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Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap3
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∑ = n i 1 [ → F (xi*, yi*, zi*) . → T (xi*, yi*, zi*) ] sΔ i (3.15) Onde → T (x ,y ,z) é o vetor unitário tangente ao ponto (x, y, z) sobre C. Intuitivamente podemos ver que essas aproximações devem ficar melhores quando n aumenta muito. Portanto definimos o trabalho W feito por um campo de força F como sendo o limite da soma de Riemman dada por: W = ∫c →F (x, y, z) . →T (x, y, z) ds = ∫c →F . →T ds (3.16) A equação (3.16) nos diz que o trabalho é a integral em relação ao comprimento de arco da componente tangencial da força. Se a curva C é dada pela equação vetorial σr (t) = x(t) ir + y(t) j r + z(t) k r , então → T (t) = σr ’(t) / |σr ’(t) |, e podemos reescrever a equação anterior como: W = ∫ba [ →F (r(t)) . σr ’(t) / | σr ’(t) | ] | σr ’(t) | dt = W = ∫ba →F (r(t)) . σr ’(t) dt (3.17) Capítulo 3- Integrais de Linha 31 31 Esta última integral é freqüentemente abreviada como ∫c →F . d →r e ocorre também em outras áreas da física . Portanto podemos definir a integral de linha para um campo vetorial contínuo qualquer. Definição : Seja → F um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa C dada pela função vetorial σr (t), a ≤ t ≤ b. Então a integral de linha ao longo de C é : ∫c →F . d →r = ∫ba →F (σr (t)) . σr ’ (t) dt = ∫c →F . →T ds (3.18) Quando se usa a definição anterior, deve-se lembrar que → F (σr (t)) é uma abreviação para → F = (x(t),y(t),z(t)), e calcula-se → F (σr (t)) tomando-se x = x(t), y = y(t) e z = z(t) na expressão de → F (x, y, z). Nota-se também que se pode formalmente escrever que dr =σr ’(t) dt . Apesar de ∫c →F .d →r = ∫c →F . →T ds e integrais em relação ao comprimento de arco não trocarem de sinal quando a orientação do caminho é invertida. É verdade que ∫c →F .d →r = - ∫− →→c rd.F porque o versor tangente T é substituído por seu negativo quando C é trocado por -C. Finalmente, nota-se relação entre integrais de linha de campos vetoriais e integrais de linha de campos escalares. Supõe-se que um campo vetorial F em ℜ3 seja dado sob a forma de componentes pela equação k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F rrrr ++= . Usa-se a definição para calcular sua integral de linha ao longo de C: ∫c →F .d →r = ∫ba ( →F (σr (t) . σr ’(t) ) dt = = ∫ba ( P →i + Q→j + R →k ). (x’(t) →i + y’(t) →j + z’(t) →k ) dt = = ∫ba [ P(x(t) + y(t) + z(t))x’(t) + Q(x(t) + y(t) + z(t))y’(t) +R (x(t) + y(t) + z(t))z’(t)] dt . (3.19) Mas esta última integral pode ser expressa como: ∫c →F .d →r = ∫c Pdx + Qdy + Rdz (3.20) onde k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F rrrr ++= . Por exemplo, a integral ∫c ydx + zdy + xdz poderia ser expressa como: ∫c →F .d →r (3.21) Capítulo 3- Integrais de Linha 32 32 Onde → F (x, y, z) = y → i + z → j + x → k . Definição: (consideremos uma curva C em ℜ3) parametrizada por σr (t) = ( x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a,b] , onde σr é de classe C1, e →F (x, y, z) = ( P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) ) um campo vetorial contínuo definido em C. Definimos a integral de linha de → F ao longo de C por: ∫c →F .d →r = ∫ba ( →F (σr (t) . σr ’(t) ) dt (3.22) Se a curva C é fechada, isto é, se σr (b) = σr (a), a integral de linha é denotada por ∫c →F .d →r . Exercícios: 1) Calcule ∫c →F .d →r onde →F (x,y,z) = (x,y,z) e C é a curva parametrizada por σr (t)= ( sen t, cos t, t ), 0 ≤ t ≤ 2π. Solução: Como → F é contínua em ℜ³ e σ’(t)= (cos t, - sen t, 1) é contínua em [0,2π], temos ∫ ∫ =−=→→C 2 0 dt)1,tsen,t).