Importância do Teorema Fundamental do Cálculo na Contabilidade

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Importância do Teorema Fundamental do Cálculo na Contabilidade 
 
MÁRCIA FERREIRA NEVES DA SILVA 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
 
GEIZIANE BRAGA MONTEIRO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
 
MARIA LUCIANA DS SILVA 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
 
JULIANA CÂNDIDA RIBEIRO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
 
 
Resumo: Vive-se na era do conhecimento e em um mundo globalizado, trazendo por 
conseqüência a exigência de um profissional mundial e não mais restrito ao âmbito nacional 
e/ou regional. Dentro desse contexto, surge a necessidade de reformulação da formação do 
profissional, especificamente do profissional contábil, e esse precisa da interdisciplinaridade 
no âmbito da sua formação para conseguir se manter competitivo no cenário global. Diante 
disso, esse trabalho tem como ponto norteador demonstrar a importância da junção entre as 
Ciências Matemáticas (Matemática, Estatística e Informática) e as Ciências Contábeis, 
ratificando a relevância da Contabilometria. Para tanto, será utilizado o Teorema Fundamental 
do Cálculo que serve para a Contabilidade, representada aqui pela Auditoria e Fundos de 
Pensão. O método científico utilizado neste trabalho será o de abordagem dedutiva, conforme 
Lakatos & Marconi (1991). Este método permite que a conclusão esteja no conteúdo das 
premissas. A técnica a ser adotada para a realização da pesquisa foi a documentação indireta, 
pois foram consultados livros, publicações científicas, artigos de internet, papers,revistas, 
jornais e monografias. 
Palavras-Chaves: Contabilometria, Ciências Contábeis, Ciências Matemáticas e 
Interdisciplinaridade. 
Considerações iniciais: Apresentação, Fundamentação e Referenciais Teóricos. 
A presente conjuntura nacional e por quê não internacional, requer hoje, mais do que 
nunca passar por um processo amplo de avaliação com vistas à construção de um Programa de 
Modernização do Sistema de Ensino da Graduação em Ciências Contábeis, que permita 
repensar de forma mais nítida a realidade administrativa, social, econômica, financeira e 
contábil do país, em particular das Regiões Norte e Nordeste, com vistas a orientar mais 
adequadamente os seus rumos e suas ações face aos atuais desafios da globalização, 
principalmente, no contexto da empregabilidade e, é aqui que se agrava uma necessidade 
premente da ênfase nos métodos e técnicas científicas na formação profissional em Ciências 
Contábeis sem perder de vista a ética e a prática contábil. 
Nesta ótica, focalizando um programa de iniciação científica direcionada a formação 
profissional do contador contemporâneo, inserido numa economia mundializada e cada vez 
mais competitiva, que contemple um perfil profissional relevando a responsabilidade social de 
seus egressos, sua atuação técnica, instrumental e científica, articulada com outros campos do 
saber e principalmente evidenciando o domínio de habilidades interdisciplinares. Surge a 
necessidade de programas estratégico piloto para jovens-contadores, que no seu 
desenvolvimento torna-se fundamental a vivência da nos currículos de graduação (formação 
inicial do contador em Ciências Contábeis) por meio dos Métodos Quantitativos Aplicados de 
modo interativo no estudo dos fenômenos contábeis, principalmente na dimensão preditiva 
como suporte à tomada de decisões gerenciais inovadoras. 
Nesta direção, este trabalho se difere por ser parte da implantação de um projeto piloto 
no nível de iniciação científica construído efetivamente na interação do ensino/pesquisa e o 
intercâmbio científico e fundamentado nas disciplinas iniciais das Ciências Matemáticas 
(Matemática, Estatística e Informática ministradas no contexto interdisciplinar) nos currículos 
dos cursos de Ciências Contábeis, tendo como ponto basilar à ação interdisciplinar do 
Teorema Fundamental do Cálculo aplicado às Ciências Contábeis, construindo modelos 
contabilométricos para estudar fenômenos econômico-financeiro-contábeis relevantes ao 
gestor contábil. Contudo, o ponto central deste trabalho não é o seu resultado técnico, mais 
sim mostrar que na construção de projetos acadêmicos para cursos de Ciências Contábeis no 
século XXI deve-se ter como objetivos: Identificar alunos da Graduação em Ciências 
Contábeis com interesse na pesquisa científica e preparar alunos-pesquisadores juniores na 
área Contabilometria nas Ciências Contábeis. 
 
