Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap4

c 
 x=v1(y) x=v2(y) 
 
 a b 
 
Figura 4.2- Região plana 
 
Assim, tem-se: 
∫ ∫∫ ∫ == =∂∂−=∂∂− ba )x(2uy )x(1uy dydxyPdxdyyP (4.2) 
∫ =−ba 21 dx))]x(u,x(P))x(u,x(P{[ (4.3) 
∫∫ =− ba 21ba dx))x(u,x(Pdx))x(u,x(P (4.4) 
dxP
D∫∂= (4.5) 
Analogamente, usando a resolução anterior, mostramos que: 
 dyQdxdy
x
Q
D D∫ ∫ ∫∂=∂∂ (4.6) 
Se D não é simples, a decompomos como união finita de regiões simples, digamos 
D=D1U...DnU, onde cada região simples Dk tem fronteira ∂DkC1 por partes (k=1, ...,n), e 
aplicamos o teorema de Green a cada região Dk, obtendo: 
 dyQPdxdxdy
y
P
x
Q
KD
KD
∫∫ ∫ ∂ +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂ (4.7) 
D 
D 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
46
 
Conseqüentemente, 
 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂∫ ∫ dxdyyPxQD (4.8) 
 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂ ∫ ∫∫ ∫ dxdyyPxQ...dxdyyPxQ
nD1D
 (4.9) 
 QdydxP...dyQPdx
nDnD
++++ ∫∫ ∂∂ (4.10) 
A fronteira de D é formada por partes das curvas ∂Dk. As partes de ∂Dk que não 
constituem a fronteira de D agem como fronteira comum às duas regiões simples. Uma parte δ 
de ∂Dk que é fronteira comum às duas regiões simples será percorrida duas vezes em sentidos 
opostos. Mas pelo teorema: 
0QdydxPdyQPdx =+++ ∫∫
−δδ
 (4.11) 
Portanto, enquanto as partes das curvas ∂Dk que formam a fronteira de D contribuem 
para QdydxP
D
+∫∂ , as outras partes se cancelam, fornecendo assim: 
dyQPdxdxdy
y
P
x
Q
D
D
∫∫ ∫ ∂ +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂ (4.12) 
 
Teorema de Green para regiões Conectadas: Sejam C1, C2, Cn, n curvas suaves C1, tendo 
as seguintes propriedades: 
Nenhuma das curvas se interceptam; 
As curvas C2, ..., Cn estão todas no interior de C1. 
 
Demonstração: 
 
C1 
 
 A B C2 C D 
 
 
 
Figura 4.3- Regiões Multiplamente Conectadas 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ =+++++++AB BC CD DA QdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx 
 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
47
 
dxdy
y
P
x
Q
1K∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂= (4.13) 
 
∫ ∫ ∫ ∫ =+++++++BA AD DC CB QdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx
dxdy
y
P
x
Q
2k∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂= (4.14) 
 
Somando-se (4.13) e (4.14), tem-se: 
∫ ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=+−+
1 2C C K
dxdy
y
P
x
QQdyPdxQdyPdx (4.15) 
 
Para uma região simplesmente conceituada a condição 
x
Q
y
P
∂
∂−∂
∂ , implica que a 
integral é independente do caminho. 
 
4.2.1. 
Cálculo de Áreas Utilizando o Teorema de Green 
Como a área de uma região K é ∫ ∫ ∫ ∫=K K dxdydA desejamos escolher P e Q 
de modo que .1
y
P
x
Q =∂
∂−∂
∂ Teremos então: 
∫ ∫∫ =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=+δ K dxdyy
P
x
QQdyPdx (4.16) 
 
∫ ∫∫=+= δ K dxdyQdyPdx 
 
Como a área de uma região K é ∫∫∫∫ = KK dxdydA , desejamos escolher P e Q de modo 
que 1
y
P
x
Q =∂
∂−∂
∂ , teremos então: 
 
∫ ∫∫∫∫∫ =+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=+ δδ KK dxdyQdyPdxdxdyy
P
x
QQdyPdx (4.17) 
 
 
Exercícios: 
1) Calcule ( ) dy y
2
xdx 
2
yx 42
c
22
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−∫∫ , onde C é a fronteira da região D definida 
por }0y,0x,4yx1|)y,x{(D 222 ≥≥≤+≤ℜ∈= orientada no sentido anti-horário. 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
48
 
Solução: 
 
( )
( )
( ) ( )[ ]
3
141001
3
70cos
2
cos0
23
7
 )(cos
3
1
3
8cos
3
))()(cos( 
2
0
2
0
2
1
3
2
0
2
1
2
=−−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=+=
=+=+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
∫∫
∫ ∫∫∫∫∫
ππ
θθθθθθ
θθθ
ππ
π
sinsin
dsindsinr
drdsinrdxdyyxdxdy
y
P
x
Q
cc
 
 
2) Seja c a elipse: 4y4x 22 =+ , temos ∫∫∫ =+=++− Rc A2dxdy)11(dy)y3x(dx)yx2( 
Onde A é a área de R. Como os semi-eixos da elipse são a=2, b=1, a área é πab=2π e o valor 
da integral curvilínea é 4π 
 
3)Calcular a área limitada pela elipse 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ 
Solução: 
[ ] ( )
( ) ab abdt
2
1dt tsentasenbtcosbtcosa
2
1ydxxdy
2
1A
tsenb,tcosa2,0t
2
0
2
0
π
π
π π
∫ ∫ ∫ ⇒⇒++⇒−=
→∈
 
 
4) Consideremos j)y,x(Bi)y,x(A)y,x(F
rr += onde A e B∈ C1 com 
y
A
x
B
∂
∂=∂
∂ na 
região S dada abaixo. Prove que ∫ ∫=
1 2
rd.Frd.F
γ γ
rrrr , onde γ1 e γ2 são percorridas no sentido anti-
horário. 
 
