PROVAS RESOLVIDAS

1 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL 
Professora Salete Souza de Oliveira 
Aluna Thais Silva de Araujo 
P1 –Turma V1 – Data 29/05/2009 
1) Represente a curva C por uma função com valores vetoriais 
a) C é a curva é definida pela função 
b) C é a curva definida pela função 
 
2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por 
 . 
Encontre uma expressão que relacione a e b de tal forma que o fluido representado pelo 
campo vetorial seja incompressível no ponto (1,0,1) 
 
3) Calcule , onde γ é a inserção do plano y=x com a superfície 
 , sendo o sentido do percurso do ponto (-1,-1,2) para o ponto (1,1,2). 
 
 
4) Seja um campo vetorial continuo definido no ℝ². Seja C uma 
curva simples diferenciável por partes contidas no ℝ² definida por . Mostre 
que: 
 
5) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças Ao mover uma partícula 
ao longo do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas e 
no sentido anti horário. 
 
6) Enuncie e prove o teorema das equivalências. 
 
7) Considere o campo vetorial continuo num subconjunto aberto D ⊂ ℝ² definido por: 
 
a) Sabendo que define uma força conservativa, encontre uma função potencial para . 
b) Calcule o trabalho de ao longo da circunferência 
 
 
 
 
 
2 
 
RESPOSTAS: P1 –TURMA V1 – 29/05/2009 
 
1) 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
3) Para o ponto (1,1,2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.1 . = 0 
 
 
 = 
 
 
 + a ) . ( )dt = 
 
 
 = at = a² 
 
 
d = 
 
 
 + t ) ( ) dt = - 
 
 
 
4 
 
 
 
d = 
 
 
). dt = 0 
W= 
 
 + 
 
d = 2a² 
 
6) Solução Caderno 
7) a) 
 
 
 = y (1) 
 
 
 = x (2) 
 
Integrando (1): f = (3) 
Derivando (3) em relação a y: 
 
 
 
 = x + 
 
 
(y) (4) 
(4) = (2) temos: 
 
 
 
 C = a f = xy+a 
 
c) x = cos t 
y = sen t 
0≤ t ≤ 
t 0 → cos 0 sen 0 1 0 
t π → cos π sen π -1,0) 
 
 
.d = 
 
 
W=0 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
P1 –Período Especial – Data 25/03/2002 
 
1) (2,0 Pontos) Supondo que , com r = e que a seja um vetor constante. 
Mostre que: 
 
a) (0,5) 
 
 
 
b) (0,5) 
c) (0,5) 
d) (0,5) 
 
 
2) (2,5 Pontos) Considere o campo vetorial F continuo num subconjunto aberto D ⊂ 
definido por: . z, 2x.y.z, x 
 
a) (1,0) Sabendo que F define uma força conservativa, encontre uma função potencial f 
para F. 
b) (1,0) Calcule o trabalho F ao longo da espiral parametrizada pelo caminho 
 
 
 
 
c) Seja C uma curva simples fechada em . O que se pode dizer sobre o trabalho de F 
ao longo de C? Justifique sua resposta. 
 
3) (3,0 Pontos) Seja Um campo vetorial de classe C1, fechada e definido em 
 onde Ai são pontos do plano e que 
 
 
 
 
 
 Em D. Sejam C1, C2, C3 
circunferências unitárias centradas em cada um destes pontos, percorrido no sentido 
horário e tais que Ci contem apenas o ponto Ai. suponha que: Onde 
 
 
a) (1,0) Calcule o valor de , onde C é um curva fechada em D, percorrida no sentido 
anti-horário e que envolve os pontos Ai. 
b) (1,0) Quais os possíveis valores de , onde C é qualquer curva fechada contida 
em D. 
c) (1,0) Caso 
 
 
 
 
 
 Em D. Qual seria o valor de , onde C é uma 
circunferência de equação que envolve os pontos Ai no sentido anti horário. 
 
4) (2,5 Pontos) Seja 
 
 
 
 
 
 Um campo vetorial em |R2. Calcule a integral 
de linha do campo F ao longo das curvas C1 e C2, orientadas no sentido anti – horarario, 
onde: 
a) (1,0) C1 é a circunferência de equação 
6 
 
b) (1,5) C2 é a fronteira do retângulo 
 
RESOLUÇÃO PROVA V1 – 25/03/2002 
 
QUESTÃO 1: 
a) 
 
 
 
 
temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e r = 
então: 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
desta forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Seja o vetor constante 
a x r = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
c) 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 2 
a) Como o campo é conservativo ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando (1), teremos 
8 
 
 
Derivando (4) em relação à ’y’ e depois derivando (4) em relação à ‘z’, e igualando (2) e 
(3), respectivamente, teremos que: 
 
 
 
 
 
 
Como