Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap4

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4. 
Teorema de Green 
4.1. 
Introdução 
George Green foi um pioneiro na aplicação de matemática para problemas físicos. Ele 
era um moleiro que viveu em Nottingham toda sua vida e teve muito pouca educação formal 
até ter completado a maior parte de seu melhor trabalho. Como resultado das suas 
circunstâncias, ele recebeu pequeno reconhecimento público na vida, e foi William Thomson 
(Lord Kelvin) que primeiro reconheceu o valor do seu trabalho e tornou-o de larga 
publicidade. Uma extensão do teorema de Green, o teorema de Stokes, foi também descoberto 
a partir de William Thomson. Stokes soube desse teorema por uma carta de Thomson em 
1850 e pediu a seus estudantes para prová-lo num exame em Cambridge em 1854. Não se 
sabe se algum de seus estudantes foi capaz de fazê-lo. 
O trabalho de Green teve grande influência e hoje em dia é lembrado principalmente 
pelo teorema de Green em análises de vetor, tensor de Green (ou o tensor Cauchy-Green) na 
teoria de elasticidade e acima de tudo as funções de Green para resolver equações 
diferenciais. A técnica da função de Green tem sido muito extensamente aplicada a equações 
que surgem em física clássica e engenharia e recentemente foi adaptada a problemas de 
mecânica quântica em áreas tão diversas como física nuclear, eletrodinâmica quântica e 
supercondutividade. 
 
4.1.1. 
A Vida de George Green 
George Green nasceu em Nottingham em 13 de julho de 1793. Por várias gerações seus 
antepassados foram fazendeiros na aldeia de Saxondale, a algumas milhas de Nottingham, 
mas o pai dele, o mais jovem de três filhos, tinha sido enviado para lá em 1774 para ser 
aprendiz de um padeiro em Nottingham. Com o tempo ele comprou a própria padaria e 
prosperou, adquirindo terra e propriedades, as quais ele alugou, como também um armazém 
nas margens do rio Lean, onde ele armazenava grãos antes de enviar para que fossem moídos 
para a padaria. Quando George tinha oito anos, enviaram-no para a Robert Goodacre’s 
Academy. A instrução dele durou só quatro períodos, e começou ajudar na padaria. Ele teve 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
40
 
sorte de que seu pai o enviou para aquela escola particular, Robert Goodacre era um professor 
de ciência entusiástico. Goodacre se tornou um locutor popular em astronomia e dissertou ao 
longo das Ilhas britânicas e América. Assim, George Green teria adquirido um gosto para 
ciência, embora seja duvidoso que o professor Goodacre poderia tê-lo incentivado muito em 
matemática; Goodacre não tinha tido nenhum treinamento formal e tinha sido aprendiz de 
alfaiate antes de se tornar um professor. 
 Assim à idade de nove anos, George Green havia recebido toda a educação formal que 
ele adquirira até os quarenta anos. Havia livrarias em Nottingham onde ele poderia comprar 
livros de ensino e enciclopédias, mas não havia ainda nenhuma biblioteca. É possível que ele 
possa ter recebido algum aconselhamento para leitura de um dos matemáticos diplomados que 
viveram em Nottingham. 
Quando Green tinha 14 anos, seu pai construiu um moinho de vento em Sneinton, uma 
aldeia separada uma milha ou mais de Nottingham. Era torre de moinho de cinco pavimentos 
com estábulos para oito cavalos e armazenamento para feno e milho. Moer era um comércio 
qualificado e ele empregou um capataz-gerente, William Smith que morava em uma cabana 
ao lado do moinho. O moinho não podia ser facilmente trabalhado por uma só pessoa; George 
ajudou William Smith, e então aprendeu a operar o moinho. Esta deve ter sido uma mudança 
excitante da padaria para um menino de 14 anos, e teria sido uma vida difícil, principalmente 
ao ar livre. Quando havia vento o bastante, ele trabalhava longas horas, até à noite. Como os 
Green ainda estavam vivendo em Nottingham, parece provável que George ficava durante a 
noite com os Smith ou talvez dormiu no moinho ao invés de voltar caminhando pela escuridão 
e ruas provavelmente perigosas de Nottingham. Parece provável também que durante este 
tempo ele teria gasto alguns dos dias tranqüilos estudando matemática enquanto esperava o 
vento vir. Certamente sua filha mais jovem, Clara, que viveu até 1919, contou ao Professor 
Granger da University College, Nottingham, que o pai dela usou o chão do moinho como um 
local de estudo. 
Quando Green tinha 24 anos, ele e os pais mudaram-se para uma casa com cinco 
quartos que eles construíram próximo ao moinho e alguns anos depois ela se juntou à 
Biblioteca de Nottingham, recentemente aberta. Esta logo se tornou o centro de vida 
intelectual em Nottingham. Continha uma coleção modesta de livros de ensino matemáticos e 
científicos, e, de grande importância, tinha os jornais científicos britânicos importantes. Estes 
normalmente também incluíram os títulos e resumos de documentos de jornais estrangeiros, 
de forma que Green poderia seguir o que estava sendo feito em outro lugar. Em princípio, ele 
poderia ter escrito aos autores pedindo cópias dos documentos deles. 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
41
 
