Limite+e+continuidade

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Funções de mais de uma variável - Limite e Continuidade 
Everton Lopes
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Limite e Continuidade 
O conceito de limite de uma função de duas ou mais variáveis é
 análogo ao caso de uma variável. 
Vimos que a noção de vizinhança de um ponto foi fundamental na
 definição de limite de uma só variável. A vizinhança de um ponto xo 
em R é qualquer intervalo aberto que contenha xo. 
Trabalhamos, em geral, com vizinhanças centradas em xo e de raio r, 
ou seja, intervalos da forma ] xo  r, xo + r [.
 
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Limite e Continuidade
Podemos estender o conceito de vizinhança no plano e 
no espaço
Uma vizinhança de centro em ( xo, yo ) e raio r no plano é o 
conjunto dos pontos do plano cuja distância a ( xo, yo ) é menor que r, 
ou seja, 
interior à circunferência de centro ( xo, yo ) e raio r.
Isto corresponde à região
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Limite e Continuidade
Analogamente, no espaço uma vizinhança de centro em Po 
e raio r é o interior da esfera de centro em Po e raio r.
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis de domínio D e seja 
Po = (xo,yo) um ponto tal que qualquer vizinhança de Po contém 
pelo menos um ponto de D distinto de Po.
Estamos interessados em descrever 
o comportamento de z = f(x,y) para 
pontos próximos de Po. 
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Limite e Continuidade
Consideremos a seguinte função 
O domínio dessa função é o conjunto dos pontos do R2 tais que
 2x  y  0, ou seja, é todo o plano menos a reta y = 2x. 
 
função quando (x,y) se aproxima de Po, 
isto é, quando (x,y)  (1,2).
O ponto Po(1,2)  D(f) mas qualquer 
vizinhança de Po contém pontos de D
Vamos analisar o comportamento dessa
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Limite e Continuidade
Observemos que, para (x,y)  (1,2), podemos reescrever a 
função como 
Assim, se (x,y) se aproxima de (1,2) temos que f(x,y) se aproxima 
de 1. Dizemos que 
De uma maneira geral, dizemos que 
se podemos fazer f(x,y) arbitrariamente próximo de L, bastando 
para isso fazer (x,y) suficientemente próximo de (xo,yo)
(exercícios)
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Limite e Continuidade
No caso de função de uma variável temos o limite de uma 
função existe se e somente se os limites laterais são iguais
 
Para o caso de uma função de uma variável cujo domínio está em R, 
temos que a variável x pode se aproximar de xo por dois “caminhos”:
vindo pela direita ou pela esquerda de xo. 
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Limite e Continuidade
No caso de uma função de duas variáveis z = f(x,y) um ponto P(x,y)
 pode se aproximar de Po=(xo,yo) por uma infinidade de caminhos.
Análogo ao caso de uma variável, temos
 o seguinte resultado:
Se uma função z = f(x,y) tem limites diferentes quando (x,y) se 
aproxima de (xo,yo) por caminhos diferentes, então 
 não existe.
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Limite e Continuidade
Exemplo: Seja 
. 
Vamos calcular o limite de f(x,y), quando (x,y)  (0,0) ao longo dos 
caminhos y = kx .
Vamos calcular o limite de f(x,y),
(observemos que y = kx é um feixe de retas que passam pela origem
 e que para cada valor de k temos um caminho diferente )
Consideremos y = kx. 
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Limite e Continuidade
Substituindo na expressão da função temos 
Assim, 
Logo, para cada valor de k temos um valor distinto para o limite 
e portanto o limite não existe
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e Po(xo,yo) um ponto 
do domínio de f. 
Dizemos que f é contínua em Po se, e somente se 
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Limite e Continuidade
Observações:
 1) A definição é análoga para funções de n variáveis
não for igual ao valor da função no ponto, dizemos que a função
2) Se a condição não for satisfeita, isto é, se o limite não existir ou 
é descontínua em (xo,yo) ou que (xo,yo) é um ponto de 
descontinuidade da função
3) Se f e g são contínuas em Po, então f  g, f.g são contínuas em Po 
e f /g é contínua em Po se g(Po) 0
4) Funções polinomiais e racionais são contínuas em seus domínios