O ângulo convexo é indicado por BÔA e “a” é a medida deste ângulo. 
 
Medidas de Ângulos: 
 A principal unidade de medida de ângulos é o grau (símbolo: °). Um ângulo 
raso, aquele formado por duas semi retas opostas, mede 180°. 
 A metade de ângulo raso é denominado ângulo reto, e sua medida é 90°. O 
ângulo em volta de uma volta completa, corresponde a dois ângulos ângulos rasos e 
portanto sua medida é 360°. 
Definições: 
• Ângulo agudo: é aquele cuja medida situa-se entre 0° e 90º. 
• Ângulo obtuso: é aquele cuja medida situa-se entre 90° e 180°. 
• Ângulos complementares: são aqueles cujas medidas somam 90º. 
• Ângulos suplementares: são aqueles cujas medidas somam 180°. 
• Ângulos congruentes: são aqueles que possuem medidas iguais. 
• Ângulos opostos pelo vértice: como o próprio nome indica, são aqueles cujos 
lados de um são os prolongamentos dos lados do outro. Vale aqui, a seguinte 
proposição: 
“Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma 
medida.” 
• Bissetriz de um ângulo: é a semi reta única que partindo do vértice, determina 
dois ângulos congruentes(ou seja, de mesma medida). 
• Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em 
comum. 
• Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam entre si um ângulo 
reto. 
• Retas paralelas: duas retas “r” e “s” são paralelas quando estando contidas num 
mesmo plano(coplanares) não possuem ponto em comum. (representação: r // s) 
 
Aula 02: Potenciação 
A potenciação “é uma multiplicação de fatores iguais”. 
Ou seja: . A multiplicado n vezes. 
Exemplos: 
 
 
 
Particularidades, conseqüências da definição: 
 
 
Propriedades: 
 
 
 
 
 
Observação importante: 
 
Potência de Base 10: 
 Muitos problemas de Física e/ou Química usam o artifício das potências de 10 
para suas resoluções sejam elas macroscópicas(grandes dimensões) ou 
microscópicas(pequenas dimensões). 
 . O expoente indica o número de zeros. 
 . O expoente indica o total de casas decimais. 
 
Aula 03: Radiciação 
Definição: 
 O número “y” é raiz enésima de “a” se, e somente se, elevado ao expoente 
 reproduzir o número “a”. 
Simbolicamente temos: = y , sendo: 
 : símbolo da radiciação(radical) 
a: radicando 
n: índice da raíz(n 
y: raiz 
Propriedades: 
 Sendo temos: 
. = 
 = , com b 
 = 
 = 
 = 
Importante: 
 = 
Racionalização: 
 É o processo mediante o qual, dada uma função com radical no denominador, 
encontramos uma fração equivalente(com mesmo valor), porém sem o radical no 
denominador. 
1º caso: Denominador contendo termo do tipo : 
 
2º caso: Denominador do tipo , com n>2 e m<n: 
 
3º caso: Denominador do tipo + ): 
 
 
Aula 04: Fatoração 
 Fatorar é transformar uma soma em um produto. 
Fator Comum: 
 
Agrupamentos: 
 
 
Produtos Notáveis: 
Quadrado Perfeito: 
 
 
Diferença de dois quadrados: 
 
Cubo Perfeito: 
 
Soma e Diferença de dois cubos: 
 
 
Aula 05: Equação do 1º grau 
Definição: 
 Define-se como equação do 1º grau toda sentença aberta, redutível e equivalente 
a com a 
Possíveis Resoluções: 
Para 
Para 
Para 
Resolução de Problemas: 
 Resolver problemas práticos usando matemática simbólica(álgebra) possui uma 
única dificuldade: o equacionamento do problema dado mediante símbolos e operações 
elementares. 
 Não existe um método específiconem uma fórmula para solucionar um 
problema, é possível, no entanto, adotar certos procedimentos pode facilitar a resolução 
dos problemas: 
• Na leitura compreensiva do problema, verificar quem é a incógnita de maneira a 
atribuir à mesma um símbolo(digamos x). 
• Equacionar o problema de acordo aos dados do mesmo. 
• Proceder a uma interpretação da solução no correspondente problema. 
 Existem problemas físicos ou matemáticos que envolvem duas ou mais 
equações, cada uma delas com uma, duas ou mais variáveis. Ao conjunto formado por 
essas equações chamamos de sistema de equações. Resolver um sistema de equações do 
1º grau com duas variáveis consiste em encontrar dois valores que verifiquem 
simultaneamente as equações do sistema. 
Aula 06: Equação do 2° Grau 
Definição: 
 Denomina-se equação do 2° grau a toda sentença aberta, em x redutível a 
, com 
Exemplo: 
x
2 
- 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 
Resolução do caso geral: Fórmula de Báskara 
As raízes de uma equação do 2° grau são dadas da seguinte forma: 
 
Onde a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau indicada acima e 
 
Se , as duas raízes são reais e diferentes. 
Se , as duas raízes são reais e iguais (Raiz dupla). 
Se , não há raízes reais. 
Exemplo: resolução da equação: 
 
 
 
 
Portanto: e 
 
 
Aula 07: Funções Polinomiais 
Definição: 
 Uma função pode ser expressa por meio de uma tabela, um gráfico ou uma 
fórmula matemática (lei de formação) e função polinomial é aquela cuja fórmula 
matemática é expressa por um polinômio. O grau de uma função é dado conforme o 
grau do polinômio que compõe a fórmula matemática. 
Exemplo: , esta é uma função de grau 5. 
Função Polinomial de 1º Grau: 
 Define-se uma função polinomial de primeiro grau a toda função definida como 
, tal que com . 
 O conjunto de pares ordenados formados numa função de primeiro grau 
organiza-se em forma de uma reta quando representados no plano cartesiano. Na função 
 , com (a ≠ 0), ‘a’ é conhecido como coeficiente angular da reta e o valor 
de ‘b’ é conhecido como coeficiente linear da reta. 
 Na representação gráfica, o coeficiente linear indica o ponto onde a reta 
intercepta o eixo das ordenadas(eixo y), já o coeficiente angular representa a 
declividade da reta. A raiz da função , indica o ponto que a reta 
intercepta o eixo das abscissas. 
• Se a > 0 então a função é estritamente crescente; 
• Se a < 0 então a função é estritamente decrescente; 
• Se a = 0 então a função é definida como função constante. 
Função Constante: 
 Defini-se função constante por: dado um número k, 
 
 
Ou seja, o valor da imagem será sempre o mesmo, independente do valor do “x”. O 
gráfico de uma função constante é uma reta paralelo ao eixo x. 
Função Polinomial de 2º Grau: 
 Defini-se como função polinomial de segundo grau, a função tal que 
 , com . 
 Graficamente a função polinomial de segundo grau é representada por uma 
parábola, na qual o valor de ‘c’ indica o ponto em que a parábola intercepta o eixo das 
ordenadas. As raízes ou zeros da função indicam os pontos em que a parábola 
intercepta o das abscissas. 
 Se a > 0, então a concavidade da parábola está voltada para cima, se a < 0, então 
a concavidade da parábola está voltada para baixo. De acordo com os valores de a e de 
 temos as seguintes situações: 
 
Vértice da Parábola: 
 O vértice da parábola é o ponto de coordenadas: . Se a > 0, então o 
vértice é o ponto máximo da mesma, se a < 0, então o vértice da parábola é o ponto de 
mínimo da mesma. 
 
 
Aula 08: Logarítmos 
Definição: 
 sendo: 
N = Antilogarítmo ou logarítmando 
 = base 
 = logaritmo 
Condição de existência: 
 
Conseqüências: 
• 
• 
• 
• 
• 
 
Propriedades: 
 Sendo A > 0, B > 0 e 1 e m IR 
 
 
 
 
Mudança de Base: 
 Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases 
diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma 
base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma 
única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a 
mudança de uma base a para uma outra base b usa-se: 
 
 
 
Aula 09: Trigonometria 
 Deduzindo da própria palavra, trigonometria é a parte da geometria que 
estabelece relações métricas e angulares entre elementos de triângulo qualquer. 
Triângulos: 
 Dados 3 pontos A, B, C, não colineares, isto é, não alinhados, chama-se 
triângulo a região do plano limitada pelos segmentos AB, AC e BC, denominados lados, 
sendo A, B e C os seus vértices. 
 Teorema Angular de Tales: 
 A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. 
 