George Green publicou o seu primeiro documento "Um Ensaio na Aplicação de Análise 
Matemática para as Teorias de Eletricidade e Magnetismo" em 1828, à idade de 35 anos. Era 
um grande trabalho de originalidade notável. Ele inventou técnicas matemáticas 
completamente novas para resolver os problemas que surgiram na análise e teria tido um 
efeito imediato e profundo se tivesse sido lido por outros trabalhadores na área. Infelizmente, 
não teve este efeito até alguns anos depois de sua morte. Ele foi aconselhado que como não 
tinha tido nenhum treinamento formal e a posição social dele era modesta, não deveria enviar 
o documento a um jornal científico. Então, ao invés disso, ele teve seu trabalho impresso 
reservadamente em Nottingham e distribuiu algumas cópias para outros matemáticos e físicos 
que trabalhavam na Inglaterra. Não teve nenhum impacto; dificilmente alguém na Inglaterra 
teria trabalhado nesta área. Matemáticos britânicos estavam interessados em mecânica, ótica, 
astronomia, movimento planetário e hidrodinâmica; a inspiração de Green veio da França, de 
Laplace e Poisson, mas ninguém parece ter visto seu trabalho lá. Esta falta de resposta deve 
ter deprimido Green, mas ele começou a trabalhar logo em um segundo documento. Ele 
recebeu valioso encorajamento de Senhor Edward Bromhead, um matemático de Cambridge 
diplomado e influente que viveu em Lincolnshire e claramente percebeu habilidade 
excepcional em Green. 
Green procurou áreas de muito mais interesse a físicos matemáticos britânicos e, com a 
influência de Bromhead, ele começou a publicar documentos nos jornais científicos. A vida 
familiar dele também mudou consideravelmente aproximadamente neste tempo, quando o seu 
pai morreu. Sua mãe havia morrido alguns anos antes, então Green se tornou um homem 
bastante rico. Ele deixou de moer e arrendou o moinho em 1833, à idade de 40. Com a ajuda 
de Bromhead ele entrou em Cambridge como um estudante universitário para conseguir um 
diploma em matemática. Ele conseguiu seu diploma em 1837 e logo depois foi eleito por 
companheirismo à faculdade Gonville e Caius. 
Green manteve o posto por somente dois anos quando ficou doente e voltou a 
Nottingham, onde ele morreu em 1841, deixando a esposa, Jane Smith, e sete filhos. 
Tristemente, o inteiro valor do seu trabalho não foi apreciado até sua morte. 
 
