PROVAS RESOLVIDAS

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL 
Professora Salete Souza de Oliveira 
Aluna Thais Silva de Araujo 
P1 –Turma V1 – Data 29/05/2009 
1) Represente a curva C por uma função com valores vetoriais 
a) C é a curva é definida pela função 
b) C é a curva definida pela função 
 
2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por 
 . 
Encontre uma expressão que relacione a e b de tal forma que o fluido representado pelo 
campo vetorial seja incompressível no ponto (1,0,1) 
 
3) Calcule , onde γ é a inserção do plano y=x com a superfície 
 , sendo o sentido do percurso do ponto (-1,-1,2) para o ponto (1,1,2). 
 
 
4) Seja um campo vetorial continuo definido no ℝ². Seja C uma 
curva simples diferenciável por partes contidas no ℝ² definida por . Mostre 
que: 
 
5) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças Ao mover uma partícula 
ao longo do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas e 
no sentido anti horário. 
 
6) Enuncie e prove o teorema das equivalências. 
 
7) Considere o campo vetorial continuo num subconjunto aberto D ⊂ ℝ² definido por: 
 
a) Sabendo que define uma força conservativa, encontre uma função potencial para . 
b) Calcule o trabalho de ao longo da circunferência 
 
 
 
 
 
2 
 
RESPOSTAS: P1 –TURMA V1 – 29/05/2009 
 
1) 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
3) Para o ponto (1,1,2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.1 . = 0 
 
 
 = 
 
 
 + a ) . ( )dt = 
 
 
 = at = a² 
 
 
d = 
 
 
 + t ) ( ) dt = - 
 
 
 
4 
 
 
 
d = 
 
 
). dt = 0 
W= 
 
 + 
 
d = 2a² 
 
6) Solução Caderno 
7) a) 
 
 
 = y (1) 
 
 
 = x (2) 
 
Integrando (1): f = (3) 
Derivando (3) em relação a y: 
 
 
 
 = x + 
 
 
(y) (4) 
(4) = (2) temos: 
 
 
 
 C = a f = xy+a 
 
c) x = cos t 
y = sen t 
0≤ t ≤ 
t 0 → cos 0 sen 0 1 0 
t π → cos π sen π -1,0) 
 
 
.d = 
 
 
W=0 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
P1 –Período Especial – Data 25/03/2002 
 
1) (2,0 Pontos) Supondo que , com r = e que a seja um vetor constante. 
Mostre que: 
 
a) (0,5) 
 
 
 
b) (0,5) 
c) (0,5) 
d) (0,5) 
 
 
2) (2,5 Pontos) Considere o campo vetorial F continuo num subconjunto aberto D ⊂ 
definido por: . z, 2x.y.z, x 
 
a) (1,0) Sabendo que F define uma força conservativa, encontre uma função potencial f 
para F. 
b) (1,0) Calcule o trabalho F ao longo da espiral parametrizada pelo caminho 
 
 
 
 
c) Seja C uma curva simples fechada em . O que se pode dizer sobre o trabalho de F 
ao longo de C? Justifique sua resposta. 
 
3) (3,0 Pontos) Seja Um campo vetorial de classe C1, fechada e definido em 
 onde Ai são pontos do plano e que 
 
 
 
 
 
 Em D. Sejam C1, C2, C3 
circunferências unitárias centradas em cada um destes pontos, percorrido no sentido 
horário e tais que Ci contem apenas o ponto Ai. suponha que: Onde 
 
 
a) (1,0) Calcule o valor de , onde C é um curva fechada em D, percorrida no sentido 
anti-horário e que envolve os pontos Ai. 
b) (1,0) Quais os possíveis valores de , onde C é qualquer curva fechada contida 
em D. 
c) (1,0) Caso 
 
 
 
 
 
 Em D. Qual seria o valor de , onde C é uma 
circunferência de equação que envolve os pontos Ai no sentido anti horário. 
 
4) (2,5 Pontos) Seja 
 
 
 
 
 
 Um campo vetorial em |R2. Calcule a integral 
de linha do campo F ao longo das curvas C1 e C2, orientadas no sentido anti – horarario, 
onde: 
a) (1,0) C1 é a circunferência de equação 
6 
 
b) (1,5) C2 é a fronteira do retângulo 
 
RESOLUÇÃO PROVA V1 – 25/03/2002 
 
QUESTÃO 1: 
a) 
 
 
 
 
temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e r = 
então: 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
desta forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Seja o vetor constante 
a x r = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
c) 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 2 
a) Como o campo é conservativo ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando (1), teremos 
8 
 
 
Derivando (4) em relação à ’y’ e depois derivando (4) em relação à ‘z’, e igualando (2) e 
(3), respectivamente, teremos que: 
 
 
 
 
 
 
Comopodemos tomar g(y,z) como sendo zero. Então: 
 
 
b) Para um campo conservativo: 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando (5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Como o campo é conservativo, o trabalho realizado só dependerá do ponto inicial e final. 
Seja ‘p’ um ponto da cur a C parametr ada por σ t com ‘t’ e tal que σ a σ b 
= p 
Então pelo teorema fundamental do calculo: 
 
Logo, o trabalho da força conservativa f ao longo de uma curva fechada é zero. 
 
