limite_funcao
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1
LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Nice Maria Americano costa Pinto
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
2
INTRODUÇÃO
Um pouco de história
Cálculo Diferencial e Integral; séculos XVI e XVII, Newton e Leibniz. 
interesses de cálculos (diferenciação integração) 
O Cálculo Diferencial 
Grécia Antiga: tangentes a curvas, reta e curvas; sua intersecção
Século XVII, as órbitas dos planetas. 
Newton: calcular as órbitas de planetas, considerar a corda de um arco,
Curva da trajetória: limite de pequenas cordas encadeadas umas às outras.
O Cálculo Integral
área subtendida por curva
limite de uma soma áreas de retângulos inseridos sob a curva.
Limite de uma função
Século XIX;
Bolzano (1817), técnica do \u201cepsilon\u201d ,\u201c\u3b5\u201d e \u201cdelta\u201d, \u201c\u3b4\u201d;
Cauchy (1821),a essência da idéia;
Weierstrass (1850 e 1860), a noção de forma rigorosa.
3
Vizinhança de um ponto
Para um valor arbitrariamente pequeno \u3b5>0, a vizinhança de a é o conjunto dos x 
compreendido pelo intervalo
\u3b5\u3b5 +<<\u2212 axa
\u3b5
\u3b5\u3b5
<\u2212
<\u2212<\u2212
ax
ax
a
a-\u3b5 a+\u3b5
x
\u3b5 \u3b5
0
4
Limite de uma variável
aa-\u3b5 a+\u3b5 x
x2x1
x3
Se |x-a|<\u3b5 valer para todo \u3b5>0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem um 
limite e tal limite vale a. Simbolicamente, 
axax =\u2192 lim,
Os valores x1, x2 e x3 da variável x, estão na vizinha \u3b5 de x=a. Isto é, os valores xi
estão no intervalo a-\u3b5 < xi <a+\u3b5 (i=1,2,3)
5
Exemplos
1. x é a variável de valores
n
xxxx n
11.....,
3
11,
2
11,1 321 ====
Essa variável tem um limite que é 1.
\u2203 uma vizinhança de centro em 1, com raio \u3b5; devemos calcular \u3b5, para provar 
que a inequação |x-1 < \u3b5. O ponto de partida será portanto a expressão |x\u22121|, 
i.e. calcular quanto ela vale;
\u3b5
\u3b5\u3b5
<\u2212
><\u2234=\u2212\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b +=\u2212
1
1111111
x
nou
n
para
nn
x n
6
0,5 1 1,5 2
1o.termo 2o.termo
(n=2) x é o conjunto dos termos: x1=1, x2=1,5, 
e>1/2=0,5. e=0,51 satisfaz a condição e todos os 
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
0,5 1 1,5 2
1o.termo 2o.termo 3o.termo
(n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33, 
\u3b5>1/3=0,33333. \u3b5=0,51 satisfaz a condição e todos os 
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
0,5 1 1,5 2
1o.termo 2o.termo 3o.termo 4o.termo 5o.termo 6o.termo
(n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33, x4=1,25, x5=1,2, x6=1,16
\u3b5>1/6=0,166667. \u3b5=0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam 
na vizinhança |x-1|<0,51
termosxnn
2o.termo1,52
1o.termo11
termosxnn
3o.termo1,3333333
2o.termo1,52
1o.termo11
termosxnn
6o.termo1,1666676
5o.termo1,25
4o.termo1,254
3o.termo1,3333333
2o.termo1,52
1o.termo11
7
2. x é a variável de valores
n
n
nxxxx 2
1)1(1.....,
2
11,
2
11,
2
11 33221 \u2212+=\u2212=+=\u2212=
Essa variável tem um limite que é 1.
\u2203 uma vizinhança de centro em 1, com raio \u3b5; devemos calcular \u3b5. 
\u3b5
\u3b5
\u3b5
\u3b5\u3b5
<\u2212
>\u2234>
><\u2234=\u2212\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212+=\u2212
1
2log
1log1log2log
12
2
1
2
11
2
1)1(11
x
nn
aindaououparax nnnn
n
n
80,5 0,75 1 1,25 1,5
1o.termo 2o.termo 3o.termo 4o.termo 5o.termo 6o.termo
(n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875, 
x4=1,0625, x5=96875, x6=1,015625\u3b5>1/26=0,015625. \u3b5=0,26 satisfaz a condição e todos os valores 
da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
0,5 0,75 1 1,25 1,5
1o.termo 2o.termo
(n=2) x é o conjunto dos 2 termos: x1=1, x2=1,25,\u3b5>1/22=0,25. \u3b5=0,26 satisfaz a condição e todos os valores da 
variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
0,5 0,75 1 1,25 1,5
1o.termo 2o.termo 3o.termo
(n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875, \u3b5>1/23=0,015625. \u3b5=0,26 satisfaz a condição e todos os 
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
2o.termo1,252
1o.termo11
termosxnn
3o.termo0,8753
2o.termo1,252
1o.termo11
termosxnn
6o.termo1,0156256
5o.termo0,968755
4o.termo1,06254
3o.termo0,8753
2o.termo1,252
1o.termo11
termosxnn
9
3. X é uma variável de valor constante c
Essa variável tem um limite que é c, ainda que pareça estranho.
