1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL Professora Salete Souza de Oliveira Aluna Thais Silva de Araujo P1 –Turma V1 – Data 29/05/2009 1) Represente a curva C por uma função com valores vetoriais a) C é a curva é definida pela função b) C é a curva definida pela função 2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por . Encontre uma expressão que relacione a e b de tal forma que o fluido representado pelo campo vetorial seja incompressível no ponto (1,0,1) 3) Calcule , onde γ é a inserção do plano y=x com a superfície , sendo o sentido do percurso do ponto (-1,-1,2) para o ponto (1,1,2). 4) Seja um campo vetorial continuo definido no ℝ². Seja C uma curva simples diferenciável por partes contidas no ℝ² definida por . Mostre que: 5) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças Ao mover uma partícula ao longo do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas e no sentido anti horário. 6) Enuncie e prove o teorema das equivalências. 7) Considere o campo vetorial continuo num subconjunto aberto D ⊂ ℝ² definido por: a) Sabendo que define uma força conservativa, encontre uma função potencial para . b) Calcule o trabalho de ao longo da circunferência 2 RESPOSTAS: P1 –TURMA V1 – 29/05/2009 1) a) c) 2) 3 3) Para o ponto (1,1,2) 4) 5) .1 . = 0 = + a ) . ( )dt = = at = a² d = + t ) ( ) dt = - 4 d = ). dt = 0 W= + d = 2a² 6) Solução Caderno 7) a) = y (1) = x (2) Integrando (1): f = (3) Derivando (3) em relação a y: = x + (y) (4) (4) = (2) temos: C = a f = xy+a c) x = cos t y = sen t 0≤ t ≤ t 0 → cos 0 sen 0 1 0 t π → cos π sen π -1,0) .d = W=0 5 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda P1 –Período Especial – Data 25/03/2002 1) (2,0 Pontos) Supondo que , com r = e que a seja um vetor constante. Mostre que: a) (0,5) b) (0,5) c) (0,5) d) (0,5) 2) (2,5 Pontos) Considere o campo vetorial F continuo num subconjunto aberto D ⊂ definido por: . z, 2x.y.z, x a) (1,0) Sabendo que F define uma força conservativa, encontre uma função potencial f para F. b) (1,0) Calcule o trabalho F ao longo da espiral parametrizada pelo caminho c) Seja C uma curva simples fechada em . O que se pode dizer sobre o trabalho de F ao longo de C? Justifique sua resposta. 3) (3,0 Pontos) Seja Um campo vetorial de classe C1, fechada e definido em onde Ai são pontos do plano e que Em D. Sejam C1, C2, C3 circunferências unitárias centradas em cada um destes pontos, percorrido no sentido horário e tais que Ci contem apenas o ponto Ai. suponha que: Onde a) (1,0) Calcule o valor de , onde C é um curva fechada em D, percorrida no sentido anti-horário e que envolve os pontos Ai. b) (1,0) Quais os possíveis valores de , onde C é qualquer curva fechada contida em D. c) (1,0) Caso Em D. Qual seria o valor de , onde C é uma circunferência de equação que envolve os pontos Ai no sentido anti horário. 4) (2,5 Pontos) Seja Um campo vetorial em |R2. Calcule a integral de linha do campo F ao longo das curvas C1 e C2, orientadas no sentido anti – horarario, onde: a) (1,0) C1 é a circunferência de equação 6 b) (1,5) C2 é a fronteira do retângulo RESOLUÇÃO PROVA V1 – 25/03/2002 QUESTÃO 1: a) temos que: e r = então: = ; e desta forma: b) Seja o vetor constante a x r = Portanto: c) 7 Portanto: d) Portanto: QUESTÃO 2 a) Como o campo é conservativo ou seja: Integrando (1), teremos 8 Derivando (4) em relação à ’y’ e depois derivando (4) em relação à ‘z’, e igualando (2) e (3), respectivamente, teremos que: Como