ÁREA1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia Cursos de Engenharia Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Álvaro Fernandes Serafim Apostila de limites e derivadas “Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta” George Polya Última atualização: 26/10/2007 25 x a1limln ax x = + +∞→ . Qual o valor de a ? Álvaro Fernandes 2 Índice Limite e continuidade............................................................................................................. 3 Noção intuitiva de limite........................................................................................................... 3 Tabelas de aproximações........................................................................................................... 4 Cálculo de uma indeterminação do tipo 0/0.............................................................................. 6 Fórmulas de simplificações e propriedades dos limites............................................................ 8 Continuidade............................................................................................................................. 10 Limites infinitos........................................................................................................................ 12 Limites no infinito..................................................................................................................... 13 Expressões indeterminadas....................................................................................................... 15 Limite fundamental exponencial............................................................................................... 17 Limite fundamental trigonométrico.......................................................................................... 19 Funções limitadas..................................................................................................................... 21 Aplicação 1: Problema da área sob o arco de uma parábola..................................................... 23 Aplicação 2: Problema do circuito RL em série...................................................................... 24 Derivada................................................................................................................................... 25 A reta tangente.......................................................................................................................... 25 A reta normal............................................................................................................................ 28 A derivada de uma função num ponto...................................................................................... 28 Derivadas laterais..................................................................................................................... 29 Regras de derivação.................................................................................................................. 31 Derivada da função composta (Regra da cadeia)...................................................................... 33 Derivada da função inversa....................................................................................................... 35 Derivada das funções elementares............................................................................................ 36 Derivada da função exponencial............................................................................................... 36 Derivada da função logarítmica................................................................................................. 37 Derivada das funções trigonométricas...................................................................................... 37 Derivada das funções trigonométricas inversas........................................................................ 40 Tabela de derivadas.................................................................................................................. 42 Derivadas sucessivas................................................................................................................ 43 Derivada na forma implícita..................................................................................................... 45 Derivada de uma função na forma paramétrica........................................................................ 50 Diferencial................................................................................................................................ 54 Aplicações da derivada........................................................................................................... 56 A regra de L’Hospital............................................................................................................... 56 Interpretação cinemática da derivada....................................................................................... 58 Taxa de variação....................................................................................................................... 61 Análise gráfica das funções...................................................................................................... 64 Máximos e mínimos........................................................................................................... 64 Funções crescentes e decrescentes..................................................................................... 67 Critérios para determinar os extremos de uma função........................................................ 68 Concavidade e inflexão....................................................................................................... 70 Assíntotas horizontais e verticais........................................................................................ 72 Esboço gráfico..................................................................................................................... 75 Problemas de otimização......................................................................................................... 80 Álvaro Fernandes 3 Limite e continuidade Noção intuitiva de limite Considere a função ( )f x x= −2 1 . Esta função está definida para todo x ∈ℜ , isto é, qualquer que seja o número real ox , o valor ( )oxf está bem definido. Exemplo 1. Se 2xo = então ( ) ( ) 3122fxf 2o =−== . Dizemos que a imagem de 2xo = é o valor ( ) 32f = . Graficamente: Considere agora uma outra função ( )g x x x = −− 2 1 1 . Esta função está definida { }∀ ∈ℜ−x 1 . Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1. ( ) ??? 0 0 11 111g 2 =− −= Quando dividimos a por b procuramos um número c tal que o produto bc resulte em a. abcc b a =⇔= . Por exemplo, 6232 3 6 =⋅⇔= . Se fizermos 0x0x 0 0 =⋅⇔= , para qualquer valor de ℜ∈x , isto é, infinitos valores de x . Daí a indeterminação no valor de x... 0 0 simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminações matemáticas serão tratados mais adiante. Álvaro Fernandes 4 Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento desta função quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a seguinte pergunta: Qual o comportamento da função g