Contabilidade e Métodos Quantitativos 
Contabilidade 
A contabilidade tem como objetivo principal fornecer informações econômicas para 
que cada usuário possa tomar suas decisões e retirar seus julgamentos com segurança. A 
Contabilidade fornece relatórios sobre a situação patrimonial, financeira e econômica das 
entidades. 
Considerando que a Contabilidade ainda só é capaz de captar e registrar eventos 
mensuráveis em moeda e que os relatórios não expressam a realidade financeira e econômica 
da entidade, mesmo que estatisticamente, e ao tomarmos decisões muitos outros elementos 
devem ser considerados, deve-se então buscar um grupo de disciplinas suporte para auxiliar o 
processo da análise das demonstrações contábeis. Desta maneira, a interdisciplinaridade com 
os Métodos Quantitativos - Matemática, Estatística e Informática pensados de forma integrada 
– surge como forma de completar este processo técnico-científico. 
 De fato, a Contabilidade tradicional, com seus relatórios baseados em informações do 
passado tem sido bastante eficiente no desempenho do seu papel de fornecedora de 
informações para tomada de decisões no presente. Porém, historicamente, a Ciência Contábil 
tem se preocupado demasiadamente com o passado e muito pouco com o futuro 
(Iudícibus,1982). 
Felizmente, este cenário vem mudando nas últimas décadas e o que se vê é um 
movimento crescente no sentido de se criar uma Contabilidade Preditiva, ou seja, que aplique 
os Métodos Quantitativos como auxílio à tomada de decisões, com base em experiências do 
passado, ou por meio de modelos de simulação. Daí, nasce uma nova área de conhecimento 
na Ciência Contábil, a Contabilometria, nome este dado por Iudícibus (1982), que utiliza os 
Métodos Quantitativos como processo de análise e de previsão. 
 
Métodos Quantitativos 
Um dos sinais de uma pessoa instruída é sua capacidade de reconhecer e aceitar 
mudanças que prometem melhores maneiras de se atingir os objetivos. O contador ainda é o 
maior especialista em aspectos quantitativos em quase todas as organizações. Para manter e 
melhorar sua posição, deve estar ciente de como os modelos matemáticos podem melhorar o 
planejamento e o controle. Os Administradores atentos esperariam, naturalmente, que seus 
Contadores se mantivessem atualizados acerca das técnicas quantitativas mais novas 
(Horngren, 1985). 
Silva et al (1999) esclarecem que a Teoria das Probabilidades permite construir 
modelos matemáticos que explicam um grande número de fenômenos coletivos e fornecem 
estratégia para a tomada de decisões. 
Figueredo e Moura (2001) afirmam: 
1- A ciência contábil, vista como um sistema de informação 
para apoio a decisão, é, efetivamente, forte base conceitual dessa 
tendência de utilização de modelos quantitativos para otimização da 
informação oferecida (...) 2-(..) Assim, o conhecimento e a utilização 
dos instrumentos estatístico e matemático pelos profissionais de 
Contabilidade não poderá deixar de ser item importante em seus 
currículos neste milênio. 
 
Métodos Quantitativos Aplicados às Ciências Contábeis 
Para fixar idéias, considere um mercado M e uma empresa E neste mercado. Tome, 
agora, como foco a questão da tomada de decisão empresarial ou em outras entidades. Na 
verdade, as avaliações qualitativas e quantitativas de apoio às condições econômicas e de 
negócios variam ao longo do tempo e os gestores precisam encontrar maneiras eficazes de se 
manter a par dos efeitos que essas mudanças terão em suas transações. Um método importante 
que os gestores podem empregar, como ajudar ao planejamento estratégico da empresa, é o 
método deprevisão. De fato, são muitos os métodos existentes de previsões, porém, todos têm 
um objetivo comum – fazer previsões sobre eventos futuros de modo que essas projeções 
possam ser incorporadas aos processos de tomada de decisões. 
Na verdade, fundamentalmente existem dois métodos de previsão: Qualitativo e 
Quantitativo. Portanto, o entendimento destes métodos nos leva a uma questão básica: Qual é 
a característica fundamental da investigação científica no contexto da previsão? É claro, que é 
o seu caráter cíclico e interativo. 
Nesta ótica, pode-se explicitar que uma característica básica da investigação científica 
da previsão é, realmente, o seu caráter cíclico e interativo. 
Portanto, os Métodos Qualitativos são Métodos de previsão especialmente importantes 
quando os dados históricos não se encontram disponíveis e exige alto conhecimento 
qualitativo do problema em questão (Isto é, exige uma grande experiência do preditor). De 
fato, estes Métodos são vistos como altamente subjetivos e passivos de avaliação. Por outro 
lado, os Métodos de previsão quantitativos fazem uso de dados históricos. Além disso, no 
diagrama 2 tem-se: (1) A etapa da indução (neste estágio é exigido a intuição do preditor) 
enquanto na etapa (3) tem-se o estágio da dedutibilidade da previsão – dedução da previsão, 
para tanto é necessário que o preditor tenha conhecimento de metodologias científicas 
associadas ao fenômeno contábil em questão para escolher a teoria na etapa (2) a ser aplicada 
na resolução do problema ou escolha do modelo matemático adequado. 
 
