PROVAS RESOLVIDAS

Teorema de Gauss: 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
Plano 
σ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
Plano 
 
 
 
 
 
σ= 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
Primeira Avaliação – Turma V1 
 
1) Se f e g são funções de classe C² de ℜ⟶ℜ³, e são campos vetoriais de classe C¹ num 
aberto de ℜ³, então mostre que: 
a) 
b) 
2) Se é um caminho em ℜ³, tal que σ’’(t)= para todo t, prove que a trajetória é uma reta , ou 
um ponto. 
3) Calcule onde γ é a interseção do paraboloide com o plano 
 . O sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ(t) no plano 
 caminhe no sentido anti-horário. 
4) Dado um campo vetorial tridimensional onde as 
derivadas parciais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 são contínuas num conjunto aberto . Se é o gradiente de 
alguma função potencial ϕ prove que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em cada ponto de 
 
5) Resolva as seguintes questões: 
a) Se um objeto move-se em um campo de forças de tal modo que, em cada ponto 
 , seu vetor velocidade seja ortogonal à , mostre que o trabalho realizado por 
 sobre o objeto é 0. 
b) Ache o trabalho realizado por uma força elástica dirigida para origem, de módulo proporcional à 
distância do ponto de aplicação da força à (0,0). Se o ponto de aplicação da força traça um quarto 
da elipse 
 
 
 
 
 
 pertencente ao primeiro quadrante. 
 
 
 
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Resolução Primeira Avaliação – Turma V1 
 
1) 
a) Seja: 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
Assim: 
 
 
23 
 
 
 
A trajetória pode ser uma reta ou um ponto. 
 
3) 
 Curva γ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
a) 
 
 
 
Sendo σ(t)=posição e σ’ t eloc dade 
Se então , então W=0 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
Primeira Avaliação – Turma V2 
1) Considere o campo de forças onde ℜ ⟶ ℜ é uma função derivável e 
 . Prove que é irrotacional. 
2) A base de uma cerca é uma C no plano definida por: 
 
A altura em cada ponto ( ) é dada por 
 
 
 (x e y em metros). Se para pintar 
cada m² um pintor cobra p reais, quanto o pintor cobrará para pintar a cerca? 
 
3) Calcule onde 
 e c é a interseção das superfícies 
 sendo o sentido do percurso de ponto (1,0,0) para 
o ponto (-1,0,0) 
 
4) Considere o campo vetorial contínuo num subconjunto aberto ℜ definida por 
 Se define uma força conservativa, encontre uma função f para e calcule 
 onde γ é dada por 
 
 
5) Seja A a área de uma região R limitada por uma curva simples, fechada, diferenciável por 
partes. Prove que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Seja c uma curva simétrica em relação ao eixo y, que vai do ponto (2,0) a (-2,0), percorrida 
no sentido anti-horário. Sabendo-se que a área da região delimitada por c e pelo eixo x vale 
6π, calcule , onde 
 
 
7) Seja D uma região fechada e limitada do plano cuja área é 10, sua fronteira ∂D está 
orientada positivamente e é parametrizada por uma função C¹ por partes, de modo que ∂D 
seja percorrida uma única vez. Se é um campo vetorial de classe 
C¹ num subconjunto aberto que contém D e , então calcule 
 
 
 
 
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Resolução Primeira Avalição –Turma V2 
 
1) 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)