Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap1

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Funções Vetoriais 
1.1. 
Definição 
Uma função vetorial é aquela cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja 
imagem é um conjunto de vetores. A equação ( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitft rrrr ++=σ é chamada de 
equação vetorial e define uma curva C. As equações x=f(t), y=g(t) e z=h(t) são chamadas de 
equações paramétricas de C e pertencem a ℜ. 
 
1.2. 
Limite de Funções Vetoriais 
Seja ( )tσr uma função com valores vetoriais cujos valores funcionais são dados por 
( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitft rrrr ++=σ . Então, o limite de ( )tσr quando t tende a t1 será definido por: 
k)]t(hlim[j)]t(glim[i)]t(flim[))t((lim
1tt1tt1tt1tt
rrrr
→→→→
++=σ (1.1) 
se )t(flim
1tt→
, )t(glim
1tt→
 e )t(hlim
1tt→
 existirem. 
 
1.3. 
Continuidade de Funções Vetoriais 
A função ( )tσr com valores vetoriais será contínua em t1 se, e somente se, as três 
condições seguintes forem satisfeitas: 
 
i. ( )tσr existe 
 
ii. ( )tlim
1tt
σr
→
 existe 
 
iii. ( ) ( )1
1tt
ttlim σσ rr =
→
 
 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 9
1.4. 
Derivada de funções vetoriais 
Se ( )tσr for uma função com valores vetoriais, então a derivada de ( )tσr também será 
uma função com valores vetoriais, denotada ( )t'σr e definida por: 
t
)t()tt(lim)t('
0t Δ
σΔσσ Δ
rrv −+=
→
 (1.2) 
se o limite existir. 
 
1.4.1. 
Propriedades da Derivada 
Teorema: Sejam ( )tRr e ( )tFr funções vetoriais definidas num intervalo I C ℜn, r um 
escalar e f uma função real. 
 
1. )t('F)t('R)FR(
dt
d rrrr ±=± 
2. )t('Rr))t(Rr(
dt
d rr = 
3. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )t'RtftRt'ftRtf
dt
d rrr += 
4. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )t'FtRtFt'RtFtR
dt
d rrrrrr ⋅+⋅=⋅ 
1. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )t'FtRtFt'RtFtR
dt
d rrrrrr ×+×=× 
6. [ ] ( )( ) ( )dttdf)tf(d )tf(Fd))t(f(Fdtd ×=
rr
 
 
1.4.2. 
Derivadas de Ordem Superior 
))t(''h),t(''g),t(''f()t('' =σr (1.3) 
))t(h),t(g),t(f()t( nnnn =σr (1.4) 
( )tσr é de classe C1, se σr , 'σr forem contínuas e classe C2 se σr , 'σr e ''σr forem contínuas e 
assim sucessivamente. 
 
 
 
 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 10
1.4.3. 
Regra da Cadeia para Funções Vetoriais 
Teorema: Se ( )uσr é uma função vetorial diferenciável num intervalo I, e u é uma 
função real diferenciável de uma variável então: 
dt
)t(du.
)t(du
))t(u(d
dt
))t(u(d σσ rr = (1.5) 
 
A expressão da regra da cadeia na forma escalar torna-se: 
)
dt
)t(du.
)t(du
))t(u(dh,
dt
)t(du.
)t(du
))t(u(dg,
dt
)t(du.
)t(du
))t(u(df(
dt
d =σ
r
 (1.6) 
1.4.4. 
Tangentes 
Eliminando-se t das equações paramétricas, obtém-se a equação cartesiana da curva C 
de forma implícita ou explícita, assim y é definida como uma ou mais funções de x, i-sto é, se 
x=f(t) e y=g(t), então y=h(x). Se h for uma função diferenciável de t, então, pela regra da 
cadeia: 
dt
dx.
dx
dy
dt
dy = (1.7) 
 
Se, 0dt/dx ≠ podemos dividir ambos os membros da igualdade acima por dtdx e obter 
dt
dx
dt
dy
dx
dy = (1.8) 
 
1.4.5. 
Cálculo da Segunda Derivada 
O cálculo da segunda derivada é importante para se avaliar a concavidade de curvas 
definidas paramétricamente. 
dt
dx
dx
dy
dt
d
dx
yd
2
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
= (1.9) 
 