Modelos Matemáticos 
Em outras palavras, uma representação matemática de uma situação prática é chamada 
um modelo matemático. 
Em outros termos: 
Assim, as Ciências Matemáticas (Matemática +Estatística+ Informática) formam os 
pilares básicos fundamentais para a construção da ponte entre o Mundo Real (Mundo das 
entidades:empresas,mercados) e o Mundo das Ciências Contábeis quantitativas 
(Contabilometria). 
Interdisciplinaridade e Contabilometria 
 
Interdisciplinaridade: 
Lenoir (1998,p 48-49) apresenta a dupla visão interdisciplinar. A primeira se refere à 
perspectiva conceitual (tendência européia): 
1. Objetivos - Construir um quadro conceitual global que poderia, em uma 
ótica de integração, unificar todo o saber científico; 
2. Buscar unidade do saber ; 
3. Pesquisa de uma experiência; e 
4. Preocupação fundamentalmente de ordem filosófica e epistemológica. 
 A segunda se refere à perspectiva instrumental (tendência anglo-saxônica): 
1. Objetivos- Resolver problemas de existência cotidiana com base em 
práticas particulares e; 
2. Recursos às questões e aos problemas sociais e contemporâneos aos 
anseios da sociedade 
Em resumo, pode-se afirmar que a interdisciplinaridade significa interação com 
uma ou mais disciplinas e é o resultante de um processo intencional e planejado, que 
requer participação e trabalho de equipe. 
As Ciências Matemáticas 
A Matemática tem acompanhado a evolução da intelectualidade humana por meio do 
desenvolvimento do conhecimento adquirido quando se procura entender a relação entre o 
“pensamento puro” e o mundo real. Já, na análise das mutações orgânicas que transforma o 
mineral em vegetal, o vegetal em animal, o animal em vegetal, o animal em mineral e vice-
versa,bem como as próprias transformações processadas em cada reino, vê-se que elas 
constituem a própria essência do que pode-se denominar de vida. Além disso, pode-se 
procurar entender qual é o sentido da vida . Isto está imbricado com todo o desenvolvimento 
da Teologia, Filosofia, e das Ciências de um modo geral. No que se refere às Ciências 
Matemáticas procura explicar através das transformações geométricas, algébricas, 
topológicas, etc o mundo real. 
Na verdade as Matemáticas procuram entender a “engenharia” da construção da ponte 
entre o pensamento puro e o mundo real. De fato, essa “engenharia” está fundamentada em 
três pilares: 1.A pragmática. Que ensinou a humanidade a resolver problemas e a dominar as 
forças da natureza; 2. a estética-guiada pela busca da beleza do pensamento puro;3. a 
dialética- gerando contínua intenção entre regras da Matemática e as descobertas da 
Matemática. 
O desenvolvimento da Matemática levou as descobertas de leis na Física, na 
Astronomia, nas Ciências Econômicas, nas Ciências Administrativas, nas Ciências Contábeis 
e em inúmeras outras Ciências permitindo ao humano a conquista da riqueza e do poder. 
A Matemática aplicada utiliza e provoca a criação de teorias matemáticas para 
solucionar problemas científico e tecnológico. Freqüentemente, as aplicações consistem na 
construção de modelos matemáticos que pode refletir de modo significativo, ainda que 
simplificado, o comportamento e a estrutura de um sistema concreto(de natureza física, 
biológica, econômica, contábil,etc.) cujo funcionamento seja necessário para analisar ou 
prever.É importante observar que a separação entre Matemática Pura e Aplicada não é nítida e 
nem definitiva; muitos resultados que são hoje utilizados para resolver problemas aplicados 
eram considerados no passado como parte de teorias abstratas, que muitas vezes se supunha, 
não teriam nenhuma aplicação prática. Por outro lado, muitas teorias abstratas tiveram sua 
motivação em problemas concretos(Santos,2001). 
Contabilometria: uma metodologia cientifica 
Segundo Santos ( 2004) a contabilometria, na verdade, não seria a simples aplicação 
de método quantitativo nos problemas contábeis, mas sim as ciências as ciências matemáticas 
integradas as ciências contábeis na resolução de problemas concretos empresariais ( ou de 
outras entidades) no contexto interdisciplinar. Embora, sabe-se que as ciências matemáticas 
na solução de certos problemas práticos das ciências contábeis servem como ferramenta, 
porem certamente não é essa a maior contribuição que as ciências matemáticas pode oferecer 
a contabilidade. 
Segundo Iudícibus de forma pioneira define-se contabilometria como “.... a analise 
quantitativa de fenômenos contábeis reais baseados no desenvolvimento concomitante da 
teoria e da observação, relacionados através de métodos apropriados de inferência”. 
Exemplo 1- Mincer (1974) construiu um modelo matemático, em que considera os 
efeitos do treinamento profissional sobe os salários. Genericamente tem-se o seguinte modelo 
funcional: 
 
