Prova Análise Combinatória e Probabilidades

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21/10/2021 20:56 GRA0357 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE GR0068-212-9 - 202120.ead-10467.04
https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_engine_soap-BBLEARN/Controller?COURSE_ID=_730841_1 1/6
Pergunta 1
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Leia o trecho a seguir:
 
“Dados dois números naturais, , com , definimos o Coeficiente
Binomial e indicamos por . O número é dito numerador e
o número é chamado denominador de ”.
 
 
 Fonte: IEZZI, G. Matemática : volume único. São Paulo: Atual, 2005, p. 395. 
 
 Sobre os casos particulares dos coeficientes binomiais, considere as afirmativas:
 
 I. Quando , temos que .
 
II. Quando , temos que .
 
III. Quando , temos que .
 
IV. Quando , temos que .
 
 
 Está correto o que se afirma em:
II, apenas.
IV, apenas.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois é necessario ter
conhecimento dos casos particulares dos coeficientes binomiais, tal que: 
Quando , temos 
 
Quando , temos 
 
Quando , temos 
 
Quando , temos . 
 
Dessa forma, apenas a afirmativa IV é verdadeira, uma vez que quando ,
temos .
Pergunta 2
O Princípio da Inclusão-Exclusão nos diz que “Seja um conjunto com elementos; 
 subconjuntos não necessariamente distintos de . Para qualquer subconjunto de ,
definimos o número de elementos de em e para , definimos
” (GODOY FILHO; 2016, p. 17). Logo, o número de elementos de que não
pertence a algum dos é . 
 
 
 GODOY FILHO, J. H. B. O princípio da inclusão e exclusão e suas aplicações. 45 f. 2016.
Dissertação (Mestrado em Matemática) – 
 Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia, Universidade Federal da Grande Dourados, Dourados,
2016. Disponível em: https://sca.profmat-sbm.org.br/sca_v2/get_tcc3.php?id= 94740. Acesso
em: 2 jan. 2019. 
 
 Seja e , subconjuntos de , assinale a
0 em 1 pontos
1 em 1 pontos
https://sca.profmat-sbm.org.br/sca_v2/get_tcc3.php?id=94740
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
alternativa que contenha a quantidade de elementos de que não são elementos de . 
 
4.
4.
Resposta correta. É preciso utilizar o teorema do Princípio da Inclusão-Exclusão,
uma vez que estamos procurando quantos elementos de não são elementos de 
. Seja e , 
 subconjuntos de , temos que: ,
 e
 
 
Isso significa que o número de elementos de que não são elementos de
 é .
Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Leia o excerto a seguir: 
“[...] o Princípio da Inclusão-Exclusão é uma fórmula para contar o número de elementos que
pertencem à união de vários conjuntos não necessariamente disjuntos”. 
 
MORGADO, A. C. O.; CARVALHO, J. B. P.; CARVALHO, P. C. P.; FERNANDEZ, P. Análise
Combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: SBM, 1991. p. 56. 
 
Dessa forma, podemos utilizá-lo na contagem. 
 
 
Utilizando o referido princípio, assinale a alternativa correta que mostre quantos são os anagramas
da palavra CONTAGEM que têm C em 1º lugar ou O em 2º lugar ou N em terceiro lugar ou T em 4º
lugar.
16296.
16296.
Resposta correta. É preciso encontrar quantos são os anagramas da palavra
CONTAGEM que têm C em 1º lugar ou O em 2º lugar ou N em terceiro lugar ou T
em 4º lugar. Seja: 
A = conjunto dos anagramas de CONTAGEM que têm C em 1º lugar. 
B = conjunto dos anagramas de CONTAGEM que têm O em 2º lugar. 
C = conjunto dos anagramas de CONTAGEM que têm N em 3º lugar. 
D = conjunto dos anagramas de CONTAGEM que têm T em 4º lugar. 
Precisamos encontrar , logo,: 
 
= número de anagramas de CONTAGEM que têm
uma letra fixa 
 
= 
 
 número de anagramas de CONTAGEM que têm duas letras fixas
 
 
 
 
= número de anagramas de CONTAGEM que têm três letras fixas
 
 
= número de anagramas de CONTAGEM que têm
quatro letras fixas 
 
1 em 1 pontos
21/10/2021 20:56 GRA0357 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE GR0068-212-9 - 202120.ead-10467.04
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Então, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão: 
Pergunta 4
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
O primeiro Lema de Kaplansky nos diz que: “O número de p-subconjuntos de nos quais
não há números consecutivos é ” (MORGADO et al., 1991, p. 73). 
MORGADO, A. C. O.; CARVALHO, J. B. P.; CARVALHO, P. C. P.; FERNANDEZ, P. Análise
Combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: SBM, 1991. 
 
 Considerando que três candidatos devem ser entrevistados para uma vaga em uma determinada
empresa que trabalha os sete dias da semana na primeira semana do mês de fevereiro, assinale a
alternativa correta que mostre de quantas formas é possível escolher os dias de entrevista, sem
que haja entrevistas em dias consecutivos.
1.
10.
 