4.1.2. 
A Matemática de Green 
A matemática de Green era quase toda desenvolvida para resolver problemas físicos 
muito gerais. O primeiro interesse dele estava em eletrostática. A lei do quadrado-inverso 
tinha sido recentemente estabelecida experimentalmente, e ele quis calcular como isto 
determinou a distribuição de carga nas superfícies de condutores. Ele fez grande uso do 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
42
 
potencial elétrico (e deu este nome) e um dos teoremas que ele provou neste trabalho ficou 
famoso com o teorema de Green. Relaciona as propriedades defunções matemáticas às 
superfícies de um volume fechado para outras propriedades internas. Em sua forma habitual, o 
teorema envolve duas funções, mas é simplificado prontamente ao que é chamado 
freqüentemente o teorema da divergência ou o teorema de Gauss. 
Para ilustrar o teorema, nós consideramos gás vazando de buracos nas paredes de um 
cilindro de gás. A massa que sai por segundo por unidade de área iguala o produto da 
densidade do gás e sua velocidade a cada buraco. Assim nós podemos achar a taxa de perda 
total integrando em cima de todos os buracos. (A integral pode ser de fato realizada por toda a 
superfície desde que a contribuição do resto seja zero). Mas esta taxa de perda da superfície 
tem que igualar a soma das massas que partem por segundo de todos os pequenos elementos 
dV de volume dentro da superfície e isto pode ser achado integrando uma função particular 
em cima do volume inteiro V. A função é o resultado de um operador diferencial chamado 
representação da divergência no produto de densidade e velocidade do gás ao elemento dV. O 
teorema que relaciona a integral em cima da superfície para a integral em cima do volume 
interno é útil em muitos ramos da física. Por exemplo, em eletrostática, um desenvolvimento 
próximo relacionado a isto une o fluxo elétrico que deixa uma superfície ao total de carga 
dentro dela. 
Outra técnica poderosa inventada por Green é usada para resolver equações diferenciais. 
Esta técnica pode ser aplicada a outros sistemas mais complicados. Em um circuito elétrico a 
função de Green é a corrente devido a um pulso de tensão aplicado. Em eletrostática a função 
de Green é o potencial devido a uma mudança aplicada a um ponto particular no espaço. Em 
geral a função de Green é a resposta de um sistema a um estímulo aplicado a um ponto 
particular no espaço ou tempo. Este conceito foi adaptado prontamente à física quântica onde 
o estímulo aplicado é a injeção de um quantum de energia. É no domínio do quantum que a 
aplicação de funções de Green para problemas físicos têm crescido espetacularmente nas 
últimas décadas. 
Green também fez um trabalho muito original em elasticidade onde ele é lembrado 
através do tensor de Green. As propriedades elásticas de um sólido isotrópico são bastante 
simples. Se a tensão é aplicada, todas as deformações podem ser calculadas através da 
magnitude e direção da tensão e de somente dois módulos elásticos (o módulo de elasticidade 
e o módulo de rigidez). Mas em um cristal as propriedades elásticas podem variar 
consideravelmente de uma direção a outra. Green mostrou que na maioria dos casos gerais são 
necessários 21 módulos diferentes para descrever a tensão. Ele também mostrou como a 
simetria pode reduzir este número. Ele foi envolvido neste problema porque ele estava 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
43
 
interessado no "espaço celeste". Àqueles tempos os cientistas acreditavam que um meio real, 
o espaço celeste, existia em todos lugares. No espaço cósmico ele foi necessário para trazer 
vibrações de luz das estrelas até nós. Fresnel tinha mostrado que a luz era uma onda 
transversal, assim o espaço celeste deveria ser um sólido uma vez que gases e líquidos 
poderiam suportar somente ondas longitudinais. Então, Green começou a analisar as 
propriedades de ondas em sólidos e isto o levou a considerar suas propriedades elásticas 
imediatamente. Ele também calculou o quanto de uma onda foi refletida e o quanto foi 
transmitida a uma interface e explicou o fenômeno de reflexão interna total. Neste trabalho, 
ele foi o primeiro a escrever sobre o princípio da conservação de energia, que teve ainda que 
ser estabelecido experimentalmente. Seu mais recente trabalho inclui o trabalho, por exemplo, 
em hidrodinâmica, um método de aproximação para resolver equações diferenciais que 
reapareceram um século depois como o método Wentzel-Kamers-Brillouin (WKB). Ele 
também foi o primeiro a declarar o princípio de Dirichlet. 
 