 niUZiXiSifLny ii ,...,2,1,),,( =+=
 Onde é o logaritmo natural do salário do individuo i, é a medida do 
nível educacional daquele individuo, é um índice do estoque de experiência em capital 
humano, são outros fatores que afetam a renda com cor /raça, sexo, região geográfica do 
indivíduo etc, e Vi é o termo de erro radônio que reflete as características de habilidade 
inerente as estatísticas salariais. É usualmente assumido que Vi é normalmente distribuído 
com média zero e variância constante. 
iLny iS
iX
iZ
Exemplo 2 : Zalenka (1958,p 69) obtenha um modelo através de equação diferencial 
fundamental para calcular a reserva matemática de um Regime próprio de Previdência Social: 
 dttBdttStCdttVtdV )()()()()( −+= δ
Onde seja força da taxa de juros, C a função contribuição, a função salário 
segurado, a função despesas e V a função reserva matemática do fundo de pensão 
municipal. Este trabalho mostra como obter a reserva matemática explicitamente por mais do 
teorema fundamental do Calculo juntamente com aplicações das técnicas de integração. 
δ
)(t
)(t )(tS
B )(t
 De fato , a arte da contabilometria consiste em estudar modelos e modelagens 
das ciências matemáticas associados a fenômenos contábeis reais como uma metodologia 
cientifica ou mais geralmente ela é uma área de conhecimento das ciências contábeis que 
procura obter metodologias novas ou inovadoras fundamentadas nas ciências matemáticas 
para resolver problemas concretos contábeis. Assim a contabilometria se ocupa da 
determinação empírica dos princípios e procedimentos contábeis, Istoé,o método da pesquisa 
contabilométrica visa, essencialmente a uma conjunção da teoria contábil com “medidas 
concretas”, usando como ponto basilar a teoria e técnicas das ciências matemáticas. 
Note que, a capacidade explicativa de um modelo contabilométrico é tanto melhor 
quanto maior o espectro de dados que ele pode explicar. O modelo deve abraçar um maior 
numero de dados contábeis possíveis disponíveis e relevantes. 
 Segundo Marion e Silva (1986), discute-se muito se um certo conjunto de dados é 
relevante para um certo modelo funcional. Claramente não funciona definir como relevantes 
para um modelo apenas aquele dado consistente com o mesmo. 
 Em resumo, pode-se construir um diagrama que representa um modelo 
contabilométrico partindo do exposto acima e do diagrama mostrado por Marion e Silva 
(1986, p – 39). 
Diagramas: Modelo Contabilométrico 
 
 In Put Metodologia 
 Contabilométrica 
 
 
 
Dados Contábeis 
disponíveis e 
relevantes. 
Explicação sobre os 
dados contábeis. 
 Out put 
Portanto, quanto mais geral o modelo contabilométrico, maior o número de dados 
relevantes poderá abranger. 
Em síntese, o exposto acima mostra que uma formação mais aprofundada do contador 
em Métodos Quantitativos poderia ocupar áreas não bem definidas entre finanças, 
administração da produção e contabilidade, que levam vantagens de conhecer as origens das 
informações financeiras – contábeis ( o processo ) alem de possuir o retrato financeiro – 
econômico da empresa. De fato é notório que ainda, pelo menos no Brasil, a contabilidade e o 
contador se utilizam rudimentarmente do raciocínio puramente aritmético (Iudícibus, 1982) 
quando poderiam ganhar muito mais operacionalidade se alocassem em modelos em 
modelos contabilométricos, principalmente quando de desejam antecipar, para prever ou 
estimular de alguma forma, o que ira ocorre no futuro de uma empresa ou entidade. Porém, 
não de pode perder de vista que um modelo contabilométrico deve ser suficientemente 
simples de forma que o fenômeno contábil que ele representa possa ser entendido claramente 
e alem disso as operações aritméticas, algébricas , analíticas e topológica ou probabilística 
possam ser realizadas com precisão destro do contexto das ciências matemáticas. 
O Teorema Fundamental do Cálculo na Contabilidade 
Aspectos Matemáticos 
Focalizando a premissa sobre as habilidades na formação do bacharel em Ciências 
Contábeis na era do conhecimento que é desenvolver e aplicar raciocínio, concebido por meio 
dos Métodos Quantitativos de modo interdisciplinar com a contabilidade, para a identificação, 
mensuração e acumulação de eventos de natureza econômica, com vista a sua comunicação, 
sob a forma de informações contábeis, em relatórios que contribuam para o desempenho 
eficiente e eficaz das empresas e de outras entidades. Na formação inicial do contador 
contemporâneo, principalmente na fase propedêutica uma sólida formação em Métodos 
Quantitativos aplicados às Ciências Contábeis. Portanto, é aqui que brota a necessidade de um 
métod matemático importa te para aplicações na Contabilidade que é o Teorema 
Funda ental do Calculo. 
[a,b], 
 
gráfic
em [a,
o
m
T.F.C- Sejam f: [a,b] --
isto é, 
 ( ) ( ) [ ]baxxfxF ,` ∈∀=
Então: ( ) (xFdxxfb
a
=∫
Interpretando 
1. Geomet
Suponha que , as0≥f
 
 
 
 
 
 
 
 
 a
( ) ( )∫ =ba RAreadxxf = 
Isto é, a integral defini
o da curva y= f(x) de a a
b]. De fato, o T.F.C gara
 ( ) fRArea b
a
= ∫
2. No cont
valor total de uma cert
intervalo . Cbxa ≤≤
n
-- R uma função contínua e F:[a,b] – R uma primitiva de f em 
 