 
 
Sua resposta está incorreta. É preciso utilizar o primeiro Lema de Kaplansky,
formando um subconjunto de 3 entrevistas, no conjunto dos 7 dias da semana,
sem que haja dias consecutivos no subconjunto. Logo,
.
Pergunta 5
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
A palavra probabilidade vem do latim probare e designa “eventos incertos”.
Sabendo disso, um casal deseja saber qual é a probabilidade de terem três
filhos, sendo duas meninas e um menino, não importando a ordem dos
nascimentos. 
 
Nesse sentido, assinale a alternativa que contenha a probabilidade procurada:
30%.
37,5%.
Sua resposta está incorreta. O aluno precisa determinar qual é a probabilidade
percentual de que um casal tenha duas filhas e um filho. Nesse caso,
considerando que o casal tenha 3 filhos, então, o espaço amostral consiste em 8
possibilidades, enquanto que o evento de interesse é 3, de modo que dos 3 filhos
do casal, duas sejam meninas e um seja menino.
Pergunta 6
Analise o trecho a seguir:
 
“um triângulo aritmético de Pascal é uma tabela onde podemos dispor
ordenadamente os coeficientes binomiais (n,p), tal que a primeira linha contenha
o coeficiente binomial com , a segunda linha contenha os coeficientes
0 em 1 pontos
0 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
binomiais com , a terceira linha contenha os coeficientes binomiais com 
 , e assim por diante”. 
 
 
 Fonte: IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar: combinatória e
probabilidade . São Paulo: Atual, 1977, p. 57.
 
 Sobre as propriedades do triângulo de Pascal, considere as afirmativas:
 
 I. Em cada linha do triângulo, o primeiro elemento vale 1.
 II. Em cada linha do triângulo o último elemento vale 0.
 III. A partir da terceira linha, cada elemento (exceto o primeiro e o último) diz
respeito a soma dos elementos da linha anterior, imediatamente acima dele.
 IV. Em uma linha, dois coeficientes binomiais equidistantes dos extremos são
iguais.
 
 Está correto o que se afirma em:
I, III e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois nesta questão, é preciso recorrer
às propriedades do triângulo de Pascal. Em um triângulo de pascal, em cada linha
do triângulo, o primeiro elemento vale 1; em cada linha do triângulo o último
elemento vale 1; a partir da terceira linha, cada elemento é a soma dos elementos
da linha anterior imediatamente acima dele, com exceção do primeiro e do último;
em uma linha, dois coeficientes binomiais equidistantes do extremos, são iguais.
Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
O teorema multinomial nos diz que sejam números inteiros não
negativos, tais que , então,o coeficiente de 
 no desenvolvimento de ( é igual a = .
Sabendo disso, qual é o coeficiente de no desenvolvimento de ( 
Assinale a alternativa correta:
13.860.
13.860.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois nesta questão, é preciso
encontrar o coeficiente de no desenvolvimento de ( .
Devemos notar que é o mesmo que ; logo, utilizando o teorema
multinomial, temos que:
Pergunta 8
Leia o trecho a seguir:
 
“Quando a soma dos denominadores for igual ao numerador em duas
combinações, estamos tratando de números binomiais complementares, os
quais podem ser representados genericamente pela expressão: ”.
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
 
Fonte: METZ, L. I. Análise combinatória e probabilidade . Curitiba:
InterSaberes, 2018, p. 49.
 
Sabendo que e são binomiais complementares, assinale a alternativa
que contenha o valor de :
Resposta correta. A alternativa está correta, pois nesta questão, sabendo que
e são binomiais complementares, precisamos encontrar o valor de . Por
definição, temos que , tal que: 
 
 
 
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Em matemática, o binômio de Newton nos permite escrever o polinômio
correspondente à potência de um binômio, na forma canônica. Sejam os inteiros 
 e e um natural , então , em que os coeficientes 
são chamados de coeficientes binomiais. Sabendo disso, assinale a
alternativa que contenha a soma dos coeficientes do desenvolvimento de 
 :
243.
243.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois nesta questão, para determinar a
soma dos coeficientes do desenvolvimento de é preciso considerar
 e , tal que: .
Pergunta 10
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Para fins de controle de qualidade, uma fábrica de calças jeans deve inspecionar
as peças antes da revenda, a fim de evitar peças defeituosas. Considerando um
lote de 50 calças jeans, sendo 45 boas e 5 defeituosas e que o engenheiro
tenha retirado duas peças ao acaso, com reposição para inspeção, assinale a
alternativa que indica a probabilidade de que as duas peças retiradas do lote
sejam defeituosas:
10%.
1%.
Sua resposta está incorreta. O aluno precisa encontrar a probabilidade de as duas
peças retiradas do lote serem defeituosas, considerando um lote de 50 calças
jeans, em que 45 são boas e 5 são defeituosas. Como há a reposição da peça
1 em 1 pontos
0 em 1 pontos
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após a primeira retirada, então a probabilidade de a primeira peça ser defeituosa é
de: e a probabilidade de a segunda peça também ser defeituosa é
de: . Logo,