Limite - LISTA 04
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LISTA 4 - Ca´lculo I (2011/1)
Prof. Cassius
1. Sendo f \u2032(p) = lim
h\u21920
f(p+ h)\u2212 f(p)
h
, determine f \u2032(p) dados:
(a) f(x) = x2 + x e p = 1 (b) f(x) =
\u221a
x e p = 3
(c) f(x) = cos(x) e p =
pi
2
(d) f(x) = 2x e p = 1
(e) f(x) = x+
9
x
e p = 2 (f) f(x) =
1
x2
e p = \u22122
2. Determine a equac¸a\u2dco e esboce o gra´fico da reta tangente ao gra´fico da func¸a\u2dco f no
ponto dado (p, f(p)) dado.
(a) f(x) = x2 + 1 (2, f(2)) (b) f(x) = x2 + 2x+ 1 (\u22123, f(\u22123))
(c) f(x) = x3 (2, f(2)) (d) f(x) =
\u221a
x\u2212 1 (5, f(5))
(e) f(x) =
\u221a
x (1, f(1)) (f) f(x) = x+
4
x
(4, f(4))
3. De\u2c6 exemplo, por meio de um gra´fico de uma func¸a\u2dco f , definida e deriva´vel em IR,
tal que f \u2032(1) = 0.
4. De\u2c6 exemplo, por meio de um gra´fico de uma func¸a\u2dco f definida e cont´\u131nua em IR tal
que f \u2032(1) na\u2dco exista.
5. De\u2c6 exemplo, por meio de um gra´fico, de uma func¸a\u2dco f , definida e deriva´vel em IR,
tal que f \u2032(0) = 0 e f \u2032(1) = 0.
6. Encontre uma reta tangente ao gra´fico da func¸a\u2dco f(x) = x3 e que seja paralela a`
reta r : 3x\u2212 y + 1 = 0.
7. Sejam f , g e h func¸o\u2dces deriva´veis. Verifique que:
[f(x)g(x)h(x)]\u2032 = f \u2032(x)g(x)h(x) + f(x)g\u2032(x)h(x) + f(x)g(x)h\u2032(x)
8. Determine f \u2032(x) sendo:
(a) f(x) = xex cos(x) (b) f(x) = x2(1 + ln(x)) cos(x)
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9. Utilizando as regras de derivac¸a\u2dco determine a derivada de cada uma das seguintes
func¸o\u2dces:
(a) f(x) = x2ex (b) f(x) = 4 + 5x2ln(x)
(c) f(x) =
ex
x2 + 1
(d) f(x) =
ln(x)
x
(e) f(x) =
3
sin(x) + cos(x)
(f) f(x) = 3 cos(x) + 5sec(x)
(g) y = 8 (h) f(x) = \u22122
(i) y = x6 (j) y =
1
x7
(k) y = 5
\u221a
x (l) g(t) = \u2212t2 + 3t\u2212 6
(m) y =
pi
2
sen(\u3b8)\u2212 cos(\u3b8) (n) h(t) = picos(t)
(o) y = x2 \u2212 1
2
cos(x) (p) y =
5
(2x)3
+ 2cos(x)
(q) g(x) = 2x (r) y = pix
10. Utilizando a Regra da Cadeia determine a func¸a\u2dco derivada de cada uma das seguintes
func¸o\u2dces:
(a) y = (2x\u2212 7)3 (b) y = 3(4\u2212 x2)5
(c) h(x) = 3(4\u2212 9x)4 (d) y = (9t+ 2) 23
(e) f(t) =
\u221a
1\u2212 t (f) g(x) = \u221a5\u2212 3x
(g) y =
3
\u221a
9x2 + 4 (h) g(x) = \u22122 4\u221a2\u2212 9x
(i) y =
1
x\u2212 2 (j) y = \u2212
5
(t+ 3)3
2
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11. Determine y\u2032\u2032 sendo:
(a) y =
(
1 +
1
x
)3
(b) y =
1
9
cotg(3x\u2212 1)
12. Suponha y = y(r) seja deriva´vel ate´ segunda ordem. Verifique que:
d
dr
[
(r2 + r)
dy
dr
]
= (2r + 1)
dy
dr
+ (r2 + r)
d2y
dr2
13. Suponha que as func¸o\u2dces f e g e suas derivadas em relac¸a\u2dco a x tenham os valores em
x = 0 e x = 1 mostrados a seguir:
x f(x) g(x) f \u2032(x) g\u2032(x)
0 1 1 5 1
3
1 3 \u22124 \u22121
3
\u22128
3
Encontre as derivadas em relac¸a\u2dco a x das func¸o\u2dces compostas a seguir usando os
valores dados de x:
(a) 5f(x)\u2212 g(x) x = 1
(b)
f(x)
g(x) + 1
x = 1
(c) g(f(x)) x = 0
(d) f(x)g3(x) x = 0
14. Mostre que as retas tangentes a` curva
y =
pisen(x)
x
em x = pi e x = \u2212pi se interceptam formando a\u2c6ngulo reto.
