Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap3

\u2211
=
n
i 1
[ 
\u2192
F (xi*, yi*, zi*) . 
\u2192
T (xi*, yi*, zi*) ] s\u394 i (3.15) 
 
 Onde 
\u2192
T (x ,y ,z) é o vetor unitário tangente ao ponto (x, y, z) sobre C. Intuitivamente 
podemos ver que essas aproximações devem ficar melhores quando n aumenta muito. Portanto 
definimos o trabalho W feito por um campo de força F como sendo o limite da soma de 
Riemman dada por: 
 W = \u222bc \u2192F (x, y, z) . \u2192T (x, y, z) ds = \u222bc \u2192F . \u2192T ds (3.16) 
 A equação (3.16) nos diz que o trabalho é a integral em relação ao comprimento de arco 
da componente tangencial da força. Se a curva C é dada pela equação vetorial \u3c3r (t) = x(t) ir + 
y(t) j
r
+ z(t) k
r
, então 
\u2192
T (t) = \u3c3r \u2019(t) / |\u3c3r \u2019(t) |, e podemos reescrever a equação anterior como: 
 W = \u222bba [ \u2192F (r(t)) . \u3c3r \u2019(t) / | \u3c3r \u2019(t) | ] | \u3c3r \u2019(t) | dt = W = \u222bba \u2192F (r(t)) . \u3c3r \u2019(t) dt (3.17) 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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31
 Esta última integral é freqüentemente abreviada como \u222bc \u2192F . d \u2192r e ocorre também em 
outras áreas da física . Portanto podemos definir a integral de linha para um campo vetorial 
contínuo qualquer. 
 
Definição : Seja 
\u2192
F um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa C dada pela 
função vetorial \u3c3r (t), a \u2264 t \u2264 b. Então a integral de linha ao longo de C é : 
\u222bc \u2192F . d \u2192r = \u222bba \u2192F (\u3c3r (t)) . \u3c3r \u2019 (t) dt = \u222bc \u2192F . \u2192T ds (3.18) 
Quando se usa a definição anterior, deve-se lembrar que 
\u2192
F (\u3c3r (t)) é uma abreviação para 
\u2192
F = (x(t),y(t),z(t)), e calcula-se 
\u2192
F (\u3c3r (t)) tomando-se x = x(t), y = y(t) e z = z(t) na expressão 
de 
\u2192
F (x, y, z). Nota-se também que se pode formalmente escrever que dr =\u3c3r \u2019(t) dt . 
Apesar de \u222bc \u2192F .d \u2192r = \u222bc \u2192F . \u2192T ds e integrais em relação ao comprimento de arco não trocarem 
de sinal quando a orientação do caminho é invertida. É verdade que \u222bc \u2192F .d \u2192r = - \u222b\u2212 \u2192\u2192c rd.F 
porque o versor tangente T é substituído por seu negativo quando C é trocado por -C. 
Finalmente, nota-se relação entre integrais de linha de campos vetoriais e integrais de 
linha de campos escalares. Supõe-se que um campo vetorial F em \u211c3 seja dado sob a forma de 
componentes pela equação k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F
rrrr ++= . Usa-se a definição 
para calcular sua integral de linha ao longo de C: 
\u222bc \u2192F .d \u2192r = \u222bba ( \u2192F (\u3c3r (t) . \u3c3r \u2019(t) ) dt = 
 = \u222bba ( P \u2192i + Q\u2192j + R \u2192k ). (x\u2019(t) \u2192i + y\u2019(t) \u2192j + z\u2019(t) \u2192k ) dt = 
= \u222bba [ P(x(t) + y(t) + z(t))x\u2019(t) + Q(x(t) + y(t) + z(t))y\u2019(t) +R (x(t) + y(t) + z(t))z\u2019(t)] dt 
. (3.19) 
 Mas esta última integral pode ser expressa como: 
 \u222bc \u2192F .d \u2192r = \u222bc Pdx + Qdy + Rdz (3.20) 
 
onde k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F
rrrr ++= . 
 Por exemplo, a integral \u222bc ydx + zdy + xdz poderia ser expressa como: 
\u222bc \u2192F .d \u2192r (3.21) 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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Onde 
\u2192
F (x, y, z) = y
\u2192
i + z
\u2192
j + x
\u2192
k . 
 
