Limites - Aplicaçãoo ao Cálculo de Limites

Aplicação ao cálculo de limites Intermédio 
Publicado em 28/03/2007 
Na propriedade P1 (indicada em "Propriedades Fundamentais") reside grande parte da 
importância do conceito de equivalência assimptótica no cálculo de limites. Este 
cálculo relativo a sucessões mais complexas pode ser remetido para a procura de 
sucessões de cálculo de limites simples que lhe sejam assimptoticamente equivalentes. 
Neste âmbito, pode o conceito de preponderância assimptótica assumir um papel 
auxiliar, com base nas propriedades indicadas em "Propriedades fundamentais" e 
"Propriedades Algébricas". 
O exemplo seguinte ilustra perfeitamente este método. 
Exemplo 1. Calculemos o limite 
 
Com base nos Exemplos 1 e 2 (das Propriedades Algébricas), e por aplicação das 
propriedades P5, P6 e P7 podemos concluir que 
 
Então pela propriedade P1 podemos afirmar que 
 
Por exemplo, com 
xn = n
2
 + n +1, yn = n2, un = -n2 + 2n e vn = -n2, 
temos que xn ~ yn e un ~ vn, mas 
xn + un = 3n + 1 ~ 3n, 
enquanto yn + vn = 0. 
No entanto, há uma situação em que a equivalência assimptótica respeita a adição: 
P11. Se 
xn ~ p zn ∧ yn ~ q zn ∧ p + q ≠ 0 
então 
 
Aplicação ao cálculo de limites Intermédio 
Publicado em 28/03/2007 
Exemplo 2. Como exemplos de aplicação desta propriedade, comecemos por considerar 
a sucessão 
 
Atendendo ao Exemplo 1 (das Propriedades Algébricas) e à propriedade P6, temos 
 
Logo por P11 resulta que 
 
sendo por P1 
 
Porém, com respeito à sucessão 
 
já P11 não pode ser aplicada pois 
 
No entanto, podemos usar a análise assimptótica, incluindo P11, no cálculo de 
 
mediante a transformação prévia: 
 
Aplicando agora a propriedade P11 ao denominador desta fracção, podemos concluir 
que 
 
e consequentemente obter, por P7, 
 
Logo por P1 
 
Exercícios 
1. Usando os métodos assimptóticos, calcule os limites das seguintes sucessