Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap4
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c
x=v1(y) x=v2(y)
a b
Figura 4.2- Região plana
Assim, tem-se:
\u222b \u222b\u222b \u222b == =\u2202\u2202\u2212=\u2202\u2202\u2212 ba )x(2uy )x(1uy dydxyPdxdyyP (4.2)
\u222b =\u2212ba 21 dx))]x(u,x(P))x(u,x(P{[ (4.3)
\u222b\u222b =\u2212 ba 21ba dx))x(u,x(Pdx))x(u,x(P (4.4)
dxP
D\u222b\u2202= (4.5)
Analogamente, usando a resolução anterior, mostramos que:
dyQdxdy
x
Q
D D\u222b \u222b \u222b\u2202=\u2202\u2202 (4.6)
Se D não é simples, a decompomos como união finita de regiões simples, digamos
D=D1U...DnU, onde cada região simples Dk tem fronteira \u2202DkC1 por partes (k=1, ...,n), e
aplicamos o teorema de Green a cada região Dk, obtendo:
dyQPdxdxdy
y
P
x
Q
KD
KD
\u222b\u222b \u222b \u2202 +=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202 (4.7)
D
D
Capítulo 4- Teorema de Green
46
Conseqüentemente,
=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202\u222b \u222b dxdyyPxQD (4.8)
=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202++\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202 \u222b \u222b\u222b \u222b dxdyyPxQ...dxdyyPxQ
nD1D
(4.9)
QdydxP...dyQPdx
nDnD
++++ \u222b\u222b \u2202\u2202 (4.10)
A fronteira de D é formada por partes das curvas \u2202Dk. As partes de \u2202Dk que não
constituem a fronteira de D agem como fronteira comum às duas regiões simples. Uma parte \u3b4
de \u2202Dk que é fronteira comum às duas regiões simples será percorrida duas vezes em sentidos
opostos. Mas pelo teorema:
0QdydxPdyQPdx =+++ \u222b\u222b
\u2212\u3b4\u3b4
(4.11)
Portanto, enquanto as partes das curvas \u2202Dk que formam a fronteira de D contribuem
para QdydxP
D
+\u222b\u2202 , as outras partes se cancelam, fornecendo assim:
dyQPdxdxdy
y
P
x
Q
D
D
\u222b\u222b \u222b \u2202 +=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202 (4.12)
Teorema de Green para regiões Conectadas: Sejam C1, C2, Cn, n curvas suaves C1, tendo
as seguintes propriedades:
Nenhuma das curvas se interceptam;
As curvas C2, ..., Cn estão todas no interior de C1.
Demonstração:
C1
A B C2 C D
Figura 4.3- Regiões Multiplamente Conectadas
\u222b \u222b \u222b \u222b =+++++++AB BC CD DA QdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx
Capítulo 4- Teorema de Green
47
dxdy
y
P
x
Q
1K\u222b \u222b \u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202= (4.13)
\u222b \u222b \u222b \u222b =+++++++BA AD DC CB QdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx
dxdy
y
P
x
Q
2k\u222b \u222b \u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202= (4.14)
Somando-se (4.13) e (4.14), tem-se:
\u222b \u222b \u222b \u222b \u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202=+\u2212+
1 2C C K
dxdy
y
P
x
QQdyPdxQdyPdx (4.15)
Para uma região simplesmente conceituada a condição
x
Q
y
P
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202 , implica que a
integral é independente do caminho.
4.2.1.
Cálculo de Áreas Utilizando o Teorema de Green
Como a área de uma região K é \u222b \u222b \u222b \u222b=K K dxdydA desejamos escolher P e Q
de modo que .1
y
P
x
Q =\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202 Teremos então:
\u222b \u222b\u222b =\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202=+\u3b4 K dxdyy
P
x
QQdyPdx (4.16)
\u222b \u222b\u222b=+= \u3b4 K dxdyQdyPdx
Como a área de uma região K é \u222b\u222b\u222b\u222b = KK dxdydA , desejamos escolher P e Q de modo
que 1
y
P
x
Q =\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202 , teremos então:
\u222b \u222b\u222b\u222b\u222b\u222b =+=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202=+ \u3b4\u3b4 KK dxdyQdyPdxdxdyy
P
x
QQdyPdx (4.17)
Exercícios:
1) Calcule ( ) dy y
2
xdx
2
yx 42
c
22
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b ++\u2212\u222b\u222b , onde C é a fronteira da região D definida
por }0y,0x,4yx1|)y,x{(D 222 \u2265\u2265\u2264+\u2264\u211c\u2208= orientada no sentido anti-horário.
Capítulo 4- Teorema de Green
48
Solução:
( )
( )
( ) ( )[ ]
3
141001
3
70cos
2
cos0
23
7
)(cos
3
1
3
8cos
3
))()(cos(
2
0
2
0
2
1
3
2
0
2
1
2
=\u2212\u2212\u2212=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212\u2212\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212=
=+\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212=+=
=+=+=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202
\u222b\u222b
\u222b \u222b\u222b\u222b\u222b\u222b
\u3c0\u3c0
\u3b8\u3b8\u3b8\u3b8\u3b8\u3b8
\u3b8\u3b8\u3b8
\u3c0\u3c0
\u3c0
sinsin
dsindsinr
drdsinrdxdyyxdxdy
y
P
x
Q
cc
2) Seja c a elipse: 4y4x 22 =+ , temos \u222b\u222b\u222b =+=++\u2212 Rc A2dxdy)11(dy)y3x(dx)yx2(
Onde A é a área de R. Como os semi-eixos da elipse são a=2, b=1, a área é \u3c0ab=2\u3c0 e o valor
da integral curvilínea é 4\u3c0
3)Calcular a área limitada pela elipse 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
Solução:
[ ] ( )
( ) ab abdt
2
1dt tsentasenbtcosbtcosa
2
1ydxxdy
2
1A
tsenb,tcosa2,0t
2
0
2
0
\u3c0
\u3c0
\u3c0 \u3c0
\u222b \u222b \u222b \u21d2\u21d2++\u21d2\u2212=
\u2192\u2208
4) Consideremos j)y,x(Bi)y,x(A)y,x(F
rr += onde A e B\u2208 C1 com
y
A
x
B
\u2202
\u2202=\u2202
\u2202 na
região S dada abaixo. Prove que \u222b \u222b=
1 2
rd.Frd.F
\u3b3 \u3b3
rrrr , onde \u3b31 e \u3b32 são percorridas no sentido anti-
horário.
Capítulo 4- Teorema de Green
49
Solução:
,
0dxdy
y
P
x
Qrd.Frd.F
s12
=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202=\u2212 \u222b\u222b\u222b\u222b
\u3b3\u3b3
rrrr , pois por hipótese
y
P
x
Q
\u2202
\u2202=\u2202
\u2202
em S. Portanto,
\u222b\u222b =
12
rd.Frd.F
\u3b3\u3b3
rrrr
5) Calcule \u222b\u3b3 \u3b3d.Fr , onde ( ) j x5yx3i yx4)y,x(F 2433 rrr ++= e \u3b3 ,a fronteira do quadrado de área
igual a 4. (\u3b3 está no sentido anti-horário)
Solução:
\u222b\u222b \u222b\u222b\u222b\u222b =×=×==\u2212+=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202
\u3b3 \u3b3\u3b3
204555)12512( 2323 Adxdydxdyyxyxdxdy
y
P
x
Q
onde A é a área do quadrado.
6)Calcule a área da região limitada pela curva \u3c020,cos1 ;sen \u2264\u2264\u2212=\u2212= ttyttx
e pelo eixo x.