Definição: (consideremos uma curva C em \u211c3) parametrizada por \u3c3r (t) = ( x(t), y(t), z(t)), 
t \u2208 [a,b] , onde \u3c3r é de classe C1, e \u2192F (x, y, z) = ( P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) ) um campo 
vetorial contínuo definido em C. Definimos a integral de linha de 
\u2192
F ao longo de C por: 
 \u222bc \u2192F .d \u2192r = \u222bba ( \u2192F (\u3c3r (t) . \u3c3r \u2019(t) ) dt (3.22) 
Se a curva C é fechada, isto é, se \u3c3r (b) = \u3c3r (a), a integral de linha é denotada por \u222bc \u2192F .d \u2192r . 
 
Exercícios: 
1) Calcule \u222bc \u2192F .d \u2192r onde \u2192F (x,y,z) = (x,y,z) e C é a curva parametrizada por \u3c3r (t)= ( sen t, 
cos t, t ), 0 \u2264 t \u2264 2\u3c0. 
Solução: 
Como 
\u2192
F é contínua em \u211c³ e \u3c3\u2019(t)= (cos t, - sen t, 1) é contínua em [0,2\u3c0], temos 
\u222b \u222b =\u2212=\u2192\u2192C
2
0
dt)1,tsen,t).(cost,tcos,t(senrd.F
\u3c0
 
\u222b \u222b ==+\u2212=
\u3c0 \u3c0
\u3c0
2
0
2
0
22tdtdt)ttcostsentcost(sen 
 
2) Calcule a integral de linha do campo vetorial 
\u2192
F (x,y)= (x²-2xy, x³+ y) de (0,0) a (1,1) ao 
longo das seguintes curvas: 
a) O segmento de reta C1 de equações paramétricas x= t, y= t, 0 \u2264 t \u2264 1. 
b) A curva C2 de equações paramétricas x= t², y= t³, 0 \u2264 t \u2264 1. 
Solução: 
a) 
\u222b \u222b =\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 ++\u2212=++\u2212=\u2192\u2192
1C
1
0
243
3
1
0
2
12
5
2
t
4
t
3
tdt)ttt(rd.F 
 
 
 
 
 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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b) 
\u222b \u222b =\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 +\u2212=++\u2212=\u2192\u2192
2
1
0
1
0
976
5865
42
25
37
4
6
5)3342(.
C
tttdtttttrdF 
 Este exemplo mostra que a integral de linha de um campo vetorial de um ponto a outro 
depende, em geral, da curva que liga os dois pontos. Calculando novamente o item b), usando 
uma representação paramétrica diferente para a curva C2. A curva C2 pode ser descrita pela 
função 
\u2192\u3b2 (t) = (t, t3/2), 0 \u2264 t \u2264 1. 
 \u222b \u222b =++\u2212=\u2192\u2192\u2192
1
0
1
0
22
7
2
52 )
2
3
2
32()(')).('( dtttttdtttF \u3b2\u3b2 
 Como \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b +\u2212=\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b= \u2192\u2192\u2192 23325221 ,2))('(e 
2
3,1)(' tttttFtt \u3b2\u3b2 , obtemos 
 
42
25
3
t
7
t4
6
t5
1
0
2
9
2
73
=\u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1
+\u2212= 
 Verificamos no exemplo acima que o valor da integral é o mesmo para as duas 
parametrizações da curva C2. Esta é uma propriedade importante das integrais de linha que 
provaremos a seguir. 
 
