Fundamentos da Matemática
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Fundamentos da Matemática


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Resumo
Existem fundamentos de Matemática que são imprescindíveis nas diversas 
formações profissionais. Médicos, arquitetos, engenheiros, administradores, 
gestores e tantos outros profissionais utilizam a Matemática para resolver, 
diariamente, problemas pessoais e profissionais. Esta aula tratará, dessa 
forma, dos principais conceitos de matemática básica que são fundamentais 
para a sua formação.
Fundamentos da Matemática
Eduardo Araújo* 
Equação do 1.º grau
Chamamos de equação do 1.º grau na incógnita x toda equação que pode ser escrita na forma 
ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. 
Vamos entender a definição?
Equação: é toda sentença composta por uma (ou mais) incógnita(s) e uma igualdade.
Incógnita: é o que desejamos descobrir (em geral representada por uma letra).
Grau: é dado pelo maior expoente da incógnita.
O valor da incógnita, que torna uma equação verdadeira, recebe o nome de zero ou raiz da equação.
 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática \u2013 Ulbra. Especialista em Educação a Distância \u2013 Senac. Graduado em Matemática \u2013 Ulbra.
8 Matemática para Negócios e Finanças
Em igualdades matemáticas, podemos adicionar, multiplicar, subtrair ou dividir elementos 
iguais aos dois membros dessa igualdade que a identidade se mantém. É claro, se fizermos as mesmas 
operações, com os mesmos valores, o resultado tem de permanecer o mesmo. Dessa forma, para 
resolvermos equações do primeiro grau, utilizaremos operações matemáticas de ambos os lados da 
igualdade até que a incógnita fique isolada. Vamos ver um exemplo:
2x + 10 = 18
Para isolarmos o termo \u201c2x\u201d, iniciaremos subtraindo 10 unidades de cada lado da igualdade. Veja:
2x + 10 - 10 = 18 - 10
2x + 0 = 8
2x = 8
Para eliminarmos o valor \u201c2\u201d que multiplica nossa incógnita, dividiremos ambos os lados da 
igualdade por \u201c2\u201d, e ficamos com:
2x
2
=
8
2
x = 4
Dessa forma, sempre que realizarmos as mesmas operações em ambos os membros da igualdade 
com os mesmos valores, a igualdade permanecerá verdadeira.
Como nosso objetivo sempre é isolar a incógnita, podemos eliminar esses termos conforme nossa 
necessidade. Veja outro exemplo:
y
3
+
y
2
=15
2y+3y
6
=
90
6
5y=90
5y
5
=
90
5
y=18 
(nesse caso fizemos o MMC entre 3 e 2)
Uma maneira simplificada de resolver equações dessa forma é passando termos semelhantes 
de um lado para o outro da igualdade, invertendo, sempre, a operação matemática que está sendo 
realizada (lembre-se: adição é o inverso de subtração e multiplicação é o inverso de divisão). Observe:
Se 3x + 4 =19, qual é o valor de \u201cx\u201d que resolve essa equação?
Solução:
 3x = 19 - 4 (enviando o elemento 4 e invertendo a operação de adição)
 3x = 15 (resolvendo 19 - 4)
 x = 
15
3
 (enviando o elemento 3 e invertendo a operação de multiplicação)
 x = 5 
Fundamentos da Matemática 9
Veja outros exemplos:
Ex: -3x + 5 = -7
Solução:
 -3x = -7 -5
 -3x = -12
 x = 
-12
-3
 x = +4 
Testando a resposta encontrada:
 -3 . 4 + 5 = -7
 -12 + 5 = -7
 -7 = -7
 Ok!
Ex: 4 - 2k = 4k - 8
Solução:
 -2k - 4k = -8 - 4
 -6k = -12
 k=
-12
-6
 k = +2
Como você pode perceber, resolver equações do primeiro grau é bastante simples. O método 
simplificado permite apenas enviar elementos de um lado a outro da igualdade, invertendo a operação 
que estamos realizando, até que tenhamos nossa incógnita isolada.
Razão
A palavra razão é derivada do latim ratio e significa divisão. Ou seja, para obtermos a razão entre 
dois termos quaisquer basta dividirmos um pelo outro. Imagine que, em um condomínio com 40 
apartamentos, 12 sejam de 3 dormitórios, 18 sejam de 2 dormitórios e 10 de 1 dormitório. Qual será a 
razão entre o número de apartamentos de 3 e de 2 dormitórios?
