Limite e Derivadas

ÁREA1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia 
 Cursos de Engenharia 
 Cálculo Diferencial e Integral I 
 Professor: Álvaro Fernandes Serafim 
 
 
 
 
Apostila de limites e derivadas 
 
 
 
 “Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas 
 há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu 
 problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e 
 fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, 
 então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta” 
 
 
 George Polya 
 
 
 Última atualização: 26/10/2007 
 
25
x
a1limln
ax
x
=



 

 +
+∞→
 . 
Qual o valor de a ? 
Álvaro Fernandes 2
Índice 
 
 
Limite e continuidade............................................................................................................. 3 
 
Noção intuitiva de limite........................................................................................................... 3 
Tabelas de aproximações........................................................................................................... 4 
Cálculo de uma indeterminação do tipo 0/0.............................................................................. 6 
Fórmulas de simplificações e propriedades dos limites............................................................ 8 
Continuidade............................................................................................................................. 10 
Limites infinitos........................................................................................................................ 12 
Limites no infinito..................................................................................................................... 13 
Expressões indeterminadas....................................................................................................... 15 
Limite fundamental exponencial............................................................................................... 17 
Limite fundamental trigonométrico.......................................................................................... 19 
Funções limitadas..................................................................................................................... 21 
Aplicação 1: Problema da área sob o arco de uma parábola..................................................... 23 
Aplicação 2: Problema do circuito RL em série...................................................................... 24 
 
Derivada................................................................................................................................... 25 
 
A reta tangente.......................................................................................................................... 25 
A reta normal............................................................................................................................ 28 
A derivada de uma função num ponto...................................................................................... 28 
Derivadas laterais..................................................................................................................... 29 
Regras de derivação.................................................................................................................. 31 
Derivada da função composta (Regra da cadeia)...................................................................... 33 
Derivada da função inversa....................................................................................................... 35 
Derivada das funções elementares............................................................................................ 36 
Derivada da função exponencial............................................................................................... 36 
Derivada da função logarítmica................................................................................................. 37 
Derivada das funções trigonométricas...................................................................................... 37 
Derivada das funções trigonométricas inversas........................................................................ 40 
Tabela de derivadas.................................................................................................................. 42 
Derivadas sucessivas................................................................................................................ 43 
Derivada na forma implícita..................................................................................................... 45 
Derivada de uma função na forma paramétrica........................................................................ 50 
Diferencial................................................................................................................................ 54 
 
Aplicações da derivada........................................................................................................... 56 
 
A regra de L’Hospital............................................................................................................... 56 
Interpretação cinemática da derivada....................................................................................... 58 
Taxa de variação....................................................................................................................... 61 
Análise gráfica das funções...................................................................................................... 64 
 Máximos e mínimos........................................................................................................... 64 
 Funções crescentes e decrescentes..................................................................................... 67 
 Critérios para determinar os extremos de uma função........................................................ 68 
 Concavidade e inflexão....................................................................................................... 70 
 Assíntotas horizontais e verticais........................................................................................ 72 
 Esboço gráfico..................................................................................................................... 75 
Problemas de otimização......................................................................................................... 80 
 
Álvaro Fernandes 3
 
 
Limite e continuidade 
 
 
Noção intuitiva de limite 
 
 
 Considere a função ( )f x x= −2 1 . Esta função está definida para todo x ∈ℜ , isto é, 
qualquer que seja o número real ox , o valor ( )oxf está bem definido. 
 
Exemplo 1. Se 2xo = então ( ) ( ) 3122fxf 2o =−== . Dizemos que a imagem de 2xo = é o valor ( ) 32f = . 
 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 Considere agora uma outra função ( )g x x
x
= −−
2 1
1
. Esta função está definida 
{ }∀ ∈ℜ−x 1 . Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1. 
 
 
( ) ???
0
0
11
111g
2
=−
−= 
 
 
Quando dividimos a por b procuramos um número c tal que o produto bc resulte em a. 
 
abcc
b
a =⇔= . Por exemplo, 6232
3
6 =⋅⇔= . 
 
Se fizermos 0x0x
0
0 =⋅⇔= , para qualquer valor de ℜ∈x , isto é, infinitos valores de x . Daí a 
indeterminação no valor de x... 
 
0
0 simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminações matemáticas 
serão tratados mais adiante. 
Álvaro Fernandes 4
Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento desta 
função quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a seguinte 
pergunta: 
 
Qual o comportamento da função g