S
\u3b31
\u3b32
)2,0( )2,2(
Capítulo 4- Teorema de Green
50
Solução:
( ) ( )
\u3c0\u3c0
\u3c0\u3c0
\u3c0
\u3c0
\u3c0
\u3c0
\u3c0\u3c0 \u3c0
2 sen2 )(
cossen
coscossen)(
sensen.sensenA
0dy0y
2t0t x
:C2
sentdtdy cost-1y
2t0 sent -tx
:C1
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
021
\u21d2\u2212
=\u21d2\u2212=
=\u21d2=
\u2212=\u2212
+\u2212=\u21d2+\u2212\u2212=\u21d2+==
\u23a2\u23a3
\u23a1
=\u21d2=
\u2264\u2264=
\u23a2\u23a3
\u23a1
=\u21d2=
\u2264\u2264=
\u222b\u222b
\u222b\u222b \u222b\u222b\u222b\u222b
tI
tvtdv
dtdutu
tdttttdttI
dttttAottdtttAxdyxdyxdy
ccc
\u3c0\u3c0\u3c0
\u3c0
\u3c0
\u3c0
3A2A)II()I(A
t2sen
4
1t
2
1 dt t2cos
2
1
2
1(II)
2
0
2
0
=\u21d2+=\u21d2+=
\u21d2\u2212\u21d2\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212\u222b
\u3c02
Capítulo 4- Teorema de Green
51
7) Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com
orientação positiva dyxe2dxe y
c
y +\u222b C é o quadrado de lados x=0, x=1, y=0, y=1.
Solução:
( ) \u222b\u222b \u222b \u222b\u222b \u222b\u222b\u222b \u2212====\u2212=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202 1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1 2 edyedyxedxdyedxdyeedxdy
y
P
x
Q yyyyy
8) Seja ( ){ } ( ) )r(Q)y,x(Q),r(Py,xP ,1yx:y,xD 222 ==\u2264+\u211c\u2208= funções de classe C1 que
dependem somente da distância à origem. Mostre que 0dxdy
y
P
x
Q
D
=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202\u222b\u222b
Solução:
1yx:)y,x{( 222 =+\u211c\u2208\u3b3
dy)1(Qdx)1(Pdxdy
y
P
x
Q
D
D
+=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202 \u222b\u222b\u222b
Se considerarmos DyxQyxQPyxP \u2208== ),(),1(),( e )1(),( isto é, P e Q são
constantes em D então:
0dxdy
y
P
x
Qdy)1(Bdx)1(A
D
=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202=+ \u222b\u222b\u222b
\u3b3
9) Seja C a circunferência: 1yx 22 =+ . Calcule \u222b +c 223 dyyx6dxxy4 .
)1,0(
)0,0(
)1,1(
)0,1(
Capítulo 4- Teorema de Green
52
Solução:
\u222b\u222b =\u2212\u21d2
R
22 0dxdy)xy12xy12(
10) Verificar o Teorema de Green no plano para ( )\u222b ++C 22 dyxdxyxy , onde C e a curva fechada
da região limitada por .xy;xy 2==
Solução:
As equações acima cortam-se em (0, 0) e (1, 1), no sentido positivo do percurso.
( ) ( )
( ) ( ) ( )\u222b \u222b \u222b \u222b\u222b
\u222b\u222b\u222b\u222b
=\u2212=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212=\u2212=
=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1 +\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2202
\u2202\u2212\u2202
\u2202
1
0
1
0
1
0
2
22
2
2
2
22
x
x
x
x
x
x
RR
dxyxydxdyyxdydxyx
dxdyyxy
y
x
x
dxdy
y
M
x
N
= ( )\u222b \u2212=\u221210 34 .201dxxx
Capítulo 4- Teorema de Green
53
11) Calcule \u222b \u2212\u2212C 3 xydydx)yx2( ; C é a fronteira da região limitada pelas curvas
.9;4 2222 =+=+ yxyx
Solução:
yyx
x
Q
yyx
y
P
\u2212=\u2202
\u2202
\u2212=\u2202
\u2202
),(
3),( 2
Domínio:
)3r2(
)20(
\u2264\u2264
\u2264\u2264 \u3c0\u3b8
}{ \u3b8\u3b8\u3c3 sen;cos ryrx ===
\u222b \u222b\u222b\u222b =+\u2212=\u2212\u2212\u2212= \u3c0 \u3b8\u3b8\u3b820