Teorema – Ângulo Externo: 
 Em todo triângulo, um ângulo externo, é igual à soma dos ângulos internos não 
adjacentes, ou seja: 
 
ºd = ºa+ºc 
Propriedade: 
 Se um triângulo possui dois lados medindo “a” e “b”, o terceiro lado “c” estará 
sempre compreendido entre |a-b| e (a+b), ou seja: |a-b| < c < (a+b) 
Classificação dos Triângulos: 
• Quanto aos Lados: 
Escaleno: Os três lados possuem medidas diferentes. 
Isósceles: Ao menos dois lados possuem medidas iguais. 
Eqüilátero: Os três lados possuem medidas iguais. 
• Quanto aos Ângulos: 
Acutângulo: Quando os três ângulos internos são agudos. 
Retângulo: Quando um dos ângulos internos é reto. 
Obtusângulo: Quando um dos ângulos internos é obtuso. 
 
Segmentos Notáveis de um triângulo: 
Mediana: é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. O ponto de 
interseção das 3 medianas de um triângulo denomina-se BARICENTRO do triângulo. 
Altura: é o segmento que une um vértice ao lado oposto(ou ao prolongamento deste), 
sendo perpendicular a esse lado. As 3 alturas de um triângulo passam por um mesmo 
ponto, chamado ORTOCENTRO do triângulo. 
Bissetriz interna: é o segmento que divide cada ângulo interno do triângulo, em 2 
ângulos iguais. As 3 bissetrizes internas de um triângulo passam por um ponto chamado 
INCENTRO do triangulo. O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo, 
isto é, da circunferência que tangencia os 3 lados do triângulo. 
Mediatriz: é a reta perpendicular ao lado, passando pelo ponto médio do mesmo. As 3 
mediatrizes de qualquer triângulo passam por um mesmo ponto, chamado 
CIRCUNCENTRO, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é, 
da circunferência que passa pelos 3 vértices do triângulo. 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo: 
 Triângulo retângulo é todo polígono de 3 lados que contém um ângulo interno 
reto, ou seja, 90º graus. 
 Num triângulo retângulo, o maior lado é denominado hipotenusa, e os outros 
dois lados, adjacentes ao ângulo reto, são denominados catetos. 
 
 A relação métrica do triângulo retângulo mais utilizada e conhecida é o teorema 
de Pitágoras que diz: “Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da 
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.” 
Hip² = cat² + cat² 
Existem ainda outras relações métricas do triângulo retângulo: 
 
Onde: 
h – altura do triângulo retângulo relativa ao ângulo reto 
n – projeção do cateto (b) sobre a hipotenusa (a) 
m - projeção do cateto (c) sobre a hipotenusa (a) 
Por semelhança de triângulos , obtemos as relações: 
� + � = � 
 
 
 Considerando um triângulo retângulo com a sua hipotenusa e seus dois 
catetos(adjacentes e opostos ao ângulo agudo α). Chega-se as seguintes expressões: 
 
Uma relação importante pode ser obtida pelo Teorema de Pitágoras: 
(cateto oposto)² + (cateto adjacente)² = (hipotenusa)² 
Dividindo toda a expressão acima por (hipotenusa)² e relacionando com as razões 
trigonométricas temos que: 
 
Essa relação também é conhecida como relação fundamental da trigonometria. 
 