QUESTÃO 3 
a) Para um campo conservativo 
 
 
 
 
 
 o teorema de Green é dado por: 
 
 
 ou seja: 
9 
 
 
 
 
Como os sentidos de C1, C2 e C3 são horários e C é anti-horário, devemos colocá-las no mesmo 
sentido. Então, 
 
 
 
 
b) Para C no sentido anti- horário: 
 
 
 
Para A2: 
 
 
 
Para A3: 
 
 
 
Para A1 e A2: 
 
 
 
Para A1 e A3: 
 
 
 
Para A2 e A3: 
 
 
 
Para D: 
 
 
 
 
10 
 
 
Para A1 , A2 e A3: 
 
 
 
 
Para C no sentido horário os valores acima são validos com sinal trocado. 
OBS: se C for da forma 
Temos mais valores. 
 
c) Como 
 
 
 
 
 
 
Pelo teorema de Green: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A integral dupla do segundo membro deve ser expressa por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 o tem ‘a’ temos: 
 
 
 
QUESTÃO 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Pelo teorema de Green: 
A1 A2 
11 
 
Cons derando γ como ² + ² 1 
 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
12 
 
b) Pelo teorema de Green 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
P1- Turma V1 – Data 02/10/2009 
 
1) Calcule o comprimento e o centroide do arco de círculo dado por: 
C={(x,y) R²/ x² + y² = a², x y 
 A posição do centroide é dada por [ , ]: = 
 
 
; 
 
 
 . 
 
2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por = 2xex² seny + ex² cosy . Encontre 
 
 
 onde C é o arco da parábola y = 
 
 
x² que vai do ponto (0,0) ao ponto (1, 
 
 
). 
 
3) Seja F(x,y,z) = P(x,y,z) + Q(x,y,z) + R(x,y,z) um campo vetorial continuo definido no R³. 
Seja C uma curva simples, diferencial por partes, contida no R³ definida por 
 . Mostre que 
 
. 
 
4) Mostre que qualquer campo vetorial da forma é 
incompressível. 
 
5) Seja e . Verifique as identidades: 
 
a) 
 
 
b) = 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
RESOLUÇÃO P1 TURMA V1 – 02/10/2009 
 
1) 
x = 
 
 
 
y = 
 
- Cálculo do Comprimento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Cálculo da Posição do Centróide: 
 Cálculo de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo de 
 
 
 
 
 Cálculo de C = : 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C = 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando (2) : 
 
 
15 
 
Cálculo de 
 
 
: 
 
 
 
 
 
 
(4) = (1) 
 
 
 
 
 
(5) em (3) 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
Terceira Avaliação 
 
1) Calcule onde 
 e , com 
 , sendo a normal apontando para cima. 
 
2) Calcule o fluxo do campo através da superfície fechada da 
figura abaixo, sabendo-se que ,com e constantes e vetor 
normal exterior. 
 
 
3) Encontre o fluxo de para cima através da porção do plano 
 no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima. 
 
4) Calcule se 
 e C é a borda da porção do plano 
no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Resolução Terceira Avaliação 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)Teorema de Gauss: 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
Plano 
σ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
Plano 
 
 
 
 
 
σ= 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
Primeira Avaliação – Turma V1 
 
1) Se f e g são funções de classe C² de ℜ⟶ℜ³, e são campos vetoriais de classe C¹ num 
aberto de ℜ³, então mostre que: 
a) 
b) 
2) Se é um caminho em ℜ³, tal que σ’’(t)= para todo t, prove que a trajetória é uma reta , ou 
um ponto. 
3) Calcule onde γ é a interseção do paraboloide com o plano 
 . O sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ(t) no plano 
 caminhe no sentido anti-horário. 
4) Dado um campo vetorial tridimensional onde as 
derivadas parciais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 são contínuas num conjunto aberto . Se é o gradiente de 
alguma função potencial ϕ prove que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em cada ponto de 
 
5) Resolva as seguintes questões: 
a) Se um objeto move-se em um campo de forças de tal modo que, em cada ponto 
 , seu vetor velocidade seja ortogonal à , mostre que o trabalho realizado por 
 sobre o objeto é 0. 
b) Ache o trabalho realizado por uma força elástica dirigida para origem, de módulo proporcional à 
distância do ponto de aplicação da força à (0,0). Se o ponto de aplicação da força traça um quarto 
da elipse 
 
 
 
 
 
 pertencente ao primeiro quadrante. 
 
