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ÁREA1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia
Cursos de Engenharia
Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: Álvaro Fernandes Serafim
Apostila de limites e derivadas
\u201cUma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas
há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu
problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e
fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho,
então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta\u201d
George Polya
Última atualização: 26/10/2007
25
x
a1limln
ax
x
=
\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb +
+\u221e\u2192
.
Qual o valor de a ?
Álvaro Fernandes 2
Índice
Limite e continuidade............................................................................................................. 3
Noção intuitiva de limite........................................................................................................... 3
Tabelas de aproximações........................................................................................................... 4
Cálculo de uma indeterminação do tipo 0/0.............................................................................. 6
Fórmulas de simplificações e propriedades dos limites............................................................ 8
Continuidade............................................................................................................................. 10
Limites infinitos........................................................................................................................ 12
Limites no infinito..................................................................................................................... 13
Expressões indeterminadas....................................................................................................... 15
Limite fundamental exponencial............................................................................................... 17
Limite fundamental trigonométrico.......................................................................................... 19
Funções limitadas..................................................................................................................... 21
Aplicação 1: Problema da área sob o arco de uma parábola..................................................... 23
Aplicação 2: Problema do circuito RL em série...................................................................... 24
Derivada................................................................................................................................... 25
A reta tangente.......................................................................................................................... 25
A reta normal............................................................................................................................ 28
A derivada de uma função num ponto...................................................................................... 28
Derivadas laterais..................................................................................................................... 29
Regras de derivação.................................................................................................................. 31
Derivada da função composta (Regra da cadeia)...................................................................... 33
Derivada da função inversa....................................................................................................... 35
Derivada das funções elementares............................................................................................ 36
Derivada da função exponencial............................................................................................... 36
Derivada da função logarítmica................................................................................................. 37
Derivada das funções trigonométricas...................................................................................... 37
Derivada das funções trigonométricas inversas........................................................................ 40
Tabela de derivadas.................................................................................................................. 42
Derivadas sucessivas................................................................................................................ 43
Derivada na forma implícita..................................................................................................... 45
Derivada de uma função na forma paramétrica........................................................................ 50
Diferencial................................................................................................................................ 54
Aplicações da derivada........................................................................................................... 56
A regra de L\u2019Hospital............................................................................................................... 56
Interpretação cinemática da derivada....................................................................................... 58
Taxa de variação....................................................................................................................... 61
Análise gráfica das funções...................................................................................................... 64
Máximos e mínimos........................................................................................................... 64
Funções crescentes e decrescentes..................................................................................... 67
Critérios para determinar os extremos de uma função........................................................ 68
Concavidade e inflexão....................................................................................................... 70
Assíntotas horizontais e verticais........................................................................................ 72
Esboço gráfico..................................................................................................................... 75
Problemas de otimização......................................................................................................... 80
Álvaro Fernandes 3
Limite e continuidade
Noção intuitiva de limite
Considere a função ( )f x x= \u22122 1 . Esta função está definida para todo x \u2208\u211c , isto é,
qualquer que seja o número real ox , o valor ( )oxf está bem definido.
Exemplo 1. Se 2xo = então ( ) ( ) 3122fxf 2o =\u2212== . Dizemos que a imagem de 2xo = é o valor ( ) 32f = .
Graficamente:
Considere agora uma outra função ( )g x x
x
= \u2212\u2212
2 1
1
. Esta função está definida
{ }\u2200 \u2208\u211c\u2212x 1 . Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1.
( ) ???
0
0
11
111g
2
=\u2212
\u2212=
Quando dividimos a por b procuramos um número c tal que o produto bc resulte em a.
abcc
b
a =\u21d4= . Por exemplo, 6232
3
6 =\u22c5\u21d4= .
Se fizermos 0x0x
0
0 =\u22c5\u21d4= , para qualquer valor de \u211c\u2208x , isto é, infinitos valores de x . Daí a
indeterminação no valor de x...
0
0 simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminações matemáticas
serão tratados mais adiante.
Álvaro Fernandes 4
Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento desta
função quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a seguinte
pergunta:
Qual o comportamento da função g