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Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap3

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∑
=
n
i 1
[ 
→
F (xi*, yi*, zi*) . 
→
T (xi*, yi*, zi*) ] sΔ i (3.15) 
 
 Onde 
→
T (x ,y ,z) é o vetor unitário tangente ao ponto (x, y, z) sobre C. Intuitivamente 
podemos ver que essas aproximações devem ficar melhores quando n aumenta muito. Portanto 
definimos o trabalho W feito por um campo de força F como sendo o limite da soma de 
Riemman dada por: 
 W = ∫c →F (x, y, z) . →T (x, y, z) ds = ∫c →F . →T ds (3.16) 
 A equação (3.16) nos diz que o trabalho é a integral em relação ao comprimento de arco 
da componente tangencial da força. Se a curva C é dada pela equação vetorial σr (t) = x(t) ir + 
y(t) j
r
+ z(t) k
r
, então 
→
T (t) = σr ’(t) / |σr ’(t) |, e podemos reescrever a equação anterior como: 
 W = ∫ba [ →F (r(t)) . σr ’(t) / | σr ’(t) | ] | σr ’(t) | dt = W = ∫ba →F (r(t)) . σr ’(t) dt (3.17) 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
31
31
 Esta última integral é freqüentemente abreviada como ∫c →F . d →r e ocorre também em 
outras áreas da física . Portanto podemos definir a integral de linha para um campo vetorial 
contínuo qualquer. 
 
Definição : Seja 
→
F um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa C dada pela 
função vetorial σr (t), a ≤ t ≤ b. Então a integral de linha ao longo de C é : 
∫c →F . d →r = ∫ba →F (σr (t)) . σr ’ (t) dt = ∫c →F . →T ds (3.18) 
Quando se usa a definição anterior, deve-se lembrar que 
→
F (σr (t)) é uma abreviação para 
→
F = (x(t),y(t),z(t)), e calcula-se 
→
F (σr (t)) tomando-se x = x(t), y = y(t) e z = z(t) na expressão 
de 
→
F (x, y, z). Nota-se também que se pode formalmente escrever que dr =σr ’(t) dt . 
Apesar de ∫c →F .d →r = ∫c →F . →T ds e integrais em relação ao comprimento de arco não trocarem 
de sinal quando a orientação do caminho é invertida. É verdade que ∫c →F .d →r = - ∫− →→c rd.F 
porque o versor tangente T é substituído por seu negativo quando C é trocado por -C. 
Finalmente, nota-se relação entre integrais de linha de campos vetoriais e integrais de 
linha de campos escalares. Supõe-se que um campo vetorial F em ℜ3 seja dado sob a forma de 
componentes pela equação k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F
rrrr ++= . Usa-se a definição 
para calcular sua integral de linha ao longo de C: 
∫c →F .d →r = ∫ba ( →F (σr (t) . σr ’(t) ) dt = 
 = ∫ba ( P →i + Q→j + R →k ). (x’(t) →i + y’(t) →j + z’(t) →k ) dt = 
= ∫ba [ P(x(t) + y(t) + z(t))x’(t) + Q(x(t) + y(t) + z(t))y’(t) +R (x(t) + y(t) + z(t))z’(t)] dt 
. (3.19) 
 Mas esta última integral pode ser expressa como: 
 ∫c →F .d →r = ∫c Pdx + Qdy + Rdz (3.20) 
 
onde k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F
rrrr ++= . 
 Por exemplo, a integral ∫c ydx + zdy + xdz poderia ser expressa como: 
∫c →F .d →r (3.21) 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
32
32
Onde 
→
F (x, y, z) = y
→
i + z
→
j + x
→
k . 
 
Definição: (consideremos uma curva C em ℜ3) parametrizada por σr (t) = ( x(t), y(t), z(t)), 
t ∈ [a,b] , onde σr é de classe C1, e →F (x, y, z) = ( P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) ) um campo 
vetorial contínuo definido em C. Definimos a integral de linha de 
→
F ao longo de C por: 
 ∫c →F .d →r = ∫ba ( →F (σr (t) . σr ’(t) ) dt (3.22) 
Se a curva C é fechada, isto é, se σr (b) = σr (a), a integral de linha é denotada por ∫c →F .d →r . 
 