4.1.3. 
Trabalhos de George Green 
• Um ensaio na aplicação de análise matemática para as teorias de eletricidade e 
magnetismo; 
• Aplicação dos resultados preliminares na teoria de magnetismo; 
• Investigações matemáticas relativas às leis do equilíbrio de fluidos análogo ao fluido 
elétrico, com outras pesquisas semelhantes; 
• Na determinação das atrações exteriores e interiores de elipsóides de densidades variáveis; 
• No movimento de ondas em um canal variável de pequena profundidade e largura; 
• Na reflexão e refração de som; 
• Nota no movimento de ondas em canais; 
• Suplemento para uma dissertação da reflexão e refração de luz; 
• Na propagação de luz em meio cristalizadas; 
• Pesquisas na vibração de pêndulos em meios fluidos. 
 
4.1.4. 
Reconhecimento 
O trabalho de George Green recebeu pequeno reconhecimento popular, tanto durante a 
vida, como depois da sua morte, entretanto, foram reconhecidas as suas contribuições para 
ciência e foram desenvolvidas durante o século XIX por William Thomson, George Gabriel 
Stokes e outros. Seus trabalhos fizeram muito para estabelecer a reputação de Green na física 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
44
 
clássica e também demonstrar aplicações em Engenharia, onde importante uso é feito do 
Teorema de Green. 
O trabalho principal de Green em eletricidade e magnetismo estava negligenciado na 
Inglaterra em lugar desconhecido. Suas contribuições em outros campos que foram 
publicados entre 1835 e 1839 foram melhor conhecidas por seus contemporâneos, mas o 
verdadeiro valor delas não foi apreciado até muito tempo. Os cientistas praticantes não têm 
nenhuma dúvida da importância da contribuição de Green. Mas e o resto do mundo? Até 
mesmo em Nottingham, Green era uma figura obscura até recentemente, apesar de tentativas 
nos anos vinte de aprender mais sobre ele e dos esforços nos anos trinta pela Associação 
Britânica que restabeleceu seu sepulcro. 
Julian Schwinger (1918-1994), Nobel Laureate, e Freeman Dyson estabeleceram uma 
boa reputação para Green em física moderna. Nos anos 40, Schwinger mostrou que as funções 
de Green poderiam ser usadas muito efetivamente em mecânica quântica e poderiam ser 
aplicadas para eletrodinâmica quântica. Isto ampliou o campo de aplicações do trabalho de 
Green. 
Em 1972 houve a formação do Fundo Comemorativo de George Green, fundado no 
Departamento de Física da Universidade de Nottingham, 
Em 1985 foi promovida a restauração do Moinho de Green em Nottingham. 
Em julho de 1993, aconteceram as celebrações do Bicentenário de nascimento de Green 
em três cidades: Nottingham, Cambridge e Londres. 
 
 
 
 
4.2. 
Teorema de Green 
O teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada C 
no plano xy com uma integral dupla sobre a região limitada por C. este teorema será 
generalizado para curvas e superfícies no ℜ3. 
Definição:Seja D uma região limitada por uma curva simples e fechada C. Dizemos que 
a curva C tem orientação positiva se, para um observador que se desloque ao longo da referida 
curva, a região D se apresente sempre à sua esquerda: 
 
 
 
Figura 4.1- Região no plano 
 D 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
45
 
Teorema de Green: Seja D uma região fechada e limitada do plano xy, cuja fronteira 
∂D está orientada positivamente e é parametrizada por uma função C1 por partes, de modo 
que ∂ seja percorrida apenas uma vez. Se 
→
F (x, y)=(P(x, y),Q(x, y)) é um campo vetorial de 
classe C1 num subconjunto aberto que contém D, então: 
∫∫∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=+∂
D
D
dxdy 
y
P
x
QQdyPdx (4.1) 
Demonstração: 
Vamos considerar D uma região simples, ou seja, vamos supor que D pode ser descrita 
simultaneamente por : 
dyc),y(vx)y(v|)y,x{(De )}x(uy)x(u,bxa|)y,x{(D 21
2
21
2 ≤≤≤≤ℜ∈=≤≤≤≤ℜ∈= 
como mostra a figura a seguir: 
 
 
y=u2(x) d 
 
 
 
y=u1(x)c 
 x=v1(y) x=v2(y) 
 
