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Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap3
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3 Integrais de Linha 3.1. Introdução A integral de linha é semelhante a uma integral simples, exceto que, em vez de integrarmos sobre um intervalo [a, b], integramos sobre uma curva C. Elas foram inventadas no começo do século XIX para resolver problemas envolvendo escoamento de líquidos, forças, eletricidade e magnetismo. As integrais de linha são definidas em termos de limites de somas de Riemann, de um modo semelhante à definição de integral definida. 3.2. Integral de Linha de Função Escalar Suponha-se uma curva C espacial lisa dada pelas equações paramétricas: x= x(t) y = y(t) z= z(t) a ≤ t ≤ b ou pela equação vetorial σr (t) = x(t) ir + y(t) jr + z(t) kr . Se f é uma função de três variáveis que é contínua em alguma região contendo C, então se define a integral de linha de f ao longo de C (com relação ao comprimento de arco) de modo semelhante ao feito para curvas planas: ∑∫ = ∗∗∗ ∞→= n 1i iiiinC s)z,y,x(flimds)z,y,x(f Δ (3.1) Calculando-se essa integral tem-se: dt dt dz dt dy dt dx))t(z),t(y),t(x(fds)z,y,x(f 222b a C ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ∫∫ (3.2) Observe que as integrais podem ser escritas de modo mais compacto com notação vetorial dtttf b a ∫ )('))(( σσ (3.3) Para o caso especial quando f(x, y, z)= 1, tem-se: ∫ ∫ ==C b a Ldt)t('ds)z,y,x(f σr (3.4) onde L é o comprimento da curva C. Capítulo 3- Integrais de Linha 27 27 Defini-se também, integrais de linha ao longo de C com relação à x, y e z. Por exemplo, ∫ ∑ ∫ = ∗∗∗∞→ =Δ=C n i b a iiiin dttztztytxfzzyxfdszyxf 1 )('))(),(),((),,(lim),,( (3.5) Portanto, como para as integrais de linha no plano, podemos calcular integrais da forma ∫ ++C dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,( (3.6) escrevendo-se (x, y, z, dx, dy, dz) em termos do parâmetro t. Exercícios: 1) Calcule ∫C zdsseny onde C é a hélice circular dada pelas equações x= cos t, y= sen t, z= t, 0 ≤ t ≤ 2π. Solução: ∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛= π2 0 222 sen)(sensen dt dt dz dt dy dt dxttdszy C dtttt∫ ++= π2 0 222 1cossensen π ππ 22sen 2 1 2 2 2 )2cos1(2 2 0 2 0 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=−= ∫ ttdtt 3.2.1. Definição formal de Integrais de Linha de Função Escalar Sejam f : ℜ³ -ℜ uma função real e C uma curva em R3, definida pela função ]b,a[I: =σr → ℜ³ σr (t) = (x(t), y(t), z(t)) (3.7) Para motivar a definição de integral de linha de f ao longo de C, supõe-se que C representa um arame e f (x, y, z) a densidade (massa por unidade de comprimento) em cada ponto (x, y, z) ∈ C. Deseja-se calcular a massa total M do arame. Para isto, divide-se o intervalo I = [a, b] por meio da partição regular de ordem n a= t0<t1<...<ti<ti+1<tn=b, obtendo assim uma decomposição de C em curvas Ci definidas em [ti, ti+1] ,i = 0, . . . , n- 1]. Supondo que σr (t) é de classe C1, e denotando por ΔSi o comprimento da curva Ci ,tem- se: Capítulo 3- Integrais de Linha 28 28 ( )∫ + = 1it it si dtt'σΔ r (3.8) Pelo teorema do valor médio para integrais, existe ui ∈ [ti,ti+1 ] tal que ( ) ( ) ( ) iii1iiSi tu'ttu' ΔσσΔ rr =−= + (3.9) Onde Δti = ti+1 - ti. Quando n é grande, ΔSi é pequeno e f(x, y, z) pode ser considerada constante em Ci e igual a f(σ (ui)). Portanto, a massa total M é aproximada por: ( )( ) ( )∑− = = 1n 0i iiin tu'ufS Δσσ rr (3.10) A soma Sn é uma soma de Riemann da função ( )( ) ( )ii u'uf σσ rr no intervalo [a, b]. Logo, se f(x, y, z) é contínua em C, então: ( )( ) ( )∫= b a dtt'tfM σσ rr (3.11) Considerando-se uma curva C em ℜ³, parametrizada por σr (t) = (x(t),y(t),z(t)), t ∈ [a, b], onde σr é de classe C1, e f (x, y ,z) uma função real contínua em C. Definimos a integral de linha de f ao longo de C por: ( ) ( )( ) ( )∫ ∫∫ == C CC