Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap3

3 
Integrais de Linha 
3.1. 
Introdução 
 A integral de linha é semelhante a uma integral simples, exceto que, em vez de 
integrarmos sobre um intervalo [a, b], integramos sobre uma curva C. Elas foram inventadas 
no começo do século XIX para resolver problemas envolvendo escoamento de líquidos, forças, 
eletricidade e magnetismo. 
 As integrais de linha são definidas em termos de limites de somas de Riemann, de um 
modo semelhante à definição de integral definida. 
 
3.2. 
Integral de Linha de Função Escalar 
Suponha-se uma curva C espacial lisa dada pelas equações paramétricas: 
 x= x(t) y = y(t) z= z(t) a ≤ t ≤ b 
ou pela equação vetorial σr (t) = x(t) ir + y(t) jr + z(t) kr . Se f é uma função de três variáveis que 
é contínua em alguma região contendo C, então se define a integral de linha de f ao longo de C 
(com relação ao comprimento de arco) de modo semelhante ao feito para curvas planas: 
 ∑∫
=
∗∗∗
∞→=
n
1i
iiiinC
s)z,y,x(flimds)z,y,x(f Δ (3.1) 
 Calculando-se essa integral tem-se: 
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx))t(z),t(y),t(x(fds)z,y,x(f
222b
a
C
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∫∫ (3.2) 
 Observe que as integrais podem ser escritas de modo mais compacto com notação vetorial 
 dtttf
b
a
∫ )('))(( σσ (3.3) 
 Para o caso especial quando f(x, y, z)= 1, tem-se: 
 ∫ ∫ ==C
b
a
Ldt)t('ds)z,y,x(f σr (3.4) 
onde L é o comprimento da curva C. 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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 Defini-se também, integrais de linha ao longo de C com relação à x, y e z. Por exemplo, 
∫ ∑ ∫
=
∗∗∗∞→ =Δ=C
n
i
b
a
iiiin dttztztytxfzzyxfdszyxf
1
)('))(),(),((),,(lim),,( (3.5) 
 Portanto, como para as integrais de linha no plano, podemos calcular integrais da forma 
 ∫ ++C dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,( (3.6) 
escrevendo-se (x, y, z, dx, dy, dz) em termos do parâmetro t. 
 
Exercícios: 
 
1) Calcule ∫C zdsseny onde C é a hélice circular dada pelas equações x= cos t, y= sen t, z= t, 
0 ≤ t ≤ 2π. 
Solução: 
∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=
π2
0
222
sen)(sensen dt
dt
dz
dt
dy
dt
dxttdszy
C
 
 dtttt∫ ++=
π2
0
222 1cossensen 
 π
ππ
22sen
2
1
2
2
2
)2cos1(2
2
0
2
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−= ∫ ttdtt 
 
3.2.1. 
Definição formal de Integrais de Linha de Função Escalar 
Sejam f : ℜ³ -ℜ uma função real e C uma curva em R3, definida pela função 
]b,a[I: =σr → ℜ³ σr (t) = (x(t), y(t), z(t)) (3.7) 
 Para motivar a definição de integral de linha de f ao longo de C, supõe-se que C 
representa um arame e f (x, y, z) a densidade (massa por unidade de comprimento) em cada 
ponto (x, y, z) ∈ C. Deseja-se calcular a massa total M do arame. 
Para isto, divide-se o intervalo I = [a, b] por meio da partição regular de ordem n 
a= t0<t1<...<ti<ti+1<tn=b, obtendo assim uma decomposição de C em curvas Ci definidas em 
[ti, ti+1] ,i = 0, . . . , n- 1]. 
Supondo que σr (t) é de classe C1, e denotando por ΔSi o comprimento da curva Ci ,tem-
se: 
 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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 ( )∫
+
=
1it
it
si dtt'σΔ r (3.8) 
 Pelo teorema do valor médio para integrais, existe ui ∈ [ti,ti+1 ] tal que 
 ( ) ( ) ( ) iii1iiSi tu'ttu' ΔσσΔ rr =−= + (3.9) 
Onde Δti = ti+1 - ti. Quando n é grande, ΔSi é pequeno e f(x, y, z) pode ser considerada constante 
em Ci e igual a f(σ (ui)). Portanto, a massa total M é aproximada por: 
 ( )( ) ( )∑−
=
=
1n
0i
iiin tu'ufS Δσσ rr (3.10) 
A soma Sn é uma soma de Riemann da função ( )( ) ( )ii u'uf σσ rr no intervalo [a, b]. Logo, se f(x, 
y, z) é contínua em C, então: 
 ( )( ) ( )∫=
b
a
dtt'tfM σσ rr (3.11) 
Considerando-se uma curva C em ℜ³, parametrizada por σr (t) = (x(t),y(t),z(t)), t ∈ [a, b], onde 
σr é de classe C1, e f (x, y ,z) uma função real contínua em C. Definimos a integral de linha de f 
ao longo de C por: 
( ) ( )( ) ( )∫ ∫∫ ==
C CC
dtt'tfdsz,y,xffds σσ rr (3.12) 
Esta fórmula ainda é válida se σr é Cl por partes . Neste caso, a integral é calculada dividindo-
se o intervalo [a, b] em um número finito de intervalos fechados. 
 
