1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO Nice Maria Americano costa Pinto UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 2 INTRODUÇÃO Um pouco de história Cálculo Diferencial e Integral; séculos XVI e XVII, Newton e Leibniz. interesses de cálculos (diferenciação integração) O Cálculo Diferencial Grécia Antiga: tangentes a curvas, reta e curvas; sua intersecção Século XVII, as órbitas dos planetas. Newton: calcular as órbitas de planetas, considerar a corda de um arco, Curva da trajetória: limite de pequenas cordas encadeadas umas às outras. O Cálculo Integral área subtendida por curva limite de uma soma áreas de retângulos inseridos sob a curva. Limite de uma função Século XIX; Bolzano (1817), técnica do “epsilon” ,“ε” e “delta”, “δ”; Cauchy (1821),a essência da idéia; Weierstrass (1850 e 1860), a noção de forma rigorosa. 3 Vizinhança de um ponto Para um valor arbitrariamente pequeno ε>0, a vizinhança de a é o conjunto dos x compreendido pelo intervalo εε +<<− axa ε εε <− <−<− ax ax a a-ε a+ε x ε ε 0 4 Limite de uma variável aa-ε a+ε x x2x1 x3 Se |x-a|<ε valer para todo ε>0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem um limite e tal limite vale a. Simbolicamente, axax =→ lim, Os valores x1, x2 e x3 da variável x, estão na vizinha ε de x=a. Isto é, os valores xi estão no intervalo a-ε < xi <a+ε (i=1,2,3) 5 Exemplos 1. x é a variável de valores n xxxx n 11....., 3 11, 2 11,1 321 ==== Essa variável tem um limite que é 1. ∃ uma vizinhança de centro em 1, com raio ε; devemos calcular ε, para provar que a inequação |x-1 < ε. O ponto de partida será portanto a expressão |x−1|, i.e. calcular quanto ela vale; ε εε <− ><∴=−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=− 1 1111111 x nou n para nn x n 6 0,5 1 1,5 2 1o.termo 2o.termo (n=2) x é o conjunto dos termos: x1=1, x2=1,5, e>1/2=0,5. e=0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51 0,5 1 1,5 2 1o.termo 2o.termo 3o.termo (n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33, ε>1/3=0,33333. ε=0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51 0,5 1 1,5 2 1o.termo 2o.termo 3o.termo 4o.termo 5o.termo 6o.termo (n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33, x4=1,25, x5=1,2, x6=1,16 ε>1/6=0,166667. ε=0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51 termosxnn 2o.termo1,52 1o.termo11 termosxnn 3o.termo1,3333333 2o.termo1,52 1o.termo11 termosxnn 6o.termo1,1666676 5o.termo1,25 4o.termo1,254 3o.termo1,3333333 2o.termo1,52 1o.termo11 7 2. x é a variável de valores n n nxxxx 2 1)1(1....., 2 11, 2 11, 2 11 33221 −+=−=+=−= Essa variável tem um limite que é 1. ∃ uma vizinhança de centro em 1, com raio ε; devemos calcular ε. ε ε ε εε <− >∴> ><∴=−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+=− 1 2log 1log1log2log 12 2 1 2 11 2 1)1(11 x nn aindaououparax nnnn n n 80,5 0,75 1 1,25 1,5 1o.termo 2o.termo 3o.termo 4o.termo 5o.termo 6o.termo (n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875, x4=1,0625, x5=96875, x6=1,015625ε>1/26=0,015625. ε=0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1o.termo 2o.termo (n=2) x é o conjunto dos 2 termos: x1=1, x2=1,25,ε>1/22=0,25. ε=0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1o.termo 2o.termo 3o.termo (n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875, ε>1/23=0,015625. ε=0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26 2o.termo1,252 1o.termo11 termosxnn 3o.termo0,8753 2o.termo1,252 1o.termo11 termosxnn 6o.termo1,0156256 5o.termo0,968755 4o.termo1,06254 3o.termo0,8753 2o.termo1,252 1o.termo11 termosxnn 9 3. X é uma variável de valor constante c Essa variável tem um limite que é c, ainda que pareça estranho. ∃ uma vizinhança de centro em c, com raio ε; devemos calcular ε. ε ε <− >∴=−=− cx paracccx 00 10 a xb (b-a)/2 ε ε ε ε Observações 1. Uma variável x não pode ter dois limites diferentes, a e b. 2 limlim abparaimpossível bxeax bxeaxse −< <−<− == ε εε 2. Não se imagine que toda variável tem um limite. 11 a variável x tende ao infinito, se, p/ cada número positivo M, pode-se Indicar um valor de x, a partir do qual, todos os valores subseqüentes da variável verificam : Mx > VARIÁVEL INFINITAMENTE GRANDE Seja a variável x o { x1, x2, x3, x4, x5....xn}, mostrado na figura abaixo. Xn-1x1 x6 x x4 x3 x2 x5 A partir de x4, todo valor subseqüente da variável é maior que o antecedente; para M=x4, |xi|>M, p/ i=5,6,7....n 12 Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos pontos desta vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou Limite de uma função bxf ax = → )(lim se, para cada número positivo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um δ > 0 tal que, para todo x diferente de a, verificando | x -a | < δ , a desigualdade | f(x) - l | < ε, fica satisfeita. Diz-se então que b é o limite de f(x). a b δ δ ε ε 13 Exemplos 14)24(lim 3 =+ → x x 7)13(lim 2 =+ → x x ? 0 0 4 4 2 3 2 lim =− − → x xx x2 31 4 1lim 2 =+ → x x ? 0 0 5 5 2 5 lim =− − → xx x x Os “resultados” dos limites das funções 3 e 5 demonstram que o cálculo do limite não se faz por uma simples substituição direta do valor para o qual a variável tende. Veremos que existem resultados para tais limites 14 ( ) 4 4 334 34431241424 1424 14)24(lim 3 εδ εε ε = <−∴<− −=−=−=−+ <−+ =+ → xx xxxx x x x Cálculo pela definição Se 14 é o lim f(X), quando x → 3, temos que ter: 15 3 3 223 233)2(63 713 7)13(lim 2 εδ εε ε = <−∴<− −=−=− <−+ =+ → xx xxx x x x Se 7 é o lim f(X), quando x → 2, temos que ter: 16 4 4 22 4 1 2 4 1)2( 4 1 2 1 4 1 2 31 4 1 2 31 4 1 2/31 4 1lim 2 εδ εε ε = <−∴<− −=−=−=−+ <−+ =+ → xx xxxx x x x 17 εδ ε ε = <− −=−− − <−− − =− − → 2 22 4 )4( 2 4 4 2 4 4 2 2 2 3 2 3 2 lim x x x xx x xx x xx x 18 εδ ε εε εε ε ε ε ε εεεε εε ε ε 25 255-x 25525 escrever podemos,151 e 151 mas 51 255 51 25 51 5 51 5 5 1 1 5 1 1 5 11 5 1 5 11 que entao temos 5 11 5 1 )5( )5( 5 1 5 5 5 1 5 5 2 2 5 lim = < <−<− ≈−≈+ −<−<+− −<<+∴− << + +<<− <− −=−− − <−− − =− − → x x xx x x xxx x xx x xx x x