dtt'tfdsz,y,xffds σσ rr (3.12) Esta fórmula ainda é válida se σr é Cl por partes . Neste caso, a integral é calculada dividindo- se o intervalo [a, b] em um número finito de intervalos fechados. Exercício: 1) Calcule ∫ ++C 222 ds)zyx( onde C é a hélice definida por σr (t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π. Solução: σr ’(t) =(x’(t), y’(t), z’(t)) = (- sen t, cos t, 1). Portanto, σr é de classe C1 em [0,2π] e como f é contínua, então segue que: ∫ ∫ ∫ =+=++=++C 2 0 2 0 2222222 dt)t1(2dt2)ttsent(cosds)zyx( π π ( )22 0 3 43 3 22 3 tt2 ππ π +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += Se pensarmos na hélice como um arame e f(x, y, z)= x² + y2 + z2 como a densidade de massa no arame, então a massa total do arame é: Capítulo 3- Integrais de Linha 29 29 ( )22 0 3 43 3 22 3 tt2M ππ π +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += 3.2.2. Interpretação Geométrica das Integrais de Linha Um caso particular da integral de linha ocorre quando a curva C é uma curva no plano xy definida por uma função de classe C1 ondeσr (t)= (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, é uma função real contínua definida em C. Neste caso, a integral de linha de f ao longo de C é: ∫ ∫ ∫==C C b a dt)t('))t(y),t(x(fds)y,x(ffds σr (3.13) Quando f(x, y) ≥ 0 em C, a fórmula acima tem como interpretação geométrica a “área de uma cerca” que tem como base a curva C e altura f (x, y) em cada (x, y).. Exercício: 1) A base de uma cerca é uma curva C no plano xy definida por x(t) = 30cos3 t, y(t) = 30sen3 t, 0 ≤ t ≤ 2π, e a altura em cada ponto (x, y) é dada por f(x, y)= 1+ 3 y (x e y em metros). Se para pintar cada m2 um pintor cobra p reais, quanto o pintor cobrará para pintar a cerca? Solução: A base da cerca no primeiro e segundo quadrantes é a porção de C dada por: σr (t)= (30 cos³t, 30 sen³ t), 0 ≤ t ≤ π, e a altura da cerca em cada ponto (x, y) é f(x, y)=1+y/3. Visto que σr (t) = (x’(t), y’(t)) = (-90 cos²t sen t, 90sen²t cos t), então σr é de classe C1 e tcostsen)90(tsentcos)90())t('y())t('x()t(' 24224222 +=+=σ = tttt cossen90cossen)90( 222 == Como f é contínua, a área da metade da cerca é: ∫ ∫ =+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +C 0 3 dttcostsen)tsen101(90ds 3 y1 π = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−+= ∫ ∫2 0 2 44 tdtcos)tsen10t(sentdtcos)tsen10t(sen90 π π π 4502 2 1180tsen2 2 tsen180 2 0 5 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += π A área total da cerca é 2 x 450 m2 = 900 m2 e, portanto, o pintor cobrará 900p reais. Capítulo 3- Integrais de Linha 30 30 3.3. Integrais de Linha de Campos Vetoriais O trabalho feito por uma força → F (x) que move uma partícula de A até B ao longo do eixo x é W = ∫ba f(x) dx. Já o trabalho feito por uma força constante F para mover um objeto de um ponto P para outro ponto Q no espaço é W = → F . D, onde D = → PQ é o vetor deslocamento. Suponha agora que k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F rrrr ++= é um campo de força contínuo no IR3 (um campo de força em IR2 pode ser visto como um caso especial onde R = 0 e P e Q dependem apenas de x e y). Deseja-se calcular o trabalho exercido por essa força movimentando uma partícula ao longo de uma curva lisa C. Dividi-se C em sub-arcos Pi-1Pi com comprimentos sΔ i , dividindo-se o intervalo do parâmetro [a, b] em subintervalos de mesmo tamanho . Escolhe-se Pi*(xi*, yi*, zi*) no i-ésimo subarco correspondendo ao valor do parâmetro ti*. Se sΔ i é pequeno, o movimento da partícula de Pi-1 para Pi na curva se processa aproximadamente na direção de T(ti*), versor tangente a Pi*. Então, o trabalho realizado pela força → F para mover a partícula de Pi-1 para Pi é aproximadamente: → F (xi*, yi*, zi*) . [ sΔ i →T (ti*) ] = [ →F (xi*, yi*, zi*) . T(ti*) ] sΔ i (3.14) O trabalho total executado para mover a partícula ao longo de C é aproximadamente: