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variam 
com o tempo. Para o presente proposto, que é determinar um modelo de reserva Matemática 
para um R.P.P.S considera-se os seguintes parâmetros e funções-chave que caracterizam o 
desenvolvimento financeiro de um SPSS: 
-Parâmetros Demográficos e econômicos; 
-a força da taxa de juros: δ
-a força do crescimento dos novos entrantes ρ
-a força do crescimento dos salários γ
-a força da inflação é denotado por σ
Funções-chave: 
- a função despesas B(t) 
- a função salário segurado S(t) 
- a função taxa de contribuição C(t), que caracteriza o método de 
financiamento 
- a função reserva matemática RM(t), que representa o excesso de 
entradas sobre as saídas,acumulada com juros de força δ
 
Modelo Matemático de Zalenka 
 
Para determinar a função reserva matemática RM(t) em relação aos parâmetros 
demográficos econômicos e financeiros acima mencionados. 
Zalenka em 1958 criou uma equação da forma: 
 
 
=+ = + 
 
 
A variação mais 
reservas em qualquer 
pequeno intervalo de 
tempo ),( dttt +
Rendimento do 
Investimento das 
Reservas no 
mesmo intervalo 
de tempo ),( dttt +
Excesso da receita das 
contribuições sobre a 
despesa com benefícios no 
mesmo intervalo de tempo 
( ) dttt +,
 
 
Em termos matemáticos tem-se a seguinte equação diferencial. 
 dttBdttStCdttRMtdRM )()()()()( −+= δ
Desde que as despesas sejam iguais aos totais dos benefícios 
 dttBtStCdttRMdttRM )()()()()(' −+= δ
 [ dttBtStCdttRMtRM )()()(])()(' −=− δ
 dttBtStCedttRMtRMe tt )]()()([)])(()('[ −=−+ −− δδ δ
 [ dttBtStCetRMetRMe ttt )]()()([)])(()(' −=−+ −−− δδδ δ
 [ dttBtStCedtetRM tt )]()()([]')( −= −− δδ
Portanto, a equação acima tem a seguinte interpretação: 
A variação da taxa da Reserva Matemática do sistema do RPPS (Regime Próprio de 
Previdência Social) em valores presente em um intervalo de tempo (t; t + dt) é igual, ao 
excesso das taxas dos salários em relação aos benefícios em termos de valores presentes no 
intervalo de tempo (t ; t + dt) 
A expressão da reserva matemática é obtida explicitamente a partir do T.F.C. 
(Teorema Fundamental do Cálculo).no intervalo (m,n) da seguinte maneira: 
 ∫∫ − = nmnm t CdtetRM δ []')([
 −− − tn dtetemRMenRM δδ )]()()( 
 −− = tn emRMenRM δδ )()(
 −= mnemRMnRM )()( (
Para m=0, tem-se: 
 ∫= non tStCenRM δ ()([)(
−− t dtetBtSt δ)]()()(
∫− −= nmm BtStCδ )()([
− nmδ
 ∫ −+ m dtetBtStC )]()()([ 
 ∫ −−+ nm tn dtetBtStCe δδδ )]()()([)
 −− t dtetB δ)]()
Levando em conta o equilíbrio atuarial terminado pela lei vigente, isto é: a 
equivalência das receitas e dos pagamentos pode ser expressa igualando o valor presente das 
contribuições futuras ao valor das despesas futuras no início do sistema e levando em conta 
que o valor do dinheiro no tempo tem-se: 
 ∫∫ −− = n tn t dtetBdtetStC 00 )()]()([ δδ
Assumindo que as duas integrais impróprias convergem se > , tem-se: δ γρ +
 ∫∫ ∞ −−∞ = 00 )()]()([ dtetBdtetStC tt δδ
e além disso, a equação fundamental do equilíbrio para o sistema de Previdência 
Social implica que: 
 ∫∫ ∞ −− −=− n tn t dtetStCtBdtetBtStC δδ )]()()([)]()()([0
 Substituindo a equação a seguinte 
expressão prospectiva da reserva matemática é obtida: 
∫ −−= no tn dtetBtStCenRM δδ )]()()([)(
 ∫∞ −−= n tn dtetStCtBenRM δδ )]()()([)( 
 
