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Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap2

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2 
Campos Vetoriais 
 2.1. 
Campos Vetoriais 
Um campo vetorial associa um vetor a um ponto no espaço. Por exemplo, se F for 
uma função com valores vetoriais definida numa bola aberta B em ℜ³, tal que: 
k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F
rrrr ++= (2.1) 
então F
r
 associa a cada ponto (x, y, z) em B um vetor, sendo F
r
 chamada de campo vetorial. 
Esse campo vetorial tem como seu domínio um subconjunto de ℜ³ e como sua imagem um 
subconjunto de V3. Se o domínio de um campo vetorial for um conjunto de pontos num plano 
e sua imagem for um conjunto de vetores em V2, então o campo vetorial terá uma equação da 
forma: 
 j)y,x(Qi)y,x(P)y,x(F
rrr += (2.2) 
 
Exercícios: 
 
1) Um exemplo de um campo vetorial em V3 decorre da lei do inverso dos quadrados de 
Newton da atração gravitacional. Essa lei estabelece que a medida da intensidade da força 
gravitacional entre duas partículas com massa M e m unidades, respectivamente é 2d
GMm
 
onde d unidades é a distância entre duas partículas e G é uma constante gravitacional. Assim, 
se uma partícula com M unidades de massa estiver na origem e uma partícula com 1 unidade 
(m = 1) de massa estiver num ponto 
 P(x, y, z) e se F
r
(x, y, z) for a força gravitacional exercida pela partícula na origem sobre a 
partícula em P, temos 
2
)z,y,x(R
)1(GM)z,y,x(F r
r = 
onde kzjyix)z,y,x(R
rrrr ++= . Para obter o vetor Fr (x, y, z) que representa a força, precisamos 
também da direção e sentido de F
r
. Como a direção é radial e o sentido aponta para a origem, 
Capítulo 2- Campos Vetoriais 
 
22
 
podemos caracterizá-los pelo vetor unitário 
R
Rr
r
− . Como o módulo foi dado anteriormente, 
temos: 
 
 )kzjyi(x
)zy(x
GM)z,y,x(F
teremos zyx)z,y,x(R como
)z,y,x(R
)z,y,x(R
)z,y,x(R
GM)z,y,x(F
2
3222
222
2
rrrr
r
r
r
r
r
++
++
−=
++=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−=
 
 
O campo vetorial definido acima é chamado de campo de forças. 
 
2) Desenhe um campo vetorial em ℜ³ dado por Fr (x, y, z) = z kr 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(0, 0, 1) k 
(1, 2, 3) 
x 
y
z 
o 
 
X
Z
Y
Capítulo 2- Campos Vetoriais 
 
23
 
2.2. 
Rotacional e Divergente 
 Existem dois campos obtidos do campo vetorial F
r
 por meio de derivações parciais. Um 
deles é o campo vetorial denotado por Frot
r
(diz-se rotacional de F
r
) e o outro é o campo 
escalar denotado por Fdiv
r
 (diz-se divergente de F
r
). Inicialmente será mostrado como o 
símbolo ∇ é usado como operador. Recorde-se que se f for uma função escalar de três 
variáveis x, y e z, então o gradiente de f será dado por ∇f(x, y, z) = fx(x, y, z) ir + fy (x, y, z) jr + 
fz (x, y, z) k
r
 
Denotaremos agora o operador del em três dimensões por 
z
k
y
j
x
i ∂
∂+∂
∂+∂
∂ (2.3) 
assim a operação ∇ sobre a função escalar f significa 
k
z
fj
y
fi
x
ff ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ (2.4) 
2.2.1. 
Rotacional 
Seja F
r
 um campo vetorial numa bola aberta B em ℜ³, tal que: 
 k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F
rrrr ++= 
Então, o rotacional de F
r
 é definido por: 
 k
y
P
x
Qj
x
R
z
Pi
z
Q
y
RzyxFrot
vvv
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=),,( (2.5) 
se essas derivadas parciais existirem. 
O Rotacional pode ser dado na forma de produto vetorial 
RQP
zyx
kji
 FxF rot ∂
∂
∂
∂
∂
∂=∇=
rrr
rr
 (2.6) 
Teorema: Se f for um campo escalar numa bola aberta B em ℜ³ e as derivadas parciais 
segundas de f forem contínuas em B, então rot (∇f) = 0. 
 
2.2.2. 
Divergente 
Seja F
r
 um campo vetorial numa bola aberta B em ℜ³, tal que: 
Capítulo 2- Campos Vetoriais 
 
24
 
 k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F
rrrr ++= (2.7) 
Então, o Divergente de F
r
, denotado por div F
r
 será definido por: 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂=
z
R
y
Q
x
P)z,y,x(F div
r
 (2.8) 
se as derivadas parciais existirem. 
Teorema: Suponha que F
r
 seja um campo vetorial numa bola B em ℜ³, tal que 
k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F
rrrr ++= , se as derivadas parciais segundas de P, Q e R 
forem contínuas em B então div (rot F
r
 ) = 0 
 
Exercícios: 
 
1) Ache o rot F, se f for um campo vetorial definido por F
r
(x, y z) = e2x i
r
 + 3x2yz j
r
 + (2y2z + 
x) k
r
 
Solução: 
xzyyzxe
zy
x +
∂
∂
∂
∂
∂
∂=
222 23
x
kji
 z) y, (x,Frot 
rrr
r
= 
 = (4yz – 3x2y) i
r
 + ( 0 – 1) j
r
 + (6xyz – 0) k
r
 
 =(4yz –3x2y) i
r
 – j
r
 + 6xyz k
r
 
 
2) Ache o div F
r
, sendo que F
r
 o campo vetorial é definido por: 
k x) z(2y jyz3x ie z)y (x,F 222x
rrrr +++= 
Solução: 
Div F
r
 (x, y, z) = ∇ . Fr (x, y z) 
)2()3()( 222x xzy
z
yzx
y
e
x
+∂
∂+∂
∂+∂
∂= 
 = 2e2x + 3x2z + 2y2 
 
3) Calcule o Rotacional kzjyixz) y, (x,F
rrrr ++= 
 
 
 
Capítulo 2- Campos Vetoriais 
 
25
 
Solução: 
0z) y, (x,Frot 
)()()()()()(
y
z) y, (x,Frot 
 z) y, (x,Frot 
=
∂
∂−∂
∂−∂
∂−∂
∂+∂
∂+∂
∂=
∂∂∂∂∂∂=
r
rrrrrrr
rrr
r
kx
y
iy
z
jz
x
jx
z
ky
x
iz
zyx
zyx
kji
 
 
4) Calcule o divergente do campo vetorial dado 
Solução: 
2z . 
)zy(x1
1 ). ()( tg2z F div
)().(0.0.F div
)( tg)(z) y, (x,F
2222
2222221-
2221222
2221222
++++++++=
∂
++++∂+∂
∂+∂
∂=
++++=
−
−
zyxzyx
z
zyxtgzyx
yx
kzyxzyx
r
r
rr