PROVAS RESOLVIDAS
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PROVAS RESOLVIDAS


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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL 
Professora Salete Souza de Oliveira 
Aluna Thais Silva de Araujo 
P1 \u2013Turma V1 \u2013 Data 29/05/2009 
1) Represente a curva C por uma função com valores vetoriais 
a) C é a curva é definida pela função 
b) C é a curva definida pela função 
 
2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por 
 . 
Encontre uma expressão que relacione a e b de tal forma que o fluido representado pelo 
campo vetorial seja incompressível no ponto (1,0,1) 
 
3) Calcule , onde \u3b3 é a inserção do plano y=x com a superfície 
 , sendo o sentido do percurso do ponto (-1,-1,2) para o ponto (1,1,2). 
 
 
4) Seja um campo vetorial continuo definido no \u211d². Seja C uma 
curva simples diferenciável por partes contidas no \u211d² definida por . Mostre 
que: 
 
5) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças Ao mover uma partícula 
ao longo do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas e 
no sentido anti horário. 
 
6) Enuncie e prove o teorema das equivalências. 
 
7) Considere o campo vetorial continuo num subconjunto aberto D \u2282 \u211d² definido por: 
 
a) Sabendo que define uma força conservativa, encontre uma função potencial para . 
b) Calcule o trabalho de ao longo da circunferência 
 
 
 
 
 
2 
 
RESPOSTAS: P1 \u2013TURMA V1 \u2013 29/05/2009 
 
1) 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
3) Para o ponto (1,1,2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.1 . = 0 
 
 
 = 
 
 
 + a ) . ( )dt = 
 
 
 = at = a² 
 
 
d = 
 
 
 + t ) ( ) dt = - 
 
 
 
4 
 
 
 
d = 
 
 
). dt = 0 
W= 
 
 + 
 
d = 2a² 
 
6) Solução Caderno 
7) a) 
 
 
 = y (1) 
 
 
 = x (2) 
 
Integrando (1): f = (3) 
Derivando (3) em relação a y: 
 
 
 
 = x + 
 
 
(y) (4) 
(4) = (2) temos: 
 
 
 
 C = a f = xy+a 
 
c) x = cos t 
y = sen t 
0\u2264 t \u2264 
t 0 \u2192 cos 0 sen 0 1 0 
t \u3c0 \u2192 cos \u3c0 sen \u3c0 -1,0) 
 
 
.d = 
 
 
W=0 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
P1 \u2013Período Especial \u2013 Data 25/03/2002 
 
1) (2,0 Pontos) Supondo que , com r = e que a seja um vetor constante. 
Mostre que: 
 
a) (0,5) 
 
 
 
b) (0,5) 
c) (0,5) 
d) (0,5) 
 
 
2) (2,5 Pontos) Considere o campo vetorial F continuo num subconjunto aberto D \u2282 
definido por: . z, 2x.y.z, x 
 
a) (1,0) Sabendo que F define uma força conservativa, encontre uma função potencial f 
para F. 
b) (1,0) Calcule o trabalho F ao longo da espiral parametrizada pelo caminho 
 
 
 
 
c) Seja C uma curva simples fechada em . O que se pode dizer sobre o trabalho de F 
ao longo de C? Justifique sua resposta. 
 
3) (3,0 Pontos) Seja Um campo vetorial de classe C1, fechada e definido em 
 onde Ai são pontos do plano e que 
 
 
 
 
 
 Em D. Sejam C1, C2, C3 
circunferências unitárias centradas em cada um destes pontos, percorrido no sentido 
horário e tais que Ci contem apenas o ponto Ai. suponha que: Onde 
 
 
a) (1,0) Calcule o valor de , onde C é um curva fechada em D, percorrida no sentido 
anti-horário e que envolve os pontos Ai. 
b) (1,0) Quais os possíveis valores de , onde C é qualquer curva fechada contida 
em D. 
c) (1,0) Caso 
 
 
 
 
 
 Em D. Qual seria o valor de , onde C é uma 
circunferência de equação que envolve os pontos Ai no sentido anti horário. 
 
4) (2,5 Pontos) Seja 
 
 
 
 
 
 Um campo vetorial em |R2. Calcule a integral 
de linha do campo F ao longo das curvas C1 e C2, orientadas no sentido anti \u2013 horarario, 
onde: 
a) (1,0) C1 é a circunferência de equação 
6 
 
b) (1,5) C2 é a fronteira do retângulo 
 
RESOLUÇÃO PROVA V1 \u2013 25/03/2002 
 
QUESTÃO 1: 
a) 
 
 
 
 
temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e r = 
então: 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
desta forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Seja o vetor constante 
a x r = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
c) 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 2 
a) Como o campo é conservativo ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando (1), teremos 
8 
 
 
Derivando (4) em relação à \u2019y\u2019 e depois derivando (4) em relação à \u2018z\u2019, e igualando (2) e 
(3), respectivamente, teremos que: 
 
 
 
 
 
 
Como