15. Em qual ponto do gra´fico da func¸a\u2dco y = 2t\u22123 a reta tangente em coeficiente angular
igual a 21 ?
16. Para cada uma das func¸o\u2dces f abaixo, determine:
\u2022 Os pontos cr´\u131ticos de f
\u2022 Os intervalos de crescimento e decrescimento
3
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(a) f(x) = x2 \u2212 4x\u2212 1 (b) f(x) = 3x2 \u2212 3x+ 2
(c) f(x) = x3 \u2212 x2 \u2212 x (d) f(x) = x3 \u2212 9x2 + 15x\u2212 5
17. Estude a func¸a\u2dco dada com relac¸a\u2dco a concavidade e pontos de inflexa\u2dco:
(a) f(x) = x3 \u2212 3x2 \u2212 9x (b) f(x) = 2x3 \u2212 x2 \u2212 4x+ 1
(c) f(x) = xe\u22122x (d) f(x) = x2 +
1
x
Para resoluc¸a\u2dco do exerc´\u131cio (18), utilize o seguinte resultado:
Teorema: Seja c um ponto cr´\u131tico de uma func¸a\u2dco f , ou seja, f \u2032(c) = 0 e suponhamos
que f \u2032 exista para todos os valores de x em algum intervalo aberto contendo c. Se
f \u2032\u2032(c) existe e:
(i) Se f \u2032\u2032(c) < 0 enta\u2dco f tem valor ma´ximo relativo em c
(ii) Se f \u2032\u2032(c) > 0 enta\u2dco f tem um valor m\u131´nimo relativo em c
18. Determine os pontos cr´\u131ticos da func¸a\u2dco dada e classifique-os (a classificac¸a\u2dco refere-se
a ponto de ma´ximo, m\u131´nimo ou ponto de inflexa\u2dco):
(a) f(x) =
x4
4
\u2212 x3 \u2212 2x2 + 3 (b) f(x) = x3 \u2212 3x2 + 3x\u2212 1
(c) f(x) = x(x+ 2)3 (d) f(x) = 7\u2212 6x\u2212 3x2
4
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RESPOSTAS DE ALGUMAS QUESTO\u2dcES
questa\u2dco (1): (a) f \u2032(1) = 3 (b) f \u2032(3) = 1
2
\u221a
3
(c) f \u2032(pi
2
) = \u22121 (d) f \u2032(1) = 0
(e) f \u2032(2) = \u22125
4
(f) f \u2032(\u22122) = 1
4
questa\u2dco (2): (a) y \u2212 5 = 4(x \u2212 2) (b) y \u2212 4 = \u22124(x + 3) (c) y \u2212 8 = 8(x \u2212 2)
(d) y \u2212 2 = 1
4
(x\u2212 5) (e) y \u2212 1 = 1
2
(x\u2212 1) (f) y \u2212 5 = 3
4
(x\u2212 4)
questa\u2dco (9): (a) 2xex + x2ex (b) 10xln(x) + 5x (c) e
x
x2+1
\u2212 2xex
(x2+1)2
(d) 1\u2212ln(x)
x2
(e) \u22123(cos(x)\u2212sen(x))
(sen(x)+cos(x))2
(f) \u2212 3sen(x) + 5sec(x)tg(x) (g) 0 (h) 0 (i) 6x5 (j) \u22127
x8
(k) 1
5
5\u221a
x4
(l) \u2212 2t + 3 (m) pi
2
cos(\u3b8) + sen(\u3b8) (n) \u2212 pisen(t) (o) 2x + 1
2
sen(x)
(p) \u221230
x4
\u2212 2sen(x) (q) 2xln(2) (r) pixln(pi)
questa\u2dco (10): (a) 6(2x\u22127)2 (b) \u221230x(4\u2212x2)4 (c) \u2212108(4\u22129x)3, (d) 6(9t+2)\u2212 13
(e) \u22121
2
\u221a
1\u2212t (f)
1
\u22126\u221a5\u22123x (g) 6(9x
2 + 4)
\u22122
3 (h) 9
2
(2\u2212 9x)\u221234 (i) \u22121
(x\u22122)2 (j)
15
(t+3)4
questa\u2dco (11): (a) y\u2032\u2032 = 6
x4
(
1 + 1
x
)
+ 6
x3
(
1 + 1
x
)2
(b) y\u2032\u2032 = 2cossec2(3x\u2212 1)cotg(3x\u2212 1)
questa\u2dco (15): Aproximadamente no ponto (4.921, 27.297)
5