) ( ) ( )aFbFb
a
−= 
ricamente 
sim podemos ter: 
b
área da região R 
da de f sobre o intervalo[a,b] mede a área da região sob o 
té b. Portanto, esta área medida a variação da primitiva F de f 
nte que 
 , então F(b) – F(a) = Área (R). ( ) ( ) (aFbFdxx −= )
exto prático pode-se, também, usar o T.F.C para calcular o 
a grandeza F , que é primitiva de uma função f contínua, em um 
onsiderando as seguintes etapas: 
Etapa 1 : Divida o intervalo em n subintervalos iguais o de largura bxa ≤≤
n
abx −=∆ . Para I=1,2 …n, escolha um número ix que pertença ao intervalo de ordem 
[ ]ii xxi ,1− . 
Etapa 2 : Aproxime a contribuição do intervalo I para o valor total da grandeza por ( ) xxf i ∆ . Some as contribuições de todos os intervalos para obter o total estimado 
 
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxfxfxf xxfxxfxxfSn n n∆++=
=∆+∆+∆=
...
...
21
21 
Etapa 3 : Calcule o limite da soma acima quando n tende a infinito para obter o valor 
exato da grandeza, segundo a definição da integral definida por Riemann. 
Etapa 4 : Use a definição da integral definida (Riemann) juntamente com a aplicação do 
T.F.C, assim 
 
 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∫∆++∆+∆ −==
∞−
b
a
m
aFbFdxxfn xxfxxfxxf ...21lim 
, 
então tem-se o valor total de uma certa grandeza F num intervalo a . bx ≤≤
Etapa 5 : Seja F: [a,b] –R definida por então para . 
Se o valor médio de f em [a,b] é dado por 
( )∫ba dttf
( )
( ) )(´ xfxF = bxa ≤≤
( )dxx∫ba fa−= bf 1Vm . 
Nota-se que as integrais definidas estão envolvidas em diversas situações 
concretas: usando a taxa segundo a qual a área de um tanque encontramos a quantidade 
que vazou durante um certo período; usando a leitura do velocímetro do carro podemos 
calcular a distância percorrida por ele em um dado intervalo de tempo; usando o 
conhecimento das potências consumida encontramos a energia usada durante um dado dia 
em Recife. 
 
Lei de Newcomb-Benford Aplicado a Auditoria Contábil e Digital 
A auditoria é uma especialidade dentro das Ciências Contábeis cujo objetivo é 
verificar a veracidade das informações contidas nos relatórios contábeis.Não se sabe precisar 
a data dos inícios das atividades de Auditoria, porém seu desenvolvimento está intimamente 
relacionado com o desenvolvimento do próprio capitalismo. A Inglaterra no século XVIII foi 
à pioneira nessa atividade, pois possuía principalmente após a Revolução Industrial, grande e 
complexas empresas. 
O auditor externo ou independente é um profissional que emite um parecer, através de 
uma opinião fundamentada, sobre as demonstrações contábeis.Porém, para emitir essa opinião 
fundamentada é necessário examinar todos os lançamentos contábeis relativos ao exercício 
social em questão?Não, pois caso o Auditor optasse em analisar todos os lançamentos os 
custos de suas atividades aumentaria consideravelmente e a informação dada por esse 
profissional perderia sensivelmente sua utilidade, pois não seria tempestiva. Sendo assim, a 
NBC T 11 possibilita a utilização de “métodos de amostragem estatística” na determinação da 
extensão dos procedimentos de auditoria e do método de seleção de itens a serem testadas As 
obtenções de amostras estatísticas se dá através da aplicação de modelos em Ciências 
Matemáticas. Diante dessa afirmação surge um questionamento: A contribuição das Ciências 
Matemáticas às Ciências Contábeis, em particular ao ramo denominado de Auditoria, limita-
se apenas à extração de amostras? 
A resposta é não e será demonstrada que as Ciências Matemáticas podem contribuir 
muito mais para a Auditoria. Dentro das Ciências Matemáticas existe uma lei denominada de 
Newcomb-Benford. Tal lei foi descoberta empiricamente pelo astrônomo e matemático 
Newcomb (1881) quando, ao acaso, observou que as primeiras páginas das tábuas de 
logaritmos, nas bibliotecas, eram as mais manuseadas (mais sujas e estragadas que as 
outras).Isto é, as pessoas iam muito mais à busca dos valores dos logaritmos que começavam 
por um do que aqueles que começavam com o dígito nove. Esse fato também foi comprovado 
por Benford de forma independente cinqüenta e sete anos depois. 
Essa lei que serve para detectar desvios de padrões contábeis (erros ou fraudes) é 
pouco utilizada no Brasil, poisa maioria dos Auditores não possui conhecimento sobre ela e 
também por não existir literatura brasileira que a exponha (os poucos trabalhos que se tem 
publicado nessa área foi escrito por Santos et al, fazendo um estudo de caso nos estados de 
Pernambuco, Paraíba e Rio Grande do Norte). 
Como se percebe essa lei é de grande importância, pois permite que através de 
métodos quantitativos os auditores possam dar seu parecer com bases mais seguras. 
Demonstração da lei de Newcomb-Benford 
Supondo que exista uma distribuição de probabilidade P(x), onde esse seria o espaço 
amostral, ou seja , o conjunto de dígitos possíveis de acontecer. Define-se que uma função F é 
invariante escalar se e somente se F(λ(x) = λ(k)p(x) . 
P (x) = λ(k) p(x) 
Como se pode supor que ƒp(x)dx=1 (hipótese de normalização). E usando a técnica 
de integração por substituição para resolver o cálculo diferencial tem-se: 
ƒ p(kx) = ƒ λ(k)p(x)dx 
 u(x) = kx 
 du(x) = k 
1/k ƒ pudu = λ(k)ƒ p(x)dx 
1/k.1 = λ(k).1 
λ(k) = 1/k 
Derivando a equação (1) em função de k, ou seja, na variável k, temos: 
(1) p(kx) = λ(k)p(x) 
p(kx)’.x + p(kx).x’ = p(x)λ’(k). 
 p’(kx).x = p(x) λ’(k). 
e para k=1, resulta na equação diferencial: 
 p’(1.x).x = p(x). λ(k) 
 