Exercícios: 
1) Calcule ∫c →F .d →r onde →F (x,y,z) = (x,y,z) e C é a curva parametrizada por σr (t)= ( sen t, 
cos t, t ), 0 ≤ t ≤ 2π. 
Solução: 
Como 
→
F é contínua em ℜ³ e σ’(t)= (cos t, - sen t, 1) é contínua em [0,2π], temos 
∫ ∫ =−=→→C
2
0
dt)1,tsen,t).(cost,tcos,t(senrd.F
π
 
∫ ∫ ==+−=
π π
π
2
0
2
0
22tdtdt)ttcostsentcost(sen 
 
2) Calcule a integral de linha do campo vetorial 
→
F (x,y)= (x²-2xy, x³+ y) de (0,0) a (1,1) ao 
longo das seguintes curvas: 
a) O segmento de reta C1 de equações paramétricas x= t, y= t, 0 ≤ t ≤ 1. 
b) A curva C2 de equações paramétricas x= t², y= t³, 0 ≤ t ≤ 1. 
Solução: 
a) 
∫ ∫ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++−=++−=→→
1C
1
0
243
3
1
0
2
12
5
2
t
4
t
3
tdt)ttt(rd.F 
 
 
 
 
 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
33
33
b) 
∫ ∫ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=++−=→→
2
1
0
1
0
976
5865
42
25
37
4
6
5)3342(.
C
tttdtttttrdF 
 Este exemplo mostra que a integral de linha de um campo vetorial de um ponto a outro 
depende, em geral, da curva que liga os dois pontos. Calculando novamente o item b), usando 
uma representação paramétrica diferente para a curva C2. A curva C2 pode ser descrita pela 
função 
→β (t) = (t, t3/2), 0 ≤ t ≤ 1. 
 ∫ ∫ =++−=→→→
1
0
1
0
22
7
2
52 )
2
3
2
32()(')).('( dtttttdtttF ββ 
 Como ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= →→→ 23325221 ,2))('(e 
2
3,1)(' tttttFtt ββ , obtemos 
 
42
25
3
t
7
t4
6
t5
1
0
2
9
2
73
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−= 
 Verificamos no exemplo acima que o valor da integral é o mesmo para as duas 
parametrizações da curva C2. Esta é uma propriedade importante das integrais de linha que 
provaremos a seguir. 
 
 É importante destacar que se σr (t) (a≤ t≤b) e →β (t) (c≤ t≤ d) são duas parametrizações 
equivalentes da curva C, então existe uma função h: [c, d] → [a, b], bijetora e de classe C1, tal 
que β (t)= σr (h(t)). Se h é crescente, dizemos que h preserva a orientação, isto é, uma partícula 
que percorre C com a parametrização 
→β (t) se move no mesmo sentido que a partícula que 
percorre C segundo a parametrização σr (t). Se h é decrescente, dizemos que h inverte a 
orientação. 
 
Teorema: Sejam σr (t) (a≤ t≤b) e →β (t) (c≤ t≤d) parametrizações de C1 por partes e 
equivalentes. Se h preserva a orientação, então: 
 ∫ βC →F .d →r = ∫ σC →F .d →r (3.23) 
 
 
Se h inverte a orientação, então: 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
34
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 ∫ βC →F .d →r = - ∫ σC →F .d →r (3.24) 
 
( C β e Cσ denotam a curva C parametrizada por →β (t) e σr (t) respectivamente). 
 
Demonstração: É suficiente provar o teorema para σr (t) e →β (t) de classe C1. Suponhamos que 
as parametrizações σr (t) e →β (t) estão relacionadas pela equação 
 
→β (t) = σr (h(t)), t ∈[c, d] (3.25) 
 
Então, 
∫ →→βC rd.F = ∫ →dc F ( β (t)).βv ’(t) dt = ∫ →dc F (σv (h(t))).σv ’(h(t))h’(t) dt (3.26) 
 
 Fazendo a substituição u = h(t), du = h’(t)dt, obtém-se : 
∫ →→βC rd.F = ∫ →)d(h )c(h F (σr (u)). σr ’(u)du = 
= ∫ →ba F (σr (u)). σr ’(u)du = ∫ ∂→cF .d →r , se h preserva a orientação. 
= ∫ →ab F (σr (u)). σr ’(u)du = - ∫ ∂→cF .d →r , se h inverte a orientação. 
 
3.4. 
Propriedades da Integral de Linha 
(i) Linearidade. 
 ∫∫∫ →→→→→→→ +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + CCC rd.Gbrd.Fard.GbFa (3.27) 
onde a e b são constantes reais. 
 
(ii) Aditividade. Se C admite uma decomposição num número finito de curvas 
C1,...,Cn ,isto é, C= C1 U ... U Cn, então: 
 ∫ →→c rd.F =∑∫=
→→n
1i i
c
rd.F (3.28) 
 A prova destas propriedades segue imediatamente da definição de integral de linha. 
 
 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
35
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Exercício: 
 
1) Considere C a fronteira do quadrado no plano xy de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), 
orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha ∫ +C 2 xydydxx 
Solução: A curva é decomposta em quatro segmentos de reta que podem ser parametrizados do 
seguinte modo: 
 C1 : σ1 (t) = (t, 0), 0 ≤ t ≤ 1 
 C2 : σ2 (t) = (1, t), 0≤ t ≤ 1 
C3 : σ3 (t) = (-t, 1), -1≤ t ≤ 0 
C4 : σ4 (t) = (0, -t) , -1 ≤ t ≤ 0 
Assim, ∫ ∫

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