 a b 
 
Figura 4.2- Região plana 
 
Assim, tem-se: 
∫ ∫∫ ∫ == =∂∂−=∂∂− ba )x(2uy )x(1uy dydxyPdxdyyP (4.2) 
∫ =−ba 21 dx))]x(u,x(P))x(u,x(P{[ (4.3) 
∫∫ =− ba 21ba dx))x(u,x(Pdx))x(u,x(P (4.4) 
dxP
D∫∂= (4.5) 
Analogamente, usando a resolução anterior, mostramos que: 
 dyQdxdy
x
Q
D D∫ ∫ ∫∂=∂∂ (4.6) 
Se D não é simples, a decompomos como união finita de regiões simples, digamos 
D=D1U...DnU, onde cada região simples Dk tem fronteira ∂DkC1 por partes (k=1, ...,n), e 
aplicamos o teorema de Green a cada região Dk, obtendo: 
 dyQPdxdxdy
y
P
x
Q
KD
KD
∫∫ ∫ ∂ +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂ (4.7) 
D 
D 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
46
 
Conseqüentemente, 
 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂∫ ∫ dxdyyPxQD (4.8) 
 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂ ∫ ∫∫ ∫ dxdyyPxQ...dxdyyPxQ
nD1D
 (4.9) 
 QdydxP...dyQPdx
nDnD
++++ ∫∫ ∂∂ (4.10) 
A fronteira de D é formada por partes das curvas ∂Dk. As partes de ∂Dk que não 
constituem a fronteira de D agem como fronteira comum às duas regiões simples. Uma parte δ 
de ∂Dk que é fronteira comum às duas regiões simples será percorrida duas vezes em sentidos 
opostos. Mas pelo teorema: 
0QdydxPdyQPdx =+++ ∫∫
−δδ
 (4.11) 
Portanto, enquanto as partes das curvas ∂Dk que formam a fronteira de D contribuem 
para QdydxP
D
+∫∂ , as outras partes se cancelam, fornecendo assim: 
dyQPdxdxdy
y
P
x
Q
D
D
∫∫ ∫ ∂ +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂ (4.12) 
 
Teorema de Green para regiões Conectadas: Sejam C1, C2, Cn, n curvas suaves C1, tendo 
as seguintes propriedades: 
Nenhuma das curvas se interceptam; 
As curvas C2, ..., Cn estão todas no interior de C1. 
 
Demonstração: 
 
C1 
 
 A B C2 C D 
 
 
 
Figura 4.3- Regiões Multiplamente Conectadas 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ =+++++++AB BC CD DA QdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx 
 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
47
 
dxdy
y
P
x
Q
1K∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂= (4.13) 
 
∫ ∫ ∫ ∫ =+++++++BA AD DC CB QdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx
dxdy
y
P
x
Q
2k∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂= (4.14) 
 
Somando-se (4.13) e (4.14), tem-se: 
∫ ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=+−+
1 2C C K
dxdy
y
P
x
QQdyPdxQdyPdx (4.15) 
 
Para uma região simplesmente conceituada a condição 
x
Q
y
P
∂
∂−∂
∂ , implica que a 
integral é independente do caminho. 
 
4.2.1. 
Cálculo de Áreas Utilizando o Teorema de Green 
Como a área de uma região K é ∫ ∫ ∫ ∫=K K dxdydA desejamos escolher P e Q 
de modo que .1
y
P
x
Q =∂
∂−∂
∂ Teremos então: 
∫ ∫∫ =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=+δ K dxdyy
P
x
QQdyPdx (4.16) 
 
∫ ∫∫=+= δ K dxdyQdyPdx 
 
Como a área de uma região K é ∫∫∫∫ = KK dxdydA , desejamos escolher P e Q de modo 
que 1
y
P
x
Q =∂
∂−∂
∂ , teremos então: 
 
∫ ∫∫∫∫∫ =+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=+ δδ KK dxdyQdyPdxdxdyy
P
x
QQdyPdx (4.17) 
 
 
Exercícios: 
1) Calcule ( ) dy y
2
xdx 
2
yx 42
c
22
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−∫∫ , onde C é a fronteira da região D definida 
por }0y,0x,4yx1|)y,x{(D 222 ≥≥≤+≤ℜ∈= orientada no sentido anti-horário. 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
48
 