\u2203 uma vizinhança de centro em c, com raio \u3b5; devemos calcular \u3b5. 
\u3b5
\u3b5
<\u2212
>\u2234=\u2212=\u2212
cx
paracccx 00
10
a xb
(b-a)/2
\u3b5 \u3b5 \u3b5 \u3b5
Observações
1. Uma variável x não pode ter dois limites diferentes, a e b.
2
limlim
abparaimpossível
bxeax
bxeaxse
\u2212<
<\u2212<\u2212
==
\u3b5
\u3b5\u3b5
2. Não se imagine que toda variável tem um limite.
11
a variável x tende ao infinito, se, p/ cada número positivo M, pode-se Indicar um valor
de x, a partir do qual, todos os valores subseqüentes da variável verificam :
Mx >
VARIÁVEL INFINITAMENTE GRANDE
Seja a variável x o { x1, x2, x3, x4, x5....xn}, mostrado na figura abaixo.
Xn-1x1 x6 x
x4
x3
x2 x5
A partir de x4, todo valor subseqüente da variável é maior que o antecedente;
para M=x4, |xi|>M, p/ i=5,6,7....n
12
Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos pontos desta 
vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou
Limite de uma função
bxf
ax
=
\u2192
)(lim
se, para cada número positivo \u3b5 > 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um \u3b4 > 0 tal que, 
para todo x diferente de a, verificando | x -a | < \u3b4 , a desigualdade | f(x) - l | < \u3b5, fica satisfeita. Diz-se 
então que b é o limite de f(x).
a
b
\u3b4 \u3b4
\u3b5
\u3b5
13
Exemplos
14)24(lim
3
=+
\u2192
x
x
7)13(lim
2
=+
\u2192
x
x
?
0
0
4
4
2
3
2
lim =\u2212
\u2212
\u2192 x
xx
x2
31
4
1lim
2
=+
\u2192
x
x
?
0
0
5
5
2
5
lim =\u2212
\u2212
\u2192 xx
x
x
Os \u201cresultados\u201d dos limites das funções 3 e 5 demonstram que o cálculo 
do limite não se faz por uma simples substituição direta do valor para o 
qual a variável tende. Veremos que existem resultados para tais limites
14
( )
4
4
334
34431241424
1424
14)24(lim
3
\u3b5\u3b4
\u3b5\u3b5
\u3b5
=
<\u2212\u2234<\u2212
\u2212=\u2212=\u2212=\u2212+
<\u2212+
=+
\u2192
xx
xxxx
x
x
x
Cálculo pela definição
Se 14 é o lim f(X), quando x \u2192 3, temos que ter:
15
3
3
223
233)2(63
713
7)13(lim
2
\u3b5\u3b4
\u3b5\u3b5
\u3b5
=
<\u2212\u2234<\u2212
\u2212=\u2212=\u2212
<\u2212+
=+
\u2192
xx
xxx
x
x
x
Se 7 é o lim f(X), quando x \u2192 2, temos que ter:
16
4
4
22
4
1
2
4
1)2(
4
1
2
1
4
1
2
31
4
1
2
31
4
1
2/31
4
1lim
2
\u3b5\u3b4
\u3b5\u3b5
\u3b5
=
<\u2212\u2234<\u2212
\u2212=\u2212=\u2212=\u2212+
<\u2212+
=+
\u2192
xx
xxxx
x
x
x
17
\u3b5\u3b4
\u3b5
\u3b5
=
<\u2212
\u2212=\u2212\u2212
\u2212
<\u2212\u2212
\u2212
=\u2212
\u2212
\u2192
2
22
4
)4(
2
4
4
2
4
4
2
2
2
3
2
3
2
lim
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
18
\u3b5\u3b4
\u3b5
\u3b5\u3b5
\u3b5\u3b5
\u3b5
\u3b5
\u3b5
\u3b5
\u3b5\u3b5\u3b5\u3b5
\u3b5\u3b5
\u3b5
\u3b5
25
255-x
25525
escrever podemos,151 e 151 mas
51
255
51
25
51
5
51
5
5
1
1
5
1
1
5
11
5
1
5
11
que entao temos
5
11
5
1
)5(
)5(
5
1
5
5
5
1
5
5
2
2
5
lim
=
<
<\u2212<\u2212
\u2248\u2212\u2248+
\u2212<\u2212<+\u2212
\u2212<<+\u2234\u2212
<<
+
+<<\u2212
<\u2212
\u2212=\u2212\u2212
\u2212
<\u2212\u2212
\u2212
=\u2212
\u2212
\u2192
x
x
xx
x
x
xxx
x
xx
x
xx
x
x