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AULA 10 \u2013 CÁLCULO 3
Curvas suaves
Orientação de uma curvaOrientação de uma curva
Comprimento de arco
Fonte: Anton, Thomas, Flemming
1
Curvas suaves:
Uma curva pode ter pontos angulosos. Vejamos dois exemplos:
Exemplo 1:
2
Exemplo 2:
3
Geometricamente, uma curva suave é caracterizada pela ausência de
pontos angulosos. Em cada um desses pontos, a curva tem uma
tangente única que varia continuamente quando se move sobre a curva.
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Exemplos:
a) retas, circunferências, elipses, hélices são curvas suaves
b) as curvas dos exemplos 1 e 2 desta aula são suaves por partes
c) esboços de curvas suaves por partes:
5
c) esboços de curvas suaves por partes:
Orientação de uma curva:
Se um ponto material desloca-se sobre uma curva suave C, temos dois possíveis sentidos
de percurso. A escolha de um deles como sentido positivo define uma orientação na
curva C.
Vamos supor que a curva C seja representada por
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Convencionamos chamar de sentido positivo sobre C o sentido no qual a curva é traçada
quando o parâmetro t cresce de a até b (figura). O sentido oposto é chamado sentido
negativo sobre C.
De acordo com nossa convenção, sempre que uma curva suave C é representada
por
C é uma curva orientada e o seu sentido positivo de percurso é o sentido de
valores crescentes do parâmetro t.
Se uma curva simples C é suave por partes, podemos orientá-la, como mostra a
figura abaixo, orientando cada parte suave de C.
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Definição:
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Exemplo 1:
a) O sentido positivo de percurso sobre uma circunferência parametrizada é o sentido 
anti-horário.
b) Parametrizar a circunferência de centro na origem e raio a no sentido horário:
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Exemplo 2: Parametrizar o segmento de reta que une o ponto A(0,0,1) ao ponto 
B(1,2,3), no sentido de A para B. 
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Precisamos ainda determinar o intervalo de variação do parâmetro t:
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OBS.: Sempre que queremos parametrizar um segmento de reta com
orientação de A para B, podemos tomar o vetor a como o vetor posição
do ponto A e o vetor direção b como B \u2013 A. Nesse caso, o parâmetro t
terá uma variação no intervalo [0,1].
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Sempre que nos referimos a um segmento que une o ponto A ao ponto
B estaremos entendendo que o sentido é de A para B.
Exemplo 3: Parametrizar o segmento de reta que une o ponto (1,2,3) ao ponto 
(0,0,1) no sentido de A para B. 
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Comprimento de Arco:
14
15
Teorema:
16
ou ainda,
Exemplo 1:
17 18
Exemplo 2:
19