Solução: 
 
( )
( )
( ) ( )[ ]
3
141001
3
70cos
2
cos0
23
7
 )(cos
3
1
3
8cos
3
))()(cos( 
2
0
2
0
2
1
3
2
0
2
1
2
=−−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=+=
=+=+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
∫∫
∫ ∫∫∫∫∫
ππ
θθθθθθ
θθθ
ππ
π
sinsin
dsindsinr
drdsinrdxdyyxdxdy
y
P
x
Q
cc
 
 
2) Seja c a elipse: 4y4x 22 =+ , temos ∫∫∫ =+=++− Rc A2dxdy)11(dy)y3x(dx)yx2( 
Onde A é a área de R. Como os semi-eixos da elipse são a=2, b=1, a área é πab=2π e o valor 
da integral curvilínea é 4π 
 
3)Calcular a área limitada pela elipse 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ 
Solução: 
[ ] ( )
( ) ab abdt
2
1dt tsentasenbtcosbtcosa
2
1ydxxdy
2
1A
tsenb,tcosa2,0t
2
0
2
0
π
π
π π
∫ ∫ ∫ ⇒⇒++⇒−=
→∈
 
 
4) Consideremos j)y,x(Bi)y,x(A)y,x(F
rr += onde A e B∈ C1 com 
y
A
x
B
∂
∂=∂
∂ na 
região S dada abaixo. Prove que ∫ ∫=
1 2
rd.Frd.F
γ γ
rrrr , onde γ1 e γ2 são percorridas no sentido anti-
horário. 
 
 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
49
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , 
 
0dxdy 
y
P
x
Qrd.Frd.F
s12
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=− ∫∫∫∫
γγ
rrrr , pois por hipótese 
y
P
x
Q
∂
∂=∂
∂
 em S. Portanto, 
∫∫ =
12
rd.Frd.F
γγ
rrrr
 
5) Calcule ∫γ γd.Fr , onde ( ) j x5yx3i yx4)y,x(F 2433 rrr ++= e γ ,a fronteira do quadrado de área 
igual a 4. (γ está no sentido anti-horário) 
Solução: 
∫∫ ∫∫∫∫ =×=×==−+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
γ γγ
204555)12512( 2323 Adxdydxdyyxyxdxdy
y
P
x
Q 
onde A é a área do quadrado. 
 
 6)Calcule a área da região limitada pela curva π20,cos1 ;sen ≤≤−=−= ttyttx 
e pelo eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
S 
 γ1 
 
 γ2 
)2,0( )2,2(
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
50
 
Solução: 
 
( ) ( )
ππ
ππ
π
π
π
π
ππ π
2 sen2 )(
cossen
coscossen)(
sensen.sensenA
0dy0y
 2t0t x
:C2 
sentdtdy cost-1y
 2t0 sent -tx
:C1
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
021
⇒−
=⇒−=
=⇒=
−=−
+−=⇒+−−=⇒+==
⎢⎣
⎡
=⇒=
≤≤=
⎢⎣
⎡
=⇒=
≤≤=
∫∫
∫∫ ∫∫∫∫
tI
tvtdv
dtdutu
tdttttdttI
dttttAottdtttAxdyxdyxdy
ccc
 
πππ
π
π
π
3A2A)II()I(A
t2sen 
4
1t
2
1 dt t2cos
2
1
2
1(II)
2
0
2
0
=⇒+=⇒+=
⇒−⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
π2
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
51
 
7) Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com 
orientação positiva dyxe2dxe y
c
y +∫ C é o quadrado de lados x=0, x=1, y=0, y=1. 
Solução: 
 
( ) ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫ −====−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂ 1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1 2 edyedyxedxdyedxdyeedxdy
y
P
x
Q yyyyy 
 
8) Seja ( ){ } ( ) )r(Q)y,x(Q),r(Py,xP ,1yx:y,xD 222 ==≤+ℜ∈= funções de classe C1 que 
dependem somente da distância à origem. Mostre que 0dxdy 
y
P
x
Q
D
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂∫∫ 
Solução: 
1yx:)y,x{( 222 =+ℜ∈γ 
dy)1(Qdx)1(Pdxdy 
y
P
x
Q
D
D
+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂ ∫∫∫ 
 
Se considerarmos DyxQyxQPyxP ∈== ),(),1(),( e )1(),( isto é, P e Q são 
constantes em D então: 
0dxdy 
y
P
x
Qdy)1(Bdx)1(A
D
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=+ ∫∫∫
γ
 
 
 
 
9) Seja C a circunferência: 1yx 22 =+ . Calcule ∫ +c 223 dyyx6dxxy4 . 
 
