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2 Campos Vetoriais 2.1. Campos Vetoriais Um campo vetorial associa um vetor a um ponto no espaço. Por exemplo, se F for uma função com valores vetoriais definida numa bola aberta B em ℜ³, tal que: k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F rrrr ++= (2.1) então F r associa a cada ponto (x, y, z) em B um vetor, sendo F r chamada de campo vetorial. Esse campo vetorial tem como seu domínio um subconjunto de ℜ³ e como sua imagem um subconjunto de V3. Se o domínio de um campo vetorial for um conjunto de pontos num plano e sua imagem for um conjunto de vetores em V2, então o campo vetorial terá uma equação da forma: j)y,x(Qi)y,x(P)y,x(F rrr += (2.2) Exercícios: 1) Um exemplo de um campo vetorial em V3 decorre da lei do inverso dos quadrados de Newton da atração gravitacional. Essa lei estabelece que a medida da intensidade da força gravitacional entre duas partículas com massa M e m unidades, respectivamente é 2d GMm onde d unidades é a distância entre duas partículas e G é uma constante gravitacional. Assim, se uma partícula com M unidades de massa estiver na origem e uma partícula com 1 unidade (m = 1) de massa estiver num ponto P(x, y, z) e se F r (x, y, z) for a força gravitacional exercida pela partícula na origem sobre a partícula em P, temos 2 )z,y,x(R )1(GM)z,y,x(F r r = onde kzjyix)z,y,x(R rrrr ++= . Para obter o vetor Fr (x, y, z) que representa a força, precisamos também da direção e sentido de F r . Como a direção é radial e o sentido aponta para a origem, Capítulo 2- Campos Vetoriais 22 podemos caracterizá-los pelo vetor unitário R Rr r − . Como o módulo foi dado anteriormente, temos: )kzjyi(x )zy(x GM)z,y,x(F teremos zyx)z,y,x(R como )z,y,x(R )z,y,x(R )z,y,x(R GM)z,y,x(F 2 3222 222 2 rrrr r r r r r ++ ++ −= ++= ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= O campo vetorial definido acima é chamado de campo de forças. 2) Desenhe um campo vetorial em ℜ³ dado por Fr (x, y, z) = z kr Solução: (0, 0, 1) k (1, 2, 3) x y z o X Z Y Capítulo 2- Campos Vetoriais 23 2.2. Rotacional e Divergente Existem dois campos obtidos do campo vetorial F r por meio de derivações parciais. Um deles é o campo vetorial denotado por Frot r (diz-se rotacional de F r ) e o outro é o campo escalar denotado por Fdiv r (diz-se divergente de F r ). Inicialmente será mostrado como o símbolo ∇ é usado como operador. Recorde-se que se f for uma função escalar de três variáveis x, y e z, então o gradiente de f será dado por ∇f(x, y, z) = fx(x, y, z) ir + fy (x, y, z) jr + fz (x, y, z) k r Denotaremos agora o operador del em três dimensões por z k y j x i ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ (2.3) assim a operação ∇ sobre a função escalar f significa k z fj y fi x ff ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∇ (2.4) 2.2.1. Rotacional Seja F r um campo vetorial numa bola aberta B em ℜ³, tal que: k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F rrrr ++= Então, o rotacional de F r é definido por: k y P x Qj x R z Pi z Q y RzyxFrot vvv ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂=),,( (2.5) se essas derivadas parciais existirem. O Rotacional pode ser dado na forma de produto vetorial RQP zyx kji FxF rot ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂=∇= rrr rr (2.6) Teorema: Se f for um campo escalar numa bola aberta B em ℜ³ e as derivadas parciais segundas de f forem contínuas em B, então rot (∇f) = 0. 2.2.2. Divergente Seja F r um campo vetorial numa bola aberta B em ℜ³, tal que: Capítulo 2- Campos Vetoriais 24 k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F rrrr ++= (2.7) Então, o Divergente de F r , denotado por div F r será definido por: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= z R y Q x P)z,y,x(F div r (2.8) se as derivadas parciais existirem. Teorema: Suponha que F r seja um campo vetorial numa bola B em ℜ³, tal que k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F rrrr ++= , se as derivadas parciais segundas de P, Q e R forem contínuas em B então div (rot F r ) = 0 Exercícios: 1) Ache o rot F, se f for um campo vetorial definido por F r (x, y z) = e2x i r + 3x2yz j r + (2y2z + x) k r Solução: xzyyzxe zy x + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= 222 23 x kji z) y, (x,Frot rrr r = = (4yz – 3x2y) i r + ( 0 – 1) j r + (6xyz – 0) k r =(4yz –3x2y) i r – j r + 6xyz k r 2) Ache o div F r , sendo que F r o campo vetorial é definido por: k x) z(2y jyz3x ie z)y (x,F 222x rrrr +++= Solução: Div F r (x, y, z) = ∇ . Fr (x, y z) )2()3()( 222x xzy z yzx y e x +∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= = 2e2x + 3x2z + 2y2 3) Calcule o Rotacional kzjyixz) y, (x,F rrrr ++= Capítulo 2- Campos Vetoriais 25 Solução: 0z) y, (x,Frot )()()()()()( y z) y, (x,Frot z) y, (x,Frot = ∂ ∂−∂ ∂−∂ ∂−∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= ∂∂∂∂∂∂= r rrrrrrr rrr r kx y iy z jz x jx z ky x iz zyx zyx kji 4) Calcule o divergente do campo vetorial dado Solução: 2z . )zy(x1 1 ). ()( tg2z F div )().(0.0.F div )( tg)(z) y, (x,F 2222 2222221- 2221222 2221222 ++++++++= ∂ ++++∂+∂ ∂+∂ ∂= ++++= − − zyxzyx z zyxtgzyx yx kzyxzyx r r rr
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