 
 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 11
1.5. 
Integral de funções vetoriais 
A integral definida de uma função vetorial ( )tσr pode ser definida da mesma forma que 
para a função real, exceto que a integral resulta num vetor. Pode-se expressar a integral de σr 
como a integral de suas funções componentes f, g e h como se segue: 
( ) ( ) ( ) ( ) kdtthjdttgidttfdtt b
a
b
a
b
a
b
a
rrrr
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ∫∫∫∫σ (1.10) 
Estende-se o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais contínuas como se 
segue: 
( ) ( )] ( ) ( )arbrtrdtt ba
b
a
−==∫σr (1.11) 
onde r é uma primitiva deσr . 
 
1.6. 
Cálculo de Áreas 
Suponha que uma função vetorial seja definida pelas suas equações paramétricas x=f(t), 
y=g(t). Sabe-se que a área sob o gráfico de uma função y =F(x) é dada por: 
 ∫=
b
a
dx)x(FA (1.12) 
Para se calcular a área sob um gráfico de uma curva C definida por suas equações 
paramétricas, faz-se mudança de variáveis na expressão (1.12) como a seguir: 
( ) ( )dtt'xdxt'x
dt
dx =⇒= e ( ) ( )tgxFy == (1.13) 
( ) ( )∫=
β
α
dtt'xtgA (1.14) 
1.7. 
Comprimento de Arco 
Seja C a curva com equações paramétricas x=f(t) e y=g(t), com 'f e 'g contínuas no 
intervalo fechado [a,b]. Então, se L for o comprimento de arco da curva C entre os pontos 
(f(a),g(a)) e (f(b),g(b)) então: 
∫ += b
a
22 dt))t('g())t('f(L (1.15) 
 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 12
Para a curva C tendo como equações paramétricas x=f(t) e y=g(t), seja S o comprimento 
de arco de C do ponto (f(to),g(to)) ao ponto (f(t),g(t)) e vamos supor que S seja crescente 
enquanto t cresce. Então, S será uma função de t dada por: 
du)]u('g[)]u('f[S
t
to
22∫ += (1.16) 
Do primeiro teorema fundamental do cálculo 
22 )]t('g[)]t('f[
dt
dS += (1.17) 
22 )]t('g[)]t('f[)t(' +=σr (1.18) 
 
Logo, 
dt
dS)t(' =σr (1.19) 
Teorema: Seja C a curva com equação vetorial ( ) ( ) ( ) jtgitft rrr +=σ , com 'f e 'g contínuas no 
intervalo fechado [a,b]. Então, o comprimento de arco de C, traçado pelo ponto final da 
representação posicional de ( )tσr quando t cresce de a até b, é determinado por: 
∫= b
a
dt)t('L σr (1.20) 
1.8. 
Aplicações ao Movimento 
Seja C a curva tendo equações paramétricas x=f(t) e y=g(t). Se uma partícula estiver se 
movendo ao longo de C de tal forma que sua posição em qualquer instante t seja o ponto (x,y), 
então a velocidade instantânea da partícula no instante t será determinada pelo vetor 
velocidade dado por: 
( ) ( ) ( ) jt'git'ftV rrr += (1.21) 
se ( )t'f e ( )t'g existirem. Como a direção de ( )t'σr no ponto P(f(t),g(t)) é ao longo da reta 
tangente à curva C no ponto P, o vetor velocidade V(t) tem o mesmo sentido ( )t'σr em P. 
O módulo do vetor velocidade é uma medida da velocidade escalar da partícula no 
instante t sendo dada por: 
22 )]t('g[)]t('f[)t(V)t(v +== r (1.22) 
A velocidade escalar é a taxa de variação de S em relação a t e escreve-se da seguinte 
forma: 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 13
dt
dS)t(V)t(v == r (1.23) 
A aceleração instantânea no instante t de uma partícula movendo-se ao longo de uma 
curva C, tendo como equações paramétricas x=f(t) e y=g(t), é determinada pelo vetor 
aceleração: 
)t('')t(A)t('V)t(A σ=⇔= (1.24) 
 
onde ( )t''σr existe. 
 