)1,0(
)0,0(
)1,1(
)0,1(
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
52
 
 
Solução: 
 
∫∫ =−⇒
R
22 0dxdy)xy12xy12( 
 
10) Verificar o Teorema de Green no plano para ( )∫ ++C 22 dyxdxyxy , onde C e a curva fechada 
da região limitada por .xy;xy 2== 
Solução: 
As equações acima cortam-se em (0, 0) e (1, 1), no sentido positivo do percurso. 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫∫
∫∫∫∫
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +∂
∂−∂
∂=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
1
0
1
0
1
0
2
22
2
2
2
22
x
x
x
x
x
x
RR
dxyxydxdyyxdydxyx
dxdyyxy
y
x
x
dxdy
y
M
x
N
 
= ( )∫ −=−10 34 .201dxxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
53
 
11) Calcule ∫ −−C 3 xydydx)yx2( ; C é a fronteira da região limitada pelas curvas 
.9;4 2222 =+=+ yxyx 
Solução: 
yyx
x
Q
yyx
y
P
−=∂
∂
−=∂
∂
),(
3),( 2
 Domínio:
)3r2(
)20(
≤≤
≤≤ πθ
 
}{ θθσ sen;cos ryrx === 
 
∫ ∫∫∫ =+−=−−−= π θθθ2032 22 ))sen(3sen())3(( rdrdrrdxdyyyA
C
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=+−= ∫∫ ∫ θθθθθθ ππ drrdrdrr
3
2
2
0
2
432
0
3
2
232 sen
4
3sen
3
)sen3sen( 
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−= ∫∫ ππ θθθθθθ 2020 2 2 2cos14195sen319sen4195sen319 dd 
 ( ) ππθθθ ππ
4
1952
8
195
2
2sen
8
195cos
3
19 2
0
2
0 =⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−−= 
 
12) Calcule ∫ −++C dyxydxyx )()( ; C é a circunferência 
( )
⎩⎨
⎧
=
==−+ θ
θσ
rseny
rx
axyx
cos
;0222 
Solução: 
)cosa2r0();20( θπθ ≤≤≤≤ 
2
2
0
2
cos2
0
2
0
cos2
0
2
0
2
2
2
2cos12
2
aadrrdrdA
a
a πθθθ
πθπ θ π =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛== ∫ ∫ ∫ 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
54
 
 
13) Calcule ∫ →→⋅
c
rdF onde 
→
F = (2xy – x²)
→
i +(x +y²)
→
j , e C é a linha delimitadora, 
tomada em sentido anti-horário, da região R limitada pela parábola y = x² e pela reta 
 y = x. 
Solução: 
( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ ⇒−⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −∂
∂−+∂
∂⇒⋅ →→
RRC
dxdyx21dxdy²xxy2
y
²yx
x
rdF
 
 
 ( ) ( )[ ] ⇒−⇒− ∫∫ ∫ dxyy21dydxx21 10 x²x10 x²x ( )( ) ⇒−−∫ dx²xxx2110 
 
( ) 0
2
²x³x
2
xdxx²x3³x2
1
0
41
0
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−⇒+−∫ 
 
14) Use o teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C, 
onde C é a linha perimetral do triângulo OAB, tomada no sentido anti-horário, com A = (1,0) 
e B= (1,1). 
 