 
 
 λ(k)= 1/k 
 
 p’(x).x = p(x).(1/k)’ 
 p’(x).x = p(x). (-k’/k2) 
 p’(x).x = p(x). (-1) 
(2) p’(x).x = - p(x) 
 
Integrando (2), temos: 
 
 x.p’(x) dx= –p(x) dx 
 p’(x)/p(x) = -1/x x=t 
 1ƒx p’(t)/p(t) = 1ƒx -1/t 
 
 Ln p(x) = -Ln x 
 Ln p(x) = Ln x-1 
 
Pela injetividade logarítmica 
 p(x) = 1/x 
A distribuição p(x) = 1/x não representa uma distribuição de probabilidade própria, 
mas como os fenômenos reais impõem um ponto de corte na distribuição, podendo-se, assim, 
ser considerada esta distribuição para efeito dos cálculos das probabilidades a ocorrência do 
primeiro dígito. Então Utilizando o teorema Fundamental do Cálculo, temos: 
 
P (primeiro dígito significativo = d) = dƒ d+1 p(x) dx Ln(d+1) – Ln(d) 
 = 
 1ƒ10 p(x)dx Ln(10) – Ln(1) 
 
 = Ln (d+1/d) 
 =log10 (d+1/d) 
 Ln 10 
Portanto, fica demonstrado que a probabilidade de um dígito como por exemplo o 
dígito 1 é de log10 (1+1/d) = log10 2 = 0,30103. Além disso, está deduzida, de forma 
simplificada, a Lei de Newcomb-Benford, demonstrando a importância do Teorema 
Fundamental do Cálculo, uma vez que esse é utilizado na demonstração dessa lei. 
 
Aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo na Obtenção de um Modelo da 
Reserva Matemática para Fundo de pensão Municipal. 
 