 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
49
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , 
 
0dxdy 
y
P
x
Qrd.Frd.F
s12
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=− ∫∫∫∫
γγ
rrrr , pois por hipótese 
y
P
x
Q
∂
∂=∂
∂
 em S. Portanto, 
∫∫ =
12
rd.Frd.F
γγ
rrrr
 
5) Calcule ∫γ γd.Fr , onde ( ) j x5yx3i yx4)y,x(F 2433 rrr ++= e γ ,a fronteira do quadrado de área 
igual a 4. (γ está no sentido anti-horário) 
Solução: 
∫∫ ∫∫∫∫ =×=×==−+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
γ γγ
204555)12512( 2323 Adxdydxdyyxyxdxdy
y
P
x
Q 
onde A é a área do quadrado. 
 
 6)Calcule a área da região limitada pela curva π20,cos1 ;sen ≤≤−=−= ttyttx 
e pelo eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
S 
 γ1 
 
 γ2 
)2,0( )2,2(
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
50
 
Solução: 
 
( ) ( )
ππ
ππ
π
π
π
π
ππ π
2 sen2 )(
cossen
coscossen)(
sensen.sensenA
0dy0y
 2t0t x
:C2 
sentdtdy cost-1y
 2t0 sent -tx
:C1
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
021
⇒−
=⇒−=
=⇒=
−=−
+−=⇒+−−=⇒+==
⎢⎣
⎡
=⇒=
≤≤=
⎢⎣
⎡
=⇒=
≤≤=
∫∫
∫∫ ∫∫∫∫
tI
tvtdv
dtdutu
tdttttdttI
dttttAottdtttAxdyxdyxdy
ccc
 
πππ
π
π
π
3A2A)II()I(A
t2sen 
4
1t
2
1 dt t2cos
2
1
2
1(II)
2
0
2
0
=⇒+=⇒+=
⇒−⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
π2
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
51
 
7) Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com 
orientação positiva dyxe2dxe y
c
y +∫ C é o quadrado de lados x=0, x=1, y=0, y=1. 
Solução: 
 
( ) ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫ −====−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂ 1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1 2 edyedyxedxdyedxdyeedxdy
y
P
x
Q yyyyy 
 
8) Seja ( ){ } ( ) )r(Q)y,x(Q),r(Py,xP ,1yx:y,xD 222 ==≤+ℜ∈= funções de classe C1 que 
dependem somente da distância à origem. Mostre que 0dxdy 
y
P
x
Q
D
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂∫∫ 
Solução: 
1yx:)y,x{( 222 =+ℜ∈γ 
dy)1(Qdx)1(Pdxdy 
y
P
x
Q
D
D
+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂ ∫∫∫ 
 
Se considerarmos DyxQyxQPyxP ∈== ),(),1(),( e )1(),( isto é, P e Q são 
constantes em D então: 
0dxdy 
y
P
x
Qdy)1(Bdx)1(A
D
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=+ ∫∫∫
γ
 
 
 
 
9) Seja C a circunferência: 1yx 22 =+ . Calcule ∫ +c 223 dyyx6dxxy4 . 
 
)1,0(
)0,0(
)1,1(
)0,1(
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
52
 
 
Solução: 
 
∫∫ =−⇒
R
22 0dxdy)xy12xy12( 
 
10) Verificar o Teorema de Green no plano para ( )∫ ++C 22 dyxdxyxy , onde C e a curva fechada 
da região limitada por .xy;xy 2== 
Solução: 
As equações acima cortam-se em (0, 0) e (1, 1), no sentido positivo do percurso. 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫∫
∫∫∫∫
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +∂
∂−∂
∂=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
1
0
1
0
1
0
2
22
2
2
2
22
x
x
x
x
x
x
RR
dxyxydxdyyxdydxyx
dxdyyxy
y
x
x
dxdy
y
M
x
N
 
= ( )∫ −=−10 34 .201dxxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 4- Teorema de Green 
 
53
 
11) Calcule ∫ −−C 3 xydydx)yx2( ; C é a fronteira da região limitada pelas curvas 
.9;4 2222 =+=+ yxyx 
Solução: 
yyx
x
Q
yyx
y
P
−=∂
∂
−=∂
∂
),(
3),( 2
 Domínio:
)3r2(
)20(
≤≤
≤≤ πθ
 
}{ θθσ sen;cos ryrx === 
 
∫ ∫∫∫ =+−=−−−= π θθθ20