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APOSTILA_COMPLETA_matematica basica

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formada por m.n elementos, dispostos em m linhas e n 
colunas. Pela representação de matriz genérica: 
 
Tipos de matrizes: 
• Se m ≠n, A é uma matriz retangular. 
• Se m = n, A é uma matriz quadrada, também conhecida como matriz de ordem 
m. 
• Se m = 1, A é uma matriz linha. 
• Se n = 1, A é uma matriz coluna. 
• Se , então A é chamada matriz nula(ou matriz 0). 
• Se A é uma matriz quadrada e quando i ≠ j tem-se , então A é chamada 
matriz diagonal. 
• Se A é uma matriz quadrada, quando i ≠ j tem-se , e quando i = j tem-se 
 , então A é chamada matriz identidade(ou matriz unidade) de ordem m, 
também representado por . 
• Se A é uma matriz quadrada, quando i > j tem-se ou quando i < j tem-se 
, então A é chamada matriz triangular. 
• Se A é uma matriz com m linhas e n colunas com elementos , denomina-se 
matriz transposta de A(indicada por a matriz com n linhas e m colunas com 
elementos , com . 
Igualdade de matrizes: 
 Sejam as matrizes A e B, duas matrizes de mesma ordem, para que se tenha A = 
B é necessário que se tenha . 
Operações com matrizes: 
• Adição e Subtração de matrizes: 
Condição: 
 Para que se possa efetuar a adição ou a subtração de matrizes é necessário que 
elas possuam a mesma ordem. 
A soma ou a subtração de duas ou mais matrizes é efetuada quando se somam ou 
subtraem os elementos correspondentes das matrizes. O resultado tem a mesma ordem 
que compõem as parcelas: 
Sejam as matrizes: , e C , então: 
 
 
• Multiplicação de número real por matriz: 
 Sejam: A uma matriz com m linhas e n colunas e α um número real. Para se 
obter uma matriz B, de mesma ordem da matriz A, de forma que B = αA, cada elemento 
de B será igual ao elemento correspondente de A multiplicado pela constante α: 
 
• Multiplicação de matrizes: 
Condição: 
 Para que se efetue a multiplicação de duas matrizes A e B é necessário que o 
número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B. O produto 
A.B tem número de linhas igual ao número de linhas da matriz A e o número de colunas 
igual ao número de colunas da matriz B. 
Sejam as matrizes: , e C ,, para que se tenha C 
= A.B, inicialmente verifica-se a condição de existência: 
 
Para cada elemento da matriz C: 
 
Importante: Lembre-se que somente para matrizes quadradas: A² = A.A 
Propriedades operatórias das matrizes: 
 Sejam as matrizes A, B e C, quaisquer e de acordo com as condições operatórias 
das matrizes, temos: 
I. A + B = B + A 
II. A.(B + C) = AB + AC 
III. A.B ≠ B.A 
IV. 
V. A. = .A = A 
VI. (A + 0) = A 
Matriz inversa: 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Recebe o nome de matriz inversa de A a 
matriz tal que: 
 
Determinantes 
 Determinante é um número ou expressão que se associa a uma matriz quadrada. 
 
Calculando determinantes: 
• Determinante de primeira ordem: 
Seja a matriz M = (a), o seu determinante é dado por: 
det M = |a| = a 
• Determinante de segunda ordem: 
Seja a matriz , o seu determinante é dado por: 
det 
• Determinante de terceira ordem(Regra de Sarrus): 
Seja a matriz o seu determinante é dado por: 
 
 
Propriedades dos determinantes: 
Situações que anulam um determinante: 
 O determinante de uma matriz quadrada é igual a zero, se a matriz possui: 
• Uma fina nula; 
• Duas filas paralelas iguais; 
• Duas filas paralelas proporcionais 
• Uma fila que é combinação linear de outras filas paralelas. 
Situações que não alteram o determinante: 
 O determinante de uma matriz quadrada não se altera se: 
• Trocarmos ordenadamente as linhas pelas colunas(matriz transposta); 
• Substituirmos uma fila por uma combinação linear de outras filas paralelas com 
a fila substituída(Teorema de Jacobi). 
Situações que alteram o determinante: 
 O determinante de uma matriz quadrada de ordem n altera-se: 
• Trocando de sinal, quando duas filas paralelas trocam entre si de posição; 
• Ficando multiplicado por K, quando os elementos de uma fila são multiplicados 
por K.