As entidades fechadas de previdência privada, usualmente conhecida como Fundos de 
Pensão, surgiram como uma resposta às limitações da Previdência Social em garantir maior 
segurança aos trabalhadores e seus familiares em situações adversas como doença, invalidez e 
morte, e em assegurar um futuro mais tranqüilo na aposentadoria. Ela se destina a administrar 
planos específicos de previdência complementar, vinculado ou não ao regime de Previdência 
Oficial, e são mantidos por empresa ou conjunto de empresas denominadas Patrocinadoras. 
Seus planos previdenciários são direcionados aos empregados das Patrocinadoras que, uma 
vez filiados, passam a ser denominados, Participantes. 
A instituição do sistema previdenciário no Brasil aconteceu em 1977, com a promulgação da 
Lei 6435, em 15 de julho daquele ano, disciplinando o funcionamento das entidades de 
previdência privada. 
A idéia socializante da constituição de um fundo de pensão é essencialmente a 
reunião da empresa e de seus empregados que, através de contribuições mensais, formam um 
fundo a ser aplicado no mercado financeiro, para garantir os benefícios aos seus 
participantes. No entanto, a função social destas entidades ultrapassa as fronteiras deste 
grupo de empresas e empregados, já que, com a formação dessa grande poupança interna, 
investe-se em diversos segmentos produtivos da economia do país, gerando milhares de 
novos empregos e estimulando o desenvolvimento nacional. 
Os fundos de pensão brasileiros começaram a ser criados na década de 70. Naquela 
época, as empresas estatais garantiam a aposentadoria integral a seus trabalhadores. Por 
decisão política, o governo acabou com a aposentadoria integral e obrigou os trabalhadores a 
contribuir, em conjunto com as empresas, para a criação de fundos de pensão que 
garantiriam o pagamento de complementação de aposentadoria, além do teto de benefícios 
garantido pelo INSS. Várias empresas privadas também criaram fundos de pensão para 
garantir melhor benefício aos seus executivos, após a aposentadoria. Outro objetivo 
governamental ao criar os fundos de previdência foi incentivar o mercado de capitais, e as 
reservas acumuladas pelos fundos tiveram importante papel de alavancar as bolsas de valores 
brasileiras A importância dos Fundos de Pensão está presente, portanto, não apenas no 
contexto social mas, também, no econômico, um dos segmentos fundamentais para viabilizar 
o desenvolvimento do país. Com um montante aproximado de R$ 172 bilhões, estes fundos 
são hoje o maior mecanismo de poupança interna nacional. Se bem aplicados, estes recursos 
podem atender plenamente ao seu objetivo principal e ainda render dividendos sociais de 
valor inestimável, como geração de emprego e garantir investimentos que viabilizem o 
crescimento da economia. 
No contexto das ciências Contábeis e Atuariais, o estudo de modelos 
contabilométricos, advindos dos Métodos Quantitativos, são entre outros utilizados para se 
fazer projeções e previsões comportamentais das variáveis, como por exemplo: Reserva R(t), 
Contribuição C(t), Benefício B(t), tomando como certo que existirá um fluxo de renda para o 
infinito, essas variáveis que são responsáveis pelo funcionamento do Sistema 
Previdenciário, sem as quais esse sistema não se sustentaria. Na visão contábil, esses 
métodos dão fidedignidade à gestão de ativos e passivos previdenciários , prezando por uma 
contabilidade preditiva e pró-ativa, quebrando toda e qualquer retrocessão as tradições de 
uma contabilidade que só se preocupa com o presente e não é capaz de olhar para o futuro. 
Reservas Matemáticas para Fundos de Pensão 
 Reservas Matemáticas- É o valor determinado pelo processo matemático,que 
equilibra as responsabilidades futuras,num contrato,entre a “entidade” e “participante”,ou 
seja, é a diferença entre os encargos da entidade e do participante,avaliados pela mesma tábua 
de mortalidade,taxa de juros e á mesma época. 
Reserva Terminal Pura: 
Método Prospectivo- É a diferença entre o valor atual das futuras obrigações da 
entidade e do participante,ambos na época do cálculo. 
Reserva= (Valor Presente dos Benefícios Futuros)-(Valor Presente dos Prêmios 
Futuros) 
Assim, a visão prospectiva olha o futuro e estabelece a equação acima. 
Método Retrospectivo-É a diferença entre o montante das obrigações passadas da 
entidade e do participante,avaliados á mesma época e ás mesmas taxas de juros e de 
mortalidade. 
Reserva= (Valor Presente dos Prêmios Passados)-(Valor Presente dos Benefícios 
Passados)(2) 
Nesta ótica, a visão retrospectiva olha para o passado que no mesmo momento 
estabelece a equação(2) acima. 
Modelos Contabilométricos para Financiamento do Regime Próprio de Previdência 
Social. 
O processo dinâmico futuro de um SPSS é determinado, em primeiro lugar,pelas 
características demográficas e econômicas-financeiras da população inicial coberta. Além 
disso, é influenciado ainda por uma série de fatores demográficos e econômicos-financeiros 
que ocorrerão ao longo de toda a existência do sistema. Em geral, estes parâmetrosvariam 
com o tempo. Para o presente proposto, que é determinar um modelo de reserva Matemática 
para um R.P.P.S considera-se os seguintes parâmetros e funções-chave que caracterizam o 
desenvolvimento financeiro de um SPSS: 
-Parâmetros Demográficos e econômicos; 
-a força da taxa de juros: δ
-a força do crescimento dos novos entrantes ρ
-a força do crescimento dos salários γ
-a força da inflação é denotado por σ
Funções-chave: 
- a função despesas B(t) 
- a função salário segurado S(t) 
- a função taxa de contribuição C(t), que caracteriza o método de 
financiamento 
- a função reserva matemática RM(t), que representa o excesso de 
entradas sobre as saídas,acumulada com juros de força δ
 
Modelo Matemático de Zalenka 
 
Para determinar a função reserva matemática RM(t) em relação aos parâmetros 
demográficos econômicos e financeiros acima mencionados. 
Zalenka em 1958 criou uma equação da forma: 
 
 
=+ = + 
 
 
A variação mais 
reservas em qualquer 
pequeno intervalo de 
tempo ),( dttt +
Rendimento do 
Investimento das 
Reservas no 
mesmo intervalo 
de tempo ),( dttt +
Excesso da receita das 
contribuições sobre a 
despesa com benefícios no 
mesmo intervalo de tempo 
( ) dttt +,
 