Aula 10: Matrizes e Determinantes 
Matrizes 
 Sejam m e n dois números naturais não nulos. Denomina-se matriz de ordem m 
x n, como uma tabela retangularformada por m.n elementos, dispostos em m linhas e n 
colunas. Pela representação de matriz genérica: 
 
Tipos de matrizes: 
• Se m ≠n, A é uma matriz retangular. 
• Se m = n, A é uma matriz quadrada, também conhecida como matriz de ordem 
m. 
• Se m = 1, A é uma matriz linha. 
• Se n = 1, A é uma matriz coluna. 
• Se , então A é chamada matriz nula(ou matriz 0). 
• Se A é uma matriz quadrada e quando i ≠ j tem-se , então A é chamada 
matriz diagonal. 
• Se A é uma matriz quadrada, quando i ≠ j tem-se , e quando i = j tem-se 
 , então A é chamada matriz identidade(ou matriz unidade) de ordem m, 
também representado por . 
• Se A é uma matriz quadrada, quando i > j tem-se ou quando i < j tem-se 
, então A é chamada matriz triangular. 
• Se A é uma matriz com m linhas e n colunas com elementos , denomina-se 
matriz transposta de A(indicada por a matriz com n linhas e m colunas com 
elementos , com . 
Igualdade de matrizes: 
 Sejam as matrizes A e B, duas matrizes de mesma ordem, para que se tenha A = 
B é necessário que se tenha . 
Operações com matrizes: 
• Adição e Subtração de matrizes: 
Condição: 
 Para que se possa efetuar a adição ou a subtração de matrizes é necessário que 
elas possuam a mesma ordem. 
A soma ou a subtração de duas ou mais matrizes é efetuada quando se somam ou 
subtraem os elementos correspondentes das matrizes. O resultado tem a mesma ordem 
que compõem as parcelas: 
Sejam as matrizes: , e C , então: 
 
 
• Multiplicação de número real por matriz: 
 Sejam: A uma matriz com m linhas e n colunas e α um número real. Para se 
obter uma matriz B, de mesma ordem da matriz A, de forma que B = αA, cada elemento 
de B será igual ao elemento correspondente de A multiplicado pela constante α: 
 
• Multiplicação de matrizes: 
Condição: 
 Para que se efetue a multiplicação de duas matrizes A e B é necessário que o 
número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B. O produto 
A.B tem número de linhas igual ao número de linhas da matriz A e o número de colunas 
igual ao número de colunas da matriz B. 
Sejam as matrizes: , e C ,, para que se tenha C 
= A.B, inicialmente verifica-se a condição de existência: 
 
Para cada elemento da matriz C: 
 
Importante: Lembre-se que somente para matrizes quadradas: A² = A.A 
Propriedades operatórias das matrizes: 
 Sejam as matrizes A, B e C, quaisquer e de acordo com as condições operatórias 
das matrizes, temos: 
I. A + B = B + A 
II. A.(B + C) = AB + AC 
III. A.B ≠ B.A 
IV. 
V. A. = .A = A 
VI. (A + 0) = A 
Matriz inversa: 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Recebe o nome de matriz inversa de A a 
matriz tal que: 
 
Determinantes 
 Determinante é um número ou expressão que se associa a uma matriz quadrada. 
 
Calculando determinantes: 
• Determinante de primeira ordem: 
Seja a matriz M = (a), o seu determinante é dado por: 
det M = |a| = a 
• Determinante de segunda ordem: 
Seja a matriz , o seu determinante é dado por: 
det 
• Determinante de terceira ordem(Regra de Sarrus): 
Seja a matriz o seu determinante é dado por: 
 
 
Propriedades dos determinantes: 
Situações que anulam um determinante: 
 O determinante de uma matriz quadrada é igual a zero, se a matriz possui: 
• Uma fina nula; 
• Duas filas paralelas iguais; 
• Duas filas paralelas proporcionais 
• Uma fila que é combinação linear de outras filas paralelas. 
Situações que não alteram o determinante: 
 O determinante de uma matriz quadrada não se altera se: 
• Trocarmos ordenadamente as linhas pelas colunas(matriz transposta); 
• Substituirmos uma fila por uma combinação linear de outras filas paralelas com 
a fila substituída(Teorema de Jacobi). 
Situações que alteram o determinante: 
 O determinante de uma matriz quadrada de ordem n altera-se: 
• Trocando de sinal, quando duas filas paralelas trocam entre si de posição; 
• Ficando multiplicado por K, quando os elementos de uma fila são multiplicados 
por K.