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Matemática Básica Engenharia de Produção NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE E CONTINUIDADE Quanto vale f(1) ? Matemática Básica Engenharia de Produção Para responder a essa pergunta veja a tabela abaixo: Quanto mais x se aproxima de 1, por valores menores que 1, y = f(x) se aproxima cada vez mais de -1. Dizemos, por isso, que o limite de f(x), quando x tende para 1- , é igual a -1. SIMBOLICAMENTE TEMOS: Quanto mais x se aproxima de 1, por valores maiores que 1, y = f(x) se aproxima cada vez mais de -1. Dizemos, por isso, que o limite de f(x), quando x tende para 1+ , é igual a 3. SIMBOLICAMENTE TEMOS: Matemática Básica Engenharia de Produção Os dois limites anteriores são chamados limites laterais. A função anterior é descontínua em x = 1. pois os limites laterais são diferentes. Ocorre um “salto” e x = 1. Matemática Básica Engenharia de Produção Veja outro exemplo Nesse caso, f não é definida para x = 2. Para x diferente de 2 temos f(x) = x+1 F é descontínua em x =2. Matemática Básica Engenharia de Produção OBSERVE, PORÉM, QUE QUANTO MAIS X SE APROXIMA DE 2, SEJA POR VALORES MAIORES OU POR VALORES MENORES QUE DOIS, A FUNÇÃO Y = F(X) SE APROXIMA CADA VEZ MAIS DE 3. TEMOS, PORTANTO: Como os dois limites laterais são iguais, podemos escrever: Matemática Básica Engenharia de Produção Analisando a função abaixo responda: a) Qual o limite da função quando x se aproxima de zero por valores menores que zero? b) Qual o limite da função quando x se aproxima de zero por valores maiores que zero? c) A função é contínua em x = 0? Matemática Básica Engenharia de Produção Analisando a função abaixo responda: a) Qual o limite da função quando x se aproxima de zero por valores menores que zero? b) Qual o limite da função quando x se aproxima de zero por valores maiores que zero? c) A função é contínua em x = 2? Matemática Básica Engenharia de Produção Os exemplos que analisamos mostram, de forma intuitiva, os conceitos de lime e de continuidade de uma função em um ponto. Veja a definição formal de continuidade. Matemática Básica Engenharia de Produção CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE O CÁLCULO DE LIMITES Quando uma função y =f(x) é contínua em um ponto x = k, o limite de f(x) quando x tende a k é obtido, conforme a definição, pelo cálculo de f(k). Em casos de descontinuidade ou em situações que x tende ao infinito, seja mais infinito ou menos infinito, o cálculo do limite é mais complexo. Nesses casos, sendo k uma constante real positiva e n um número natural não-nulo, admitiremos como válidas as seguintes igualdades: Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção Exemplos: Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção LIMITES DE POLINÔMIOS: Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção Matemática Básica Engenharia de Produção
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