 
Em termos matemáticos tem-se a seguinte equação diferencial. 
 dttBdttStCdttRMtdRM )()()()()( −+= δ
Desde que as despesas sejam iguais aos totais dos benefícios 
 dttBtStCdttRMdttRM )()()()()(' −+= δ
 [ dttBtStCdttRMtRM )()()(])()(' −=− δ
 dttBtStCedttRMtRMe tt )]()()([)])(()('[ −=−+ −− δδ δ
 [ dttBtStCetRMetRMe ttt )]()()([)])(()(' −=−+ −−− δδδ δ
 [ dttBtStCedtetRM tt )]()()([]')( −= −− δδ
Portanto, a equação acima tem a seguinte interpretação: 
A variação da taxa da Reserva Matemática do sistema do RPPS (Regime Próprio de 
Previdência Social) em valores presente em um intervalo de tempo (t; t + dt) é igual, ao 
excesso das taxas dos salários em relação aos benefícios em termos de valores presentes no 
intervalo de tempo (t ; t + dt) 
A expressão da reserva matemática é obtida explicitamente a partir do T.F.C. 
(Teorema Fundamental do Cálculo).no intervalo (m,n) da seguinte maneira: 
 ∫∫ − = nmnm t CdtetRM δ []')([
 −− − tn dtetemRMenRM δδ )]()()( 
 −− = tn emRMenRM δδ )()(
 −= mnemRMnRM )()( (
Para m=0, tem-se: 
 ∫= non tStCenRM δ ()([)(
−− t dtetBtSt δ)]()()(
∫− −= nmm BtStCδ )()([
− nmδ
 ∫ −+ m dtetBtStC )]()()([ 
 ∫ −−+ nm tn dtetBtStCe δδδ )]()()([)
 −− t dtetB δ)]()
Levando em conta o equilíbrio atuarial terminado pela lei vigente, isto é: a 
equivalência das receitas e dos pagamentos pode ser expressa igualando o valor presente das 
contribuições futuras ao valor das despesas futuras no início do sistema e levando em conta 
que o valor do dinheiro no tempo tem-se: 
 ∫∫ −− = n tn t dtetBdtetStC 00 )()]()([ δδ
Assumindo que as duas integrais impróprias convergem se > , tem-se: δ γρ +
 ∫∫ ∞ −−∞ = 00 )()]()([ dtetBdtetStC tt δδ
e além disso, a equação fundamental do equilíbrio para o sistema de Previdência 
Social implica que: 
 ∫∫ ∞ −− −=− n tn t dtetStCtBdtetBtStC δδ )]()()([)]()()([0
 Substituindo a equação a seguinte 
expressão prospectiva da reserva matemática é obtida: 
∫ −−= no tn dtetBtStCenRM δδ )]()()([)(
 ∫∞ −−= n tn dtetStCtBenRM δδ )]()()([)( 
 
Conclui-se que se observarmos o sistema em toda a sua existência, do ponto de vista 
inicial, qualquer função de contribuição C(t) que satisfaz a equação 
, constitui um método de financiamento teoricamente 
possível para o novo sistema de previdência social e leva a correspondente função reserva 
matemática RM(t) dado por . No entanto, questões 
práticas nos levam à necessidade de impor condições sobre C(t) e RM(t). 
∫∫ ∞ −−∞ = 00 )()]()([ dtetBdtetStC tt δδ
RM ∫∞ −−= n tn dtetStCtBen δδ )]()()([)(
Além disso, os valores negativos de C(t) - implicam que o sistema está reembolsando 
aos contribuintes - ou valores negativos de RM(t) – implicam que o sistema está tomando 
emprestado para pagar benefícios correntes. Necessitamos portanto excluir estas 
possibilidades. Simbolicamente é necessário que e para todos os valores 
de t. a imposição destas condições sobre C(t) e/ou RM(t) leva-nos a vários métodos de 
financiamento para sistemas de previdência social. 
0)( ≥tC 0)( ≥tRM
 
 
Considerações Finais 
 
 É de relevância para o profissional contábil, a utilização dos métodos quantitativos 
pois esses são capazes de fornecer informações de forma mais precisas, uma vez que a 
Contabilidade ainda só é capaz de captar e registrar eventos mensuráveis em moeda e que os 
relatórios não expressam a realidade financeira e econômica da entidade, mesmo que 
estatisticamente. Na tomada de decisões muitos outros elementos devem ser considerados, 
deve-se então buscar um grupo de disciplinas suporte para auxiliar o processo da análise das 
demonstrações contábeis. Desta maneira, a interdisciplinaridade com os Métodos 
Quantitativos - Matemática, Estatística e Informática pensados de forma integrada – surge 
como forma de completar este processo técnico-científico. 
 Dentro desse contexto o Teorema Fundamental do Cálculo assume 
significância (em termos de aplicabilidade) para a Contabilidade pois o contador através 
desse, pode verificar a variação de uma grandeza num dado intervalo de tempo.Assim, 
demonstra-se que o ensino de uma nova metodologia,Contabilometria, faz-se necessário 
dentro do curso de graduação de Ciências Contábeis. 
 
Referências Bibliográficas: 
 
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Editora Bookman, Porto Alegre, 2000. 
GUJARATI, Damodar N. Econometria Básica. Editora Makron Books Ltda, São 
Paulo, 2000. 
HOFFMAN, Laurence D.,BRADLEY,Gerald L. Cálculo um curso Moderno e suas 
Aplicações, 7ª edição.Editora JC ,2002. 
IUDÌCIBUS, Sérgio de. Existirá a Contabilometria. Revista Brasileira de 
Contabilidade ,1982. 
IUDÌCIBUS,Sérgio de. Teoria da Contabilidade. 6ª edição. Editora Atlas,2000. 
LAKATOS, Eva Maria.; MARCONI, Marina de Andrade, 1923-.. Fundamentos de 
metodologia cientifica. 3.ed. rev. e ampliada. - São Paulo: Atlas, 1991. 
 MAROIN, J. Carlos, SILVA,L.B. Contabilometria, novo Campo de Estudo para a 
Contabilidade. Revista Brasileira de Contabilidade, n° 59,1996. 
Pesquisa Operacional para Decisão em Contabilidade e Administração: 
Contabilometria/Luiz J. Corrar, Carlos Renato Théophilo (coordenadores) – São Paulo Atlas, 
2004. 
SILVA, Antonio C. R. da, Metodologia da Pesquisa Aplicada à Contabilidade, São 
Paulo, Atlas 2003.