Exercícios: 
1) Fazer uma parametrização da reta L no 3ℜ que passa pelo ),,( 000 zyxPo e é paralelo ao 
vetor V
r
0),,( 321 ≠vvv 
Solução: 
)tvz, tvy, tvx()t(
tvzz tvzz
tvyy tvyy
tvxx tvxx
)v,v,v(t )zz,yyxx(
302010
3030
2020
1010
32100,0
+++=
+==−
+==−
+==−
=−−−
σr
 
 
2) Parametrize a curva C que é interseção da semi-esfera 0 2222 ≥=++ zyzyx 
 com o plano 01 =+− yz 
Solução: 
1
2
sen
1
2
sen 
2
sen)1( sen)1(2
cos
1)1(2
1242 022212
2)1( 2
z subst. 1
01
22
222
22
22222
222222
+=
+=⇒=−⇒=−
=
=−+
=+−+⇒=−+−+−++
=−++⇒=++
−=
=+−
ty
tytytytx
yx
yyxyyyyx
yyyxyzyx
yz
yz
 
2
tsenz 11
2
tsenz:teremos,1yzComo =⇒−+=−= 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 14
3) Considere o caminho regular )(0, t ),tln,t,t2()t( 2 ∞∈=γr . Verifique que os pontos (2,1,0) e 
(4,4,ln2) pertencem à trajetória de γr e calcule o comprimento de arco de γr entre estes pontos. 
Solução: 
[ ] 2ln3)1ln1()2ln4(ln
)12()12())12((
)144( )144(
1)('
2)('
2)('
))('())('())('()('
 traj.a pontos os Logo
24 11
224 122
2
1
2
2
1
2
1
22
1 2
22
2
1 2
422
1 2
2
222
22
+=+−+=+
+=+=+
++=++
=
=
=
++=
∈
=⇒=⇒==⇒=⇒=
=⇒=⇒==⇒=⇒=
∫∫∫
∫∫
∫∫
tt
dt
t
tdt
t
tdt
t
t
dt
t
ttdt
t
t
t
tz
tty
tx
dttztytxdtt
ttyyttyy
ttxxttxx
b
a
b
a
γ
γ
 
 
4) Prove que a aplicação )2 , 0(t ,
2
tsen2,tsen,tcos1)t( πγ ∈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=r é um caminho cuja a 
trajetória está contida na interseção do cilindro { }0z ,1y)1x( ;)z,y,x(C 223 ≥=+−ℜ∈= e 
da esfera { }4zyx ; )z,y,x(S 2223 =++ℜ∈= . 
Solução: 
)2 , 0(t 
2
tsen2z 
2
tcos14z
2
tcos1
4
z 
4
tcos22
4
z
4ztsentcostcos21
4ztsen)tcos1(
tseny tseny
tcos1x tcos1x tcos)1x(
4zyx 0z 1y)1x(
2
22
222
222
22
22
22222
π∈=⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
−=⇒−=
=++++
=+++
=⇒=
+=⇒=−⇒=−
=++≥=+−
 
 
 
 
 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 15
5) Calcule o limite ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
−++
→
k
t
ttgj
1t
1ti3tlim 21t
rrr
 
Solução: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⇒→⇒
=→
=′−
′→⇒−
−
=⇒+⇒→⇒+
tg1,
2
12,
k tg11tk 
t
ttg
j 
2
1 1t quando subst.
t2
1
)1(t
)1-(t L`hopital Aplicando 1ti 
1t
1t
24 i 31 1t i 3t
22
rr
r
r
rr
 
 
6) Dado )2t3,tsene(f(t) t3 −= calcule ( )t'f 
Solução: 
j3i)tcostsen3(e()t('f
)3),tcostsen3(e((t)' f
3(t)y' tcosetsene3(t)x'
2-3ty(t) tsenex(t)
(t))y'(t),(x'(t)' f
t3
t3
t3t3
t3
++=
+=
=+=
==
=
 
 
7) Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical, para x= t (t2 – 3) e 
y= 3 (t2 – 3) 
Solução: 
( )
0
dt
dy0
dt
dx0
dt
dy
dt
dx
9,0:horizontalétgaondepontos
0t/p
)9t3(y)t3t(x
0t0t6
0
dt
dx0
dt
dy0
dt
dx
dt
dy
vertical é tangente a 0
dy
dx Se.horizontal é tangente a 0
dx
dy Se
23
≠=⇒=
−
=
−=−=
=⇒=
≠=⇒=
==
 