Exercício: 
 
1) Calcule ∫ ++C 222 ds)zyx( onde C é a hélice definida por σr (t) = (cos t, sen t, t), 
 0 ≤ t ≤ 2π. 
Solução: 
 σr ’(t) =(x’(t), y’(t), z’(t)) = (- sen t, cos t, 1). Portanto, σr é de classe C1 em [0,2π] e como 
f é contínua, então segue que: 
 ∫ ∫ ∫ =+=++=++C
2
0
2
0
2222222 dt)t1(2dt2)ttsent(cosds)zyx(
π π
 
 ( )22
0
3
43
3
22
3
tt2 ππ
π
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ += 
Se pensarmos na hélice como um arame e f(x, y, z)= x² + y2 + z2 como a densidade de 
massa no arame, então a massa total do arame é: 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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 ( )22
0
3
43
3
22
3
tt2M ππ
π
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ += 
 
3.2.2. 
Interpretação Geométrica das Integrais de Linha 
Um caso particular da integral de linha ocorre quando a curva C é uma curva no plano xy 
definida por uma função de classe C1 ondeσr (t)= (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, é uma função real 
contínua definida em C. Neste caso, a integral de linha de f ao longo de C é: 
 ∫ ∫ ∫==C C
b
a
dt)t('))t(y),t(x(fds)y,x(ffds σr (3.13) 
 Quando f(x, y) ≥ 0 em C, a fórmula acima tem como interpretação geométrica a “área de 
uma cerca” que tem como base a curva C e altura f (x, y) em cada (x, y).. 
 
Exercício: 
1) A base de uma cerca é uma curva C no plano xy definida por x(t) = 30cos3 t, y(t) = 30sen3 t, 
0 ≤ t ≤ 2π, e a altura em cada ponto (x, y) é dada por f(x, y)= 1+
3
y
 (x e y em metros). Se para 
pintar cada m2 um pintor cobra p reais, quanto o pintor cobrará para pintar a cerca? 
Solução: 
 A base da cerca no primeiro e segundo quadrantes é a porção de C dada por: 
σr (t)= (30 cos³t, 30 sen³ t), 0 ≤ t ≤ π, e a altura da cerca em cada ponto (x, y) é f(x, y)=1+y/3. 
Visto que σr (t) = (x’(t), y’(t)) = (-90 cos²t sen t, 90sen²t cos t), então σr é de classe C1 e 
 tcostsen)90(tsentcos)90())t('y())t('x()t(' 24224222 +=+=σ = 
 tttt cossen90cossen)90( 222 == 
 Como f é contínua, a área da metade da cerca é: 
 ∫ ∫ =+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +C 0
3 dttcostsen)tsen101(90ds
3
y1
π
 
 =
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−+= ∫ ∫2
0
2
44 tdtcos)tsen10t(sentdtcos)tsen10t(sen90
π
π
π
 
 4502
2
1180tsen2
2
tsen180
2
0
5
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
π
 
 
 A área total da cerca é 2 x 450 m2 = 900 m2 e, portanto, o pintor cobrará 900p reais. 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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3.3. 
Integrais de Linha de Campos Vetoriais 
 O trabalho feito por uma força 
→
F (x) que move uma partícula de A até B ao longo do eixo 
x é W = ∫ba f(x) dx. Já o trabalho feito por uma força constante F para mover um objeto de um 
ponto P para outro ponto Q no espaço é W = 
→
F . D, onde D =
→
PQ é o vetor deslocamento. 
Suponha agora que k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F
rrrr ++= é um campo de força 
contínuo no IR3 (um campo de força em IR2 pode ser visto como um caso especial onde R = 0 e 
P e Q dependem apenas de x e y). Deseja-se calcular o trabalho exercido por essa força 
movimentando uma partícula ao longo de uma curva lisa C. 
Dividi-se C em sub-arcos Pi-1Pi com comprimentos sΔ i , dividindo-se o intervalo do 
parâmetro [a, b] em subintervalos de mesmo tamanho . Escolhe-se Pi*(xi*, yi*, zi*) no i-ésimo 
subarco correspondendo ao valor do parâmetro ti*. Se sΔ i é pequeno, o movimento da partícula 
de Pi-1 para Pi na curva se processa aproximadamente na direção de T(ti*), versor tangente a 
Pi*. Então, o trabalho realizado pela força 
→
F para mover a partícula de Pi-1 para Pi é 
aproximadamente: 
 
→
F (xi*, yi*, zi*) . [ sΔ i →T (ti*) ] = [ →F (xi*, yi*, zi*) . T(ti*) ] sΔ i (3.14) 
 
O trabalho total executado para mover a partícula ao longo de C é aproximadamente: