limite_funcao

1
LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Nice Maria Americano costa Pinto
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
2
INTRODUÇÃO
Um pouco de história
Cálculo Diferencial e Integral; séculos XVI e XVII, Newton e Leibniz. 
interesses de cálculos (diferenciação integração) 
O Cálculo Diferencial 
Grécia Antiga: tangentes a curvas, reta e curvas; sua intersecção
Século XVII, as órbitas dos planetas. 
Newton: calcular as órbitas de planetas, considerar a corda de um arco,
Curva da trajetória: limite de pequenas cordas encadeadas umas às outras.
O Cálculo Integral
área subtendida por curva
limite de uma soma áreas de retângulos inseridos sob a curva.
Limite de uma função
Século XIX;
Bolzano (1817), técnica do “epsilon” ,“ε” e “delta”, “δ”;
Cauchy (1821),a essência da idéia;
Weierstrass (1850 e 1860), a noção de forma rigorosa.
3
Vizinhança de um ponto
Para um valor arbitrariamente pequeno ε>0, a vizinhança de a é o conjunto dos x 
compreendido pelo intervalo
εε +<<− axa
ε
εε
<−
<−<−
ax
ax
a
a-ε a+ε
x
ε ε
0
4
Limite de uma variável
aa-ε a+ε x
x2x1
x3
Se |x-a|<ε valer para todo ε>0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem um 
limite e tal limite vale a. Simbolicamente, 
axax =→ lim,
Os valores x1, x2 e x3 da variável x, estão na vizinha ε de x=a. Isto é, os valores xi
estão no intervalo a-ε < xi <a+ε (i=1,2,3)
5
Exemplos
1. x é a variável de valores
n
xxxx n
11.....,
3
11,
2
11,1 321 ====
Essa variável tem um limite que é 1.
∃ uma vizinhança de centro em 1, com raio ε; devemos calcular ε, para provar 
que a inequação |x-1 < ε. O ponto de partida será portanto a expressão |x−1|, 
i.e. calcular quanto ela vale;
ε
εε
<−
><∴=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=−
1
1111111
x
nou
n
para
nn
x n
6
0,5 1 1,5 2
1o.termo 2o.termo
(n=2) x é o conjunto dos termos: x1=1, x2=1,5, 
e>1/2=0,5. e=0,51 satisfaz a condição e todos os 
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
0,5 1 1,5 2
1o.termo 2o.termo 3o.termo
(n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33, 
ε>1/3=0,33333. ε=0,51 satisfaz a condição e todos os 
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
0,5 1 1,5 2
1o.termo 2o.termo 3o.termo 4o.termo 5o.termo 6o.termo
(n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33, x4=1,25, x5=1,2, x6=1,16
ε>1/6=0,166667. ε=0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam 
na vizinhança |x-1|<0,51
termosxnn
2o.termo1,52
1o.termo11
termosxnn
3o.termo1,3333333
2o.termo1,52
1o.termo11
termosxnn
6o.termo1,1666676
5o.termo1,25
4o.termo1,254
3o.termo1,3333333
2o.termo1,52
1o.termo11
7
2. x é a variável de valores
n
n
nxxxx 2
1)1(1.....,
2
11,
2
11,
2
11 33221 −+=−=+=−=
Essa variável tem um limite que é 1.
∃ uma vizinhança de centro em 1, com raio ε; devemos calcular ε. 
ε
ε
ε
εε
<−
>∴>
><∴=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=−
1
2log
1log1log2log
12
2
1
2
11
2
1)1(11
x
nn
aindaououparax nnnn
n
n
80,5 0,75 1 1,25 1,5
1o.termo 2o.termo 3o.termo 4o.termo 5o.termo 6o.termo
(n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875, 
x4=1,0625, x5=96875, x6=1,015625ε>1/26=0,015625. ε=0,26 satisfaz a condição e todos os valores 
da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
0,5 0,75 1 1,25 1,5
1o.termo 2o.termo
(n=2) x é o conjunto dos 2 termos: x1=1, x2=1,25,ε>1/22=0,25. ε=0,26 satisfaz a condição e todos os valores da 
variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
0,5 0,75 1 1,25 1,5
1o.termo 2o.termo 3o.termo
(n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875, ε>1/23=0,015625. ε=0,26 satisfaz a condição e todos os 
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
2o.termo1,252
1o.termo11
termosxnn
3o.termo0,8753
2o.termo1,252
1o.termo11
termosxnn
6o.termo1,0156256
5o.termo0,968755
4o.termo1,06254
3o.termo0,8753
2o.termo1,252
1o.termo11
termosxnn
9
3. X é uma variável de valor constante c
Essa variável tem um limite que é c, ainda que pareça estranho.
