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Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap4
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c x=v1(y) x=v2(y) a b Figura 4.2- Região plana Assim, tem-se: ∫ ∫∫ ∫ == =∂∂−=∂∂− ba )x(2uy )x(1uy dydxyPdxdyyP (4.2) ∫ =−ba 21 dx))]x(u,x(P))x(u,x(P{[ (4.3) ∫∫ =− ba 21ba dx))x(u,x(Pdx))x(u,x(P (4.4) dxP D∫∂= (4.5) Analogamente, usando a resolução anterior, mostramos que: dyQdxdy x Q D D∫ ∫ ∫∂=∂∂ (4.6) Se D não é simples, a decompomos como união finita de regiões simples, digamos D=D1U...DnU, onde cada região simples Dk tem fronteira ∂DkC1 por partes (k=1, ...,n), e aplicamos o teorema de Green a cada região Dk, obtendo: dyQPdxdxdy y P x Q KD KD ∫∫ ∫ ∂ +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ (4.7) D D Capítulo 4- Teorema de Green 46 Conseqüentemente, =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂∫ ∫ dxdyyPxQD (4.8) =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ ∫ ∫∫ ∫ dxdyyPxQ...dxdyyPxQ nD1D (4.9) QdydxP...dyQPdx nDnD ++++ ∫∫ ∂∂ (4.10) A fronteira de D é formada por partes das curvas ∂Dk. As partes de ∂Dk que não constituem a fronteira de D agem como fronteira comum às duas regiões simples. Uma parte δ de ∂Dk que é fronteira comum às duas regiões simples será percorrida duas vezes em sentidos opostos. Mas pelo teorema: 0QdydxPdyQPdx =+++ ∫∫ −δδ (4.11) Portanto, enquanto as partes das curvas ∂Dk que formam a fronteira de D contribuem para QdydxP D +∫∂ , as outras partes se cancelam, fornecendo assim: dyQPdxdxdy y P x Q D D ∫∫ ∫ ∂ +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ (4.12) Teorema de Green para regiões Conectadas: Sejam C1, C2, Cn, n curvas suaves C1, tendo as seguintes propriedades: Nenhuma das curvas se interceptam; As curvas C2, ..., Cn estão todas no interior de C1. Demonstração: C1 A B C2 C D Figura 4.3- Regiões Multiplamente Conectadas ∫ ∫ ∫ ∫ =+++++++AB BC CD DA QdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx Capítulo 4- Teorema de Green 47 dxdy y P x Q 1K∫ ∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= (4.13) ∫ ∫ ∫ ∫ =+++++++BA AD DC CB QdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx dxdy y P x Q 2k∫ ∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= (4.14) Somando-se (4.13) e (4.14), tem-se: ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂=+−+ 1 2C C K dxdy y P x QQdyPdxQdyPdx (4.15) Para uma região simplesmente conceituada a condição x Q y P ∂ ∂−∂ ∂ , implica que a integral é independente do caminho. 4.2.1. Cálculo de Áreas Utilizando o Teorema de Green Como a área de uma região K é ∫ ∫ ∫ ∫=K K dxdydA desejamos escolher P e Q de modo que .1 y P x Q =∂ ∂−∂ ∂ Teremos então: ∫ ∫∫ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂=+δ K dxdyy P x QQdyPdx (4.16) ∫ ∫∫=+= δ K dxdyQdyPdx Como a área de uma região K é ∫∫∫∫ = KK dxdydA , desejamos escolher P e Q de modo que 1 y P x Q =∂ ∂−∂ ∂ , teremos então: ∫ ∫∫∫∫∫ =+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂=+ δδ KK dxdyQdyPdxdxdyy P x QQdyPdx (4.17) Exercícios: 1) Calcule ( ) dy y 2 xdx 2 yx 42 c 22 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−∫∫ , onde C é a fronteira da região D definida por }0y,0x,4yx1|)y,x{(D 222 ≥≥≤+≤ℜ∈= orientada no sentido anti-horário. Capítulo 4- Teorema de Green 48 Solução: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 3 141001 3 70cos 2 cos0 23 7 )(cos 3 1 3 8cos 3 ))()(cos( 2 0 2 0 2 1 3 2 0 2 1 2 =−−−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= =+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=+= =+=+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫∫ ππ θθθθθθ θθθ ππ π sinsin dsindsinr drdsinrdxdyyxdxdy y P x Q cc 2) Seja c a elipse: 4y4x 22 =+ , temos ∫∫∫ =+=++− Rc A2dxdy)11(dy)y3x(dx)yx2( Onde A é a área de R. Como os semi-eixos da elipse são a=2, b=1, a área é πab=2π e o valor da integral curvilínea é 4π 3)Calcular a área limitada pela elipse 1 b y a x 2 2 2 2 =+ Solução: [ ] ( ) ( ) ab abdt 2 1dt tsentasenbtcosbtcosa 2 1ydxxdy 2 1A tsenb,tcosa2,0t 2 0 2 0 π π π π ∫ ∫ ∫ ⇒⇒++⇒−= →∈ 4) Consideremos j)y,x(Bi)y,x(A)y,x(F rr += onde A e B∈ C1 com y A x B ∂ ∂=∂ ∂ na região S dada abaixo. Prove que ∫ ∫= 1 2 rd.Frd.F γ γ rrrr , onde γ1 e γ2 são percorridas no sentido anti- horário. Capítulo 4- Teorema de Green 49 Solução: , 0dxdy y P x Qrd.Frd.F s12 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂=− ∫∫∫∫ γγ rrrr , pois por hipótese y P x Q ∂ ∂=∂ ∂ em S. Portanto, ∫∫ = 12 rd.Frd.F γγ rrrr 5) Calcule ∫γ γd.Fr , onde ( ) j x5yx3i yx4)y,x(F 2433 rrr ++= e γ ,a fronteira do quadrado de área igual a 4. (γ está no sentido anti-horário) Solução: ∫∫ ∫∫∫∫ =×=×==−+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ γ γγ 204555)12512( 2323 Adxdydxdyyxyxdxdy y P x Q onde A é a área do quadrado. 6)Calcule a área da região limitada pela curva π20,cos1 ;sen ≤≤−=−= ttyttx e pelo eixo x. S γ1 γ2 )2,0( )2,2( Capítulo 4- Teorema de Green 50 Solução: ( ) ( ) ππ ππ π π π π ππ π 2 sen2 )( cossen coscossen)( sensen.sensenA 0dy0y 2t0t x :C2 sentdtdy cost-1y 2t0 sent -tx :C1 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 021 ⇒− =⇒−= =⇒= −=− +−=⇒+−−=⇒+== ⎢⎣ ⎡ =⇒= ≤≤= ⎢⎣ ⎡ =⇒= ≤≤= ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ tI tvtdv dtdutu tdttttdttI dttttAottdtttAxdyxdyxdy ccc πππ π π π 3A2A)II()I(A t2sen 4 1t 2 1 dt t2cos 2 1 2 1(II) 2 0 2 0 =⇒+=⇒+= ⇒−⇒⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −∫ π2 Capítulo 4- Teorema de Green 51 7) Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva dyxe2dxe y c y +∫ C é o quadrado de lados x=0, x=1, y=0, y=1. Solução: ( ) ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫ −====−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 edyedyxedxdyedxdyeedxdy y P x Q yyyyy 8) Seja ( ){ } ( ) )r(Q)y,x(Q),r(Py,xP ,1yx:y,xD 222 ==≤+ℜ∈= funções de classe C1 que dependem somente da distância à origem. Mostre que 0dxdy y P x Q D =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂∫∫ Solução: 1yx:)y,x{( 222 =+ℜ∈γ dy)1(Qdx)1(Pdxdy y P x Q D D +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ ∫∫∫ Se considerarmos DyxQyxQPyxP ∈== ),(),1(),( e )1(),( isto é, P e Q são constantes em D então: 0dxdy y P x Qdy)1(Bdx)1(A D =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂=+ ∫∫∫ γ 9) Seja C a circunferência: 1yx 22 =+ . Calcule ∫ +c 223 dyyx6dxxy4 . )1,0( )0,0( )1,1( )0,1( Capítulo 4- Teorema de Green 52 Solução: ∫∫ =−⇒ R 22 0dxdy)xy12xy12( 10) Verificar o Teorema de Green no plano para ( )∫ ++C 22 dyxdxyxy , onde C e a curva fechada da região limitada por .xy;xy 2== Solução: As equações acima cortam-se em (0, 0) e (1, 1), no sentido positivo do percurso. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫∫ =−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=−= =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +∂ ∂−∂ ∂=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ 1 0 1 0 1 0 2 22 2 2 2 22 x x x x x x RR dxyxydxdyyxdydxyx dxdyyxy y x x dxdy y M x N = ( )∫ −=−10 34 .201dxxx Capítulo 4- Teorema de Green 53 11) Calcule ∫ −−C 3 xydydx)yx2( ; C é a fronteira da região limitada pelas curvas .9;4 2222 =+=+ yxyx Solução: yyx x Q yyx y P −=∂ ∂ −=∂ ∂ ),( 3),( 2 Domínio: )3r2( )20( ≤≤ ≤≤ πθ }{ θθσ sen;cos ryrx === ∫ ∫∫∫ =+−=−−−= π θθθ20