 
 
22 
 
Resolução Primeira Avaliação – Turma V1 
 
1) 
a) Seja: 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
Assim: 
 
 
23 
 
 
 
A trajetória pode ser uma reta ou um ponto. 
 
3) 
 Curva γ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
a) 
 
 
 
Sendo σ(t)=posição e σ’ t eloc dade 
Se então , então W=0 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
Primeira Avaliação – Turma V2 
1) Considere o campo de forças onde ℜ ⟶ ℜ é uma função derivável e 
 . Prove que é irrotacional. 
2) A base de uma cerca é uma C no plano definida por: 
 
A altura em cada ponto ( ) é dada por 
 
 
 (x e y em metros). Se para pintar 
cada m² um pintor cobra p reais, quanto o pintor cobrará para pintar a cerca? 
 
3) Calcule onde 
 e c é a interseção das superfícies 
 sendo o sentido do percurso de ponto (1,0,0) para 
o ponto (-1,0,0) 
 
4) Considere o campo vetorial contínuo num subconjunto aberto ℜ definida por 
 Se define uma força conservativa, encontre uma função f para e calcule 
 onde γ é dada por 
 
 
5) Seja A a área de uma região R limitada por uma curva simples, fechada, diferenciável por 
partes. Prove que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Seja c uma curva simétrica em relação ao eixo y, que vai do ponto (2,0) a (-2,0), percorrida 
no sentido anti-horário. Sabendo-se que a área da região delimitada por c e pelo eixo x vale 
6π, calcule , onde 
 
 
7) Seja D uma região fechada e limitada do plano cuja área é 10, sua fronteira ∂D está 
orientada positivamente e é parametrizada por uma função C¹ por partes, de modo que ∂D 
seja percorrida uma única vez. Se é um campo vetorial de classe 
C¹ num subconjunto aberto que contém D e , então calcule 
 
 
 
 
26 
 
Resolução Primeira Avalição –Turma V2 
 
1) 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)I) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II) 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 900p Reais 
 
3) 
 (x,y,z)= 2yi + zj + xk c: interseção x2 + xy² = 1 ; x² + y² = 1 : y 0 z 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando (1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
5) 
 pelo teorema de green 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se Q=x e P=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se P=-y e Q= 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se P = -y/2 e Q = x/2 então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculo de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 
Pelo teorema da divergência no plano 
DivF = 20 ∴ 
 
 
 
 
 
 
29 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
Primeira Avaliação – Turma V1 
 
1) As equações de Maxwell relacionam campo elétrico e o campo magnético quando eles 
variam com o tempo numa região que não contenha nem carga e nem corrente, como 
segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde c é a velocidade da luz. 
Use essas equações para mostrar que: 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule onde γ é a interseção do paraboloide com o plano 
 O sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ(t) 
no plano xy caminhe no sentido anti horário. 
 
3) Calcule onde 
 , c é a interseção das superfícies e 
 , x≥0, y≥0, z≥0 sendo o sentido do percurso do ponto (1,0,0) para o ponto (0,0,2) 
 
4) Um campo de forças F em duas dimensões é descrito pela equação 
 Mostre que o trabalho realizado por esta força movendo uma partícula ao longo da 
curva Depende somente de f(a), f(b), g(a), g(b). encontre o 
trabalho realizado quando f(a) = 1, f(b) = 2, g(a) = 3 e g(b) = 4. 
 
5) Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região delimitada pelos gráficos 
E 
 
6) Calcule , onde c é o arco de circunferência no 
segundo quadrante, orientado no sentido anti horário. 
 
7) Seja 
 
 
 4) seja c dada por 
Seja a área do conjunto limitado pela curva c que é fechada. Calcule Onde n é 
normal a c e aponta para fora do conjunto mencionado 
 
 
 
 
 
 
30 
 
Resolução Primeira Avalição –Turma V1 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculo da Função Potencial: 
 
 
 
 
 
 
Integrando (1): 
 
 
 
 
 
Derivando (3) em relação a y: 
 
 
 
Fazendo (4)=(2): 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 
 
 
 
 
 
 
34 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
Segunda avaliação 
 
1) Parametrize o cilindro e mostre q o elemento de área 
correspondente é dado por 
 
2) Calcule a área da superfície 
 
 
 
 
 
 
3) Considere uma casca esférica homogênea de massa M e raio a. o potencial gravitacional 
gerado em um ponto a uma distancia c da origem é dado pela integralonde G é a constante gravitacional e 
 
 
 é a densidade. 
Mostre que : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Considere o campo vetorial Calcule a circulação ao longo da 
elipse C descrita por orientada no sentido anti 
horário quando vista de cima. 
 
 
5) Sejam e . Seja σ uma superfície esférica, com normal exterior n. 
calcule 
 
 
 
 
 supondo que o ponto (0,0,0) não pertence a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
3) 
Equações paramétricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chamando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ℝ 
Seja σ a fronteira da esfera k, com normal exterior . Suponhamos que a origem não pertença a K