∃ uma vizinhança de centro em c, com raio ε; devemos calcular ε. 
ε
ε
<−
>∴=−=−
cx
paracccx 00
10
a xb
(b-a)/2
ε ε ε ε
Observações
1. Uma variável x não pode ter dois limites diferentes, a e b.
2
limlim
abparaimpossível
bxeax
bxeaxse
−<
<−<−
==
ε
εε
2. Não se imagine que toda variável tem um limite.
11
a variável x tende ao infinito, se, p/ cada número positivo M, pode-se Indicar um valor
de x, a partir do qual, todos os valores subseqüentes da variável verificam :
Mx >
VARIÁVEL INFINITAMENTE GRANDE
Seja a variável x o { x1, x2, x3, x4, x5....xn}, mostrado na figura abaixo.
Xn-1x1 x6 x
x4
x3
x2 x5
A partir de x4, todo valor subseqüente da variável é maior que o antecedente;
para M=x4, |xi|>M, p/ i=5,6,7....n
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Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos pontos desta 
vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou
Limite de uma função
bxf
ax
=
→
)(lim
se, para cada número positivo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um δ > 0 tal que, 
para todo x diferente de a, verificando | x -a | < δ , a desigualdade | f(x) - l | < ε, fica satisfeita. Diz-se 
então que b é o limite de f(x).
a
b
δ δ
ε
ε
13
Exemplos
14)24(lim
3
=+
→
x
x
7)13(lim
2
=+
→
x
x
?
0
0
4
4
2
3
2
lim =−
−
→ x
xx
x2
31
4
1lim
2
=+
→
x
x
?
0
0
5
5
2
5
lim =−
−
→ xx
x
x
Os “resultados” dos limites das funções 3 e 5 demonstram que o cálculo 
do limite não se faz por uma simples substituição direta do valor para o 
qual a variável tende. Veremos que existem resultados para tais limites
14
( )
4
4
334
34431241424
1424
14)24(lim
3
εδ
εε
ε
=
<−∴<−
−=−=−=−+
<−+
=+
→
xx
xxxx
x
x
x
Cálculo pela definição
Se 14 é o lim f(X), quando x → 3, temos que ter:
15
3
3
223
233)2(63
713
7)13(lim
2
εδ
εε
ε
=
<−∴<−
−=−=−
<−+
=+
→
xx
xxx
x
x
x
Se 7 é o lim f(X), quando x → 2, temos que ter:
16
4
4
22
4
1
2
4
1)2(
4
1
2
1
4
1
2
31
4
1
2
31
4
1
2/31
4
1lim
2
εδ
εε
ε
=
<−∴<−
−=−=−=−+
<−+
=+
→
xx
xxxx
x
x
x
17
εδ
ε
ε
=
<−
−=−−
−
<−−
−
=−
−
→
2
22
4
)4(
2
4
4
2
4
4
2
2
2
3
2
3
2
lim
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
18
εδ
ε
εε
εε
ε
ε
ε
ε
εεεε
εε
ε
ε
25
255-x
25525
escrever podemos,151 e 151 mas
51
255
51
25
51
5
51
5
5
1
1
5
1
1
5
11
5
1
5
11
que entao temos
5
11
5
1
)5(
)5(
5
1
5
5
5
1
5
5
2
2
5
lim
=
<
<−<−
≈−≈+
−<−<+−
−<<+∴−
<<
+
+<<−
<−
−=−−
−
<−−
−
=−
−
→
x
x
xx
x
x
xxx
x
xx
x
xx
x
x