)6,2(:verticalétgaondepontos
1t/p
1t1t03t3 22
−±
±=
±=⇒=⇒=−
 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 16
8) ( )tσr denota o vetor posição de uma partícula se movendo, em cada instante t, determine: 
a) O vetor velocidade ( )tVr 
b) O vetor aceleração ( )tAr 
c) A velocidade escalar em t=t1, sendo t1= 
9
π 
d) Dois vetores tangentes unitários à trajetória da partícula em t=t1. 
Para: σr (t)=(2+cos 6t, 2+ sen 6t) 
Solução: 
12
1
1
1
222222
1
-TT e 
2
1,
2
3- 
6
3)- ,3(-3 
)('
)('
)(tT d)
6v(t)
))9/(6cos)9/(636(sen ))9/(6cos6())9/(6(-6v(t)
(t)'v(t)
9
 tc)
6t)sen 36- 6t, cos (-36 (t)A
(t) '' (t)A b)
6t) cos 6 6t,sen (-6 (t)V
(t) '(t)V a)
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −===
=
+=+=
=
=
=
=
=
=
t
t
sen
σ
σ
ππππ
σ
π
σ
σ
r
rr
r
r
rr
r
rr
 
 
1.9. 
Vetores Tangente Unitário e Normal Principal 
A cada ponto da curva no plano associamos dois outros vetores unitários, o vetor 
tangente unitário e o vetor normal principal. Esses valores aparecem em muitas aplicações de 
funções com valores vetoriais. 
 
1.9.1. 
Vetor Tangente Unitário 
Se ( )tσr for o vetor posição da curva C num ponto de P em C, então o vetor tangente 
unitário de C em P, denotado por ( )tTr ,será o vetor unitário na direção de ( )tDtσr se ( )tDtσr ≠ 0. 
O vetor unitário na direção de ( )tDtσr é dado por: 
)t('
)t(')t(T σ
σr
rr = (1.25) 
 
 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 17
1.9.2. 
Vetor Normal Principal 
Se ( )tTr for o vetor tangente unitário da curva C no ponto P, então, o vetor normal 
principal denotado por ( )tNr , será um vetor unitário na direção de ( )tDtσr . 
)t('T
)t('T)t(N r
rr = (1.26) 
Ilustração: 
Será mostrado que a aceleração possui duas componentes: uma normal ao movimento 
e uma tangencial. 
 Teorema: Considere uma partícula se movendo com vetor posição ( )tσr . Se 
0)t(')t(v ≠= σr é a velocidade da partícula, então o vetor aceleração é dado por 
)t('T)t(v)t(T)t('v)t(A
rrr += (1.27) 
 Se 
)('
)(')(
t
ttT σ
σr
rr = então: 
( )
( ) )t(T)t('v)t(v)t('TtN)t(A
)t(T)t('v)t(v)t('TtN)t('')t(A
)t('v)t(T)t(v)t('T)t('')t(A
)t(')t(T)t('
rrrr
rrrrr
rrrr
rr
+=
+==
+==
=
σ
σ
σσ
 (1.28) 
 
1.9.3. 
Curvatura 
 A curvatura fornece a taxa de variação da direção de uma curva em relação à variação 
de seu comprimento. A curvatura de uma curva é a medida da taxa de variação em relação ao 
comprimento de arco, e não em relação ao parâmetro. Se s representa o comprimento de arco 
de um certo ponto fixo, então a curvatura k é dada por: 
)('
)('
t
tT
k σr
r
= (1.29) 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 18
Demonstração: 
 
)('
)('
 Então,
)('
dt
ds )(')('
)('
)('
)('
)('.
22
t
tT
k
tdttytxS
t
tT
t
tT
ds
dt
dt
Tdk
σ
σ
σσ
β
α
r
r
r
r
r
r
rr
=
=+=
===
∫ (1.30) 
Quando a curva é plana como a mostrada na Figura 1 e tem equação cartesiana )(xfy = , a 
equação da curvatura se escreve da seguinte forma: 
2
3
2
2
2
1
)(
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=
dx
dy
dx
yd
xk (1.31) 
θ
F’(x)
x
y
 
Figura 1- Curva Plana 
 Demonstração: 
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
2
3
2
2
2
22
2
2
2
1
1
)(
)('1
1.
)('1
)('')(
)('1 
)('1 se 
)('1
)('' 
 x temosa relação em derivando )(' 
)(' )(
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=
++
=
+=
+=+=
=
==
∫
−
dx
dy
dx
yd
xk
xfxf
xfxk
xf
dx
ds
dxxfs
xf
xf
dx
d
xftg
xftgxfy
φ
φ
φ
 (1.32) 
 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 19
Exercícios: 
1) Dada a curva descrita pelas equações paramétricas 23 3 e 3 tyttx =−= ache ( )tTr e ( )tNr 
em t=2. 
 Solução: 
( ) ( )
( )
( )
jijiTji
j
t
ti
t
t
tT
tT
t
t
t
tt
t
tt
t
ttT
j
t
ti
t
ttT
j
t
ti
t
t
t
t
tt
tttjtitt
jtittt
rrrrrrrrr
rr
r
rr
r
rrr
rr
r
rr
rrrr
rrr
5
3
5
4(2)N 
5
4
5
3)2( 122)2(
1
1
1
2
)('
)('(t)N
 
1t
2 
)1(
)1(4 
)1(
484 
)1(
484
)1(
16)('
)1(
22
)1(
4)('
1
2
1
1
'
'(t)T
 1)3(t 
)12(9 
36)33(' 6)33('
3)3()(
2
2
2
2
42
22
42
42
42
42
42
2
22
2
22
22
2
2
24
2222
23
−=+=+=
+
−++==
+=
+
+=
+
++=
+
+−++=
+
−++=
+++
−==
+=
++=
+−=+−=
+−=
σ
σ
σ
σσ
σ
 
 
2) Considere a equação vetorial dada 1t , jti)t1()t( 2 =++= rrrσ . Determinar o vetor tangente 
unitário e normal principal: 
Solução: 
 ( ) ( )( ) jt
ti
tt
ttT
vv
v
vv
22 41
2
41
1
'
'
+
+
+
== σσ em t = 1 ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
5
2,
5
1tT
v
 
j
t
i
t
ttT
tT
tT
rrr
r
rr
3232 )41(
2
)41(
4)('
)('
)('(t)N
+
+
+
−=
=
 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 20
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==+++
−==
+=
5
1,
5
2-(t)N 1 em 
41
1
41
2
)('
)('(t)N
14
2)('
22
2
rrr
r
rr
r
tj
t
i
t
t
tT
tT
t
tT
 
 
3) Dada a circunferência com raio a e equações paramétricas 0 a tsenay tcosax >== . 
Ache o vetor curvatura e a curvatura em qualquer t. 
Solução: 
curvatura 1k(t)
curvatura vetor cos)(
;cos
)('
)(')(
)(' cos)('
cos)(
a
j
a
senti
a
ttk
jtisent
t
ttT
atjtaiasentt
jasentitat
=
−−=
+−==
=+−=
+=
rr
rr
r
rr
rrrr
rrr
σ
σ
σσ
σ
 
 
4) Uma partícula se move com velocidade constante de 10 unidades por segundo, no sentido 
anti-horário, ao longo da elipse 1
94
22
=+ yx . Ache o vetor aceleração Ar no instante em que a 
partícula passa pelo ponto (0,3). 
Solução: 
Derivando implicitamente em relação a x : 
 
 
22
2
16
3636
dx
yd 
4
9 0
9
2
2
y
dx
dyxy
y
x
dx
dy
dx
dyyx
+−
=
−==+
 
( ) 4
3
01
4
3
1
 logo 
4
3
dx
yd e 0 : temos3y e 0 xquando Assim,
2
3
2
3
2
2
2
2
2
=
+
−
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=
====
dx
dy
dx
yd
k
dx
dy
 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 21
)75,0()1,0()10(
4
3 daí e (0,-1)N (0,3), ponto no Portanto
 ponto). neste elipse da econcavidad da direção (na baixo para aponta
 N principal normal vetor o que modo de ,horizontal é T gente vetor tano (0,3),y)(x, Quando 
22 −=−===
=
NkvA
rr