Solução: 
 
P(x,y) = x² - y, Q(x,y) = x + y², e R é a região triangular limitada por OAB. Logo, 
 
( ) ( ) 1y²x
yy
Pe1²yx
xx
Q −=−∂
∂=∂
∂=+∂
∂=∂
∂ 
 
Logo pelo teorema de Green 
 
( ) ( )dy²yxdxy²x
C
++−∫ [ ] dxdy)1(1dxdyyPxQ RR ∫∫∫∫ −−⇒⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂⇒ 
 
Como podemos ver pelos limites a área do triângulo será ½, então: 
 
 
( ) ( ) 1dy²yxdxy²x
C
=++−∫ 
∫∫∫∫ ×⇒⇒
RR
triângulodoáreadxdydxdy )(222 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
55
 
 
15) Calcular a integral de linha ( ) dyex5dxx1y2I ²y
c
5 ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++= ∫ 
sobre a circunferência 4²y²x =+ 
Solução: 
Através do Teorema de Green teremos: 5x1y2P ++= e ²yex5Q −= 
2
y
P =∂
∂ e 5
x
Q =∂
∂ 
( ) ⇒−= ∫∫ dA25I
R
 ⇒= ∫∫
R
dA3I 
3=I x (área do círculo) 
 Como a área do círculo é πr2 , e pela equação da circunferência sabemos que seu raio é 
2, então: π12=I 
 
16) Utilize o teorema de Green e calcule: ( ) ( )∫ ++−
C
22 dyyxdxxxy2 , onde C é a curva 
fechada da região limitada por .xy;xy 22 == 
Solução: 
As curvas y=x2 e y2=x interceptam-se em (0,0) e (1,1). 
( ) ( )∫∫ ∫∫ =⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −∂
∂−+∂
∂=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
R R
dxdyxxy
y
yx
x
dxdy
y
P
x
Q 22 2 
( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∫ ∫ =−=−=−=
R
x
x
x
x
dxxyydydxxdxdyx
1
0
1
02
222121 
.
30
122
1
0
322
3
2
1∫ =⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−−= dxxxxx 
 
 
17) Sejam P(x,y) e Q(x,y), funções reais de classe C1 em U=IR2 – {A, B}, tais que 
 
x
Q
y
P
∂
∂=∂
∂ em U. Sendo C1, C2, C3 as curvas, calcule ∫ +3C QdyPdx , supondo que 
∫∫ =+=+ 2 .15 ; 12
1
C
C
QdyPdxQdyPdx 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
56
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 KKK =+ 21 
 
∫∫∫
∫∫
∫∫ ∫ ∫
∫∫
∫∫ ∫ ∫
∫∫∫∫ ∫∫
−=−+=+++=+
−=+⇒=−+∴
=+−+−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
=+⇒=−+∴
=+−+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
3231
3232
32
3131
31
3)15(12
15015- 
0
12012 
0
0
3
2 2
1 1
1 2
QdyPdxQdyPdxQdyPdx
QdyPdxQdyPdx
QdyPdxQdyPdxdxdy
y
P
x
Q
QdyPdxQdyPdx
QdyPdxQdyPdxdxdy
y
P
x
Q
dxdy
y
P
x
Qdxdy
y
P
x
Qdxdy
y
P
x
Q
C
K C
K C
KK K
 
 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
57
 
18) Calcule ∫ ++C xx dy)xycose(ydxsene , onde c é o arco da circunferência, 1yx 22 =+ ,no 
primeiro quadrante, orientado no sentido anti-horário. 
Solução: 
O campo vetorial ( )xycose,ysene)y,x(F xx +=→ é de classe C1 em IR2. Podemos aplicar 
o teorema de Green à região limitada por C, γ1, γ2. 
Como ( ) ycose)y,x(
y
P;1ycosey,x
x
Q xx =∂
∂+=∂
∂ , segue do teorema de Green que 
∫∫==
D
dxdy1áreaD
4
π e ∫∫ ∫ ∫ ∫ +++++=
D
C 1 2
.QdyPdxQdyPdxQdyPdxdxdy1 γ γ 
 
As curvas 1γ e 2γ são parametrizadas por 0t1),t,0()t( ≤≤−=σ , e 1t0),o,t()t( ≤≤=σ , 
respectivamente. Portanto, 
 
[ ] 1sentsendtcotPdxdy 0
1
0
1 −=−=−=∫ ∫− −γ e ∫ ∫ ==+2 10 .0dt0QdyPdxγ 
1sen
4
QdyPdx
K
+=+∫ π