Conclui-se que se observarmos o sistema em toda a sua existência, do ponto de vista 
inicial, qualquer função de contribuição C(t) que satisfaz a equação 
, constitui um método de financiamento teoricamente 
possível para o novo sistema de previdência social e leva a correspondente função reserva 
matemática RM(t) dado por . No entanto, questões 
práticas nos levam à necessidade de impor condições sobre C(t) e RM(t). 
∫∫ ∞ −−∞ = 00 )()]()([ dtetBdtetStC tt δδ
RM ∫∞ −−= n tn dtetStCtBen δδ )]()()([)(
Além disso, os valores negativos de C(t) - implicam que o sistema está reembolsando 
aos contribuintes - ou valores negativos de RM(t) – implicam que o sistema está tomando 
emprestado para pagar benefícios correntes. Necessitamos portanto excluir estas 
possibilidades. Simbolicamente é necessário que e para todos os valores 
de t. a imposição destas condições sobre C(t) e/ou RM(t) leva-nos a vários métodos de 
financiamento para sistemas de previdência social. 
0)( ≥tC 0)( ≥tRM
 
 
Considerações Finais 
 
 É de relevância para o profissional contábil, a utilização dos métodos quantitativos 
pois esses são capazes de fornecer informações de forma mais precisas, uma vez que a 
Contabilidade ainda só é capaz de captar e registrar eventos mensuráveis em moeda e que os 
relatórios não expressam a realidade financeira e econômica da entidade, mesmo que 
estatisticamente. Na tomada de decisões muitos outros elementos devem ser considerados, 
deve-se então buscar um grupo de disciplinas suporte para auxiliar o processo da análise das 
demonstrações contábeis. Desta maneira, a interdisciplinaridade com os Métodos 
Quantitativos - Matemática, Estatística e Informática pensados de forma integrada – surge 
como forma de completar este processo técnico-científico. 
 Dentro desse contexto o Teorema Fundamental do Cálculo assume 
significância (em termos de aplicabilidade) para a Contabilidade pois o contador através 
desse, pode verificar a variação de uma grandeza num dado intervalo de tempo.Assim, 
demonstra-se que o ensino de uma nova metodologia,Contabilometria, faz-se necessário 
dentro do curso de graduação de Ciências Contábeis. 
 
Referências Bibliográficas: 
 
GOLDSTEIN,Larry J.LAY, David C.,SCHNEIDER, David I. Matemática Aplicada. 
Editora Bookman, Porto Alegre, 2000. 
GUJARATI, Damodar N. Econometria Básica. Editora Makron Books Ltda, São 
Paulo, 2000. 
HOFFMAN, Laurence D.,BRADLEY,Gerald L. Cálculo um curso Moderno e suas 
Aplicações, 7ª edição.Editora JC ,2002. 
IUDÌCIBUS, Sérgio de. Existirá a Contabilometria. Revista Brasileira de 
Contabilidade ,1982. 
IUDÌCIBUS,Sérgio de. Teoria da Contabilidade. 6ª edição. Editora Atlas,2000. 
LAKATOS, Eva Maria.; MARCONI, Marina de Andrade, 1923-.. Fundamentos de 
metodologia cientifica. 3.ed. rev. e ampliada. - São Paulo: Atlas, 1991. 
 MAROIN, J. Carlos, SILVA,L.B. Contabilometria, novo Campo de Estudo para a 
Contabilidade. Revista Brasileira de Contabilidade, n° 59,1996. 
Pesquisa Operacional para Decisão em Contabilidade e Administração: 
Contabilometria/Luiz J. Corrar, Carlos Renato Théophilo (coordenadores) – São Paulo Atlas, 
2004. 
SILVA, Antonio C. R. da, Metodologia da Pesquisa Aplicada à Contabilidade, São 
Paulo, Atlas 2003.