Razão entre o número de apartamentos de 3 e de 2 dormitórios
12: 6
18: 6
2
3
= 
10 Matemática para Negócios e Finanças
Isso quer dizer que, para cada 2 apartamentos de 3 dormitórios, há 3 apartamentos de 2 
dormitórios.
Razão entre o número de apartamentos de 3 dormitórios e o total de apartamentos:
12
40
=
3
10
:
:
4
4 
Portanto, essa razão será: para cada 10 apartamentos do edifício, 3 são de 3 dormitórios.
Esse conceito de razão, que nada mais é do que a divisão entre dois elementos, será fundamental 
para que possamos entender o conceito de proporção que veremos a seguir.
Proporção
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Podemos dizer que 1/2 e 2/4, por exemplo, 
formam uma proporção, pois representam uma mesma quantidade. Então, quando falamos que duas 
coisas são proporcionais, estamos dizendo que elas formam uma proporção entre si. Veja um outro 
exemplo:
2
8
e
3
12 
representam a mesma quantidade, pois ambas se referem a 0,25 ou 1/4.
Propriedade:
 Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja:
 Se a
b
=
c
d
 (ou ainda, a ÷ b = c ÷ d), sempre será verdadeiro que:
a
b
=
c
d
a . d = b . c 
Vamos aplicar a propriedade acima nos exemplos anteriores?
Se 
2
8
e
3
12
 formam uma proporção, então 2 . 12 tem de ser igual a 8 . 3, e são, pois ambos
geram o mesmo resultado, que é 24. Podemos, ainda, calcular o termo desconhecido em uma proporção, 
veja:
Se x
4
=
3
2
 então:
 2x = 3 . 4
 2x = 12
 x =
12
2
=6
O conceito de razão foi importante para entendermos o de proporção. O conceito de proporção, que 
agora estudamos, será a base para compreendermos o conceito de regra de três, nosso próximo tema.
Fundamentos da Matemática 11
Regra de três
A regra de três é, possivelmente, um dos conceitos básicos de Matemática mais utilizados hoje 
em dia. Ela trata de uma simples relação linear na qual conhecemos três elementos, relacionados entre 
si, e queremos descobrir o quarto elemento dessa proporção. Como você pode notar, regra de três e 
proporções são conceitos totalmente relacionados. Na verdade, uma regra de três nada mais é do que 
uma proporção, que pode ser direta ou inversa. Vamos ver como devem ficar dispostos os dados em 
uma regra de três:
:: os dados devem ficar dispostos como em uma tabela, cujos valores de mesmo tipo ficam na 
mesma coluna;
:: para analisarmos se a proporção é direta ou inversa, seguiremos os seguintes critérios:
:: se, ao aumentarmos o valor de uma variável, a outra também aumentar seu valor (ou vice-
versa), a relação será direta e resolvemos o problema como em uma proporção: trata-se de 
uma regra de três direta;
:: se, ao aumentarmos o valor de uma variável, a outra diminuir (ou vice-versa), a relação será 
inversa. Nesse caso, invertemos a posição dos elementos de uma das razões e resolvemos o 
problema como em uma proporção: trata-se de uma regra de três inversa.
Para podermos aplicar as definições vistas, vamos ver alguns exemplos em que a regra de três 
é utilizada?
Ex: Se um corretor de imóveis roda em média 60 quilômetros em 3 horas de trabalho, quanto, em 
média, ele deverá ter rodado em 8 horas trabalhando?
Solução:
Quanto mais horas de trabalho, mais quilometragem o corretor rodará, portanto, a regra é 
direta:
km h
60 3
x 8
3x = 60 . 8
x = 
480
3
= 160 km
Ex: Imagine agora que, esse mesmo corretor, dirigindo a uma velocidade média de 60 km/h, 
consiga percorrer certa distância em 20 minutos. Caso ele tenha apenas 15 minutos, com que velocidade 
ele deverá dirigir?
Solução:
 Quanto mais velocidade, menos tempo, portanto a relação é inversa.
 Dados do problema:
Vel. t
60 20
x 15
12 Matemática para Negócios e Finanças
Invertendo uma das razões (já que a regra é inversa):
60
x
=
15
20
15x = 60 . 20
15x = 1200
x =
1200
15
= 80 km/h
Como você pode perceber, realizar cálculos com regra de três é bastante simples: basta 
identificarmos os elementos envolvidos, montarmos a tabela e verificarmos se a relação é direta ou 
inversa. No caso da direta, tratamos como uma proporção; no caso da inversa, invertemos uma das 
razões e tratamos, novamente, como uma proporção normal.
Função do 1.º grau
Veremos agora algumas noções de