(cost,tcos,t(senrd.F π ∫ ∫ ==+−= π π π 2 0 2 0 22tdtdt)ttcostsentcost(sen 2) Calcule a integral de linha do campo vetorial → F (x,y)= (x²-2xy, x³+ y) de (0,0) a (1,1) ao longo das seguintes curvas: a) O segmento de reta C1 de equações paramétricas x= t, y= t, 0 ≤ t ≤ 1. b) A curva C2 de equações paramétricas x= t², y= t³, 0 ≤ t ≤ 1. Solução: a) ∫ ∫ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++−=++−=→→ 1C 1 0 243 3 1 0 2 12 5 2 t 4 t 3 tdt)ttt(rd.F Capítulo 3- Integrais de Linha 33 33 b) ∫ ∫ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−=++−=→→ 2 1 0 1 0 976 5865 42 25 37 4 6 5)3342(. C tttdtttttrdF Este exemplo mostra que a integral de linha de um campo vetorial de um ponto a outro depende, em geral, da curva que liga os dois pontos. Calculando novamente o item b), usando uma representação paramétrica diferente para a curva C2. A curva C2 pode ser descrita pela função →β (t) = (t, t3/2), 0 ≤ t ≤ 1. ∫ ∫ =++−=→→→ 1 0 1 0 22 7 2 52 ) 2 3 2 32()(')).('( dtttttdtttF ββ Como ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= →→→ 23325221 ,2))('(e 2 3,1)(' tttttFtt ββ , obtemos 42 25 3 t 7 t4 6 t5 1 0 2 9 2 73 =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +−= Verificamos no exemplo acima que o valor da integral é o mesmo para as duas parametrizações da curva C2. Esta é uma propriedade importante das integrais de linha que provaremos a seguir. É importante destacar que se σr (t) (a≤ t≤b) e →β (t) (c≤ t≤ d) são duas parametrizações equivalentes da curva C, então existe uma função h: [c, d] → [a, b], bijetora e de classe C1, tal que β (t)= σr (h(t)). Se h é crescente, dizemos que h preserva a orientação, isto é, uma partícula que percorre C com a parametrização →β (t) se move no mesmo sentido que a partícula que percorre C segundo a parametrização σr (t). Se h é decrescente, dizemos que h inverte a orientação. Teorema: Sejam σr (t) (a≤ t≤b) e →β (t) (c≤ t≤d) parametrizações de C1 por partes e equivalentes. Se h preserva a orientação, então: ∫ βC →F .d →r = ∫ σC →F .d →r (3.23) Se h inverte a orientação, então: Capítulo 3- Integrais de Linha 34 34 ∫ βC →F .d →r = - ∫ σC →F .d →r (3.24) ( C β e Cσ denotam a curva C parametrizada por →β (t) e σr (t) respectivamente). Demonstração: É suficiente provar o teorema para σr (t) e →β (t) de classe C1. Suponhamos que as parametrizações σr (t) e →β (t) estão relacionadas pela equação →β (t) = σr (h(t)), t ∈[c, d] (3.25) Então, ∫ →→βC rd.F = ∫ →dc F ( β (t)).βv ’(t) dt = ∫ →dc F (σv (h(t))).σv ’(h(t))h’(t) dt (3.26) Fazendo a substituição u = h(t), du = h’(t)dt, obtém-se : ∫ →→βC rd.F = ∫ →)d(h )c(h F (σr (u)). σr ’(u)du = = ∫ →ba F (σr (u)). σr ’(u)du = ∫ ∂→cF .d →r , se h preserva a orientação. = ∫ →ab F (σr (u)). σr ’(u)du = - ∫ ∂→cF .d →r , se h inverte a orientação. 3.4. Propriedades da Integral de Linha (i) Linearidade. ∫∫∫ →→→→→→→ +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + CCC rd.Gbrd.Fard.GbFa (3.27) onde a e b são constantes reais. (ii) Aditividade. Se C admite uma decomposição num número finito de curvas C1,...,Cn ,isto é, C= C1 U ... U Cn, então: ∫ →→c rd.F =∑∫= →→n 1i i c rd.F (3.28) A prova destas propriedades segue imediatamente da definição de integral de linha. Capítulo 3- Integrais de Linha 35 35 Exercício: 1) Considere C a fronteira do quadrado no plano xy de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha ∫ +C 2 xydydxx Solução: A curva é decomposta em quatro segmentos de reta que podem ser parametrizados do seguinte modo: C1 : σ1 (t) = (t, 0), 0 ≤ t ≤ 1 C2 : σ2 (t) = (1, t), 0≤ t ≤ 1 C3 : σ3 (t) = (-t, 1), -1≤ t ≤ 0 C4 : σ4 (t) = (0, -t) , -1 ≤ t ≤ 0 Assim, ∫ ∫