 É importante destacar que se \u3c3r (t) (a\u2264 t\u2264b) e \u2192\u3b2 (t) (c\u2264 t\u2264 d) são duas parametrizações 
equivalentes da curva C, então existe uma função h: [c, d] \u2192 [a, b], bijetora e de classe C1, tal 
que \u3b2 (t)= \u3c3r (h(t)). Se h é crescente, dizemos que h preserva a orientação, isto é, uma partícula 
que percorre C com a parametrização 
\u2192\u3b2 (t) se move no mesmo sentido que a partícula que 
percorre C segundo a parametrização \u3c3r (t). Se h é decrescente, dizemos que h inverte a 
orientação. 
 
Teorema: Sejam \u3c3r (t) (a\u2264 t\u2264b) e \u2192\u3b2 (t) (c\u2264 t\u2264d) parametrizações de C1 por partes e 
equivalentes. Se h preserva a orientação, então: 
 \u222b \u3b2C \u2192F .d \u2192r = \u222b \u3c3C \u2192F .d \u2192r (3.23) 
 
 
Se h inverte a orientação, então: 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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 \u222b \u3b2C \u2192F .d \u2192r = - \u222b \u3c3C \u2192F .d \u2192r (3.24) 
 
( C \u3b2 e C\u3c3 denotam a curva C parametrizada por \u2192\u3b2 (t) e \u3c3r (t) respectivamente). 
 
Demonstração: É suficiente provar o teorema para \u3c3r (t) e \u2192\u3b2 (t) de classe C1. Suponhamos que 
as parametrizações \u3c3r (t) e \u2192\u3b2 (t) estão relacionadas pela equação 
 
\u2192\u3b2 (t) = \u3c3r (h(t)), t \u2208[c, d] (3.25) 
 
Então, 
\u222b \u2192\u2192\u3b2C rd.F = \u222b \u2192dc F ( \u3b2 (t)).\u3b2v \u2019(t) dt = \u222b \u2192dc F (\u3c3v (h(t))).\u3c3v \u2019(h(t))h\u2019(t) dt (3.26) 
 
 Fazendo a substituição u = h(t), du = h\u2019(t)dt, obtém-se : 
\u222b \u2192\u2192\u3b2C rd.F = \u222b \u2192)d(h )c(h F (\u3c3r (u)). \u3c3r \u2019(u)du = 
= \u222b \u2192ba F (\u3c3r (u)). \u3c3r \u2019(u)du = \u222b \u2202\u2192cF .d \u2192r , se h preserva a orientação. 
= \u222b \u2192ab F (\u3c3r (u)). \u3c3r \u2019(u)du = - \u222b \u2202\u2192cF .d \u2192r , se h inverte a orientação. 
 
3.4. 
Propriedades da Integral de Linha 
(i) Linearidade. 
 \u222b\u222b\u222b \u2192\u2192\u2192\u2192\u2192\u2192\u2192 +=\u239f\u23a0\u239e\u239c\u239d\u239b + CCC rd.Gbrd.Fard.GbFa (3.27) 
onde a e b são constantes reais. 
 
(ii) Aditividade. Se C admite uma decomposição num número finito de curvas 
C1,...,Cn ,isto é, C= C1 U ... U Cn, então: 
 \u222b \u2192\u2192c rd.F =\u2211\u222b=
\u2192\u2192n
1i i
c
rd.F (3.28) 
 A prova destas propriedades segue imediatamente da definição de integral de linha. 
 
 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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Exercício: 
 
1) Considere C a fronteira do quadrado no plano xy de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), 
orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha \u222b +C 2 xydydxx 
Solução: A curva é decomposta em quatro segmentos de reta que podem ser parametrizados do 
seguinte modo: 
 C1 : \u3c31 (t) = (t, 0), 0 \u2264 t \u2264 1 
 C2 : \u3c32 (t) = (1, t), 0\u2264 t \u2264 1 
C3 : \u3c33 (t) = (-t, 1), -1\u2264 t \u2264 0 
C4 : \u3c34 (t) = (0, -t) , -1 \u2264 t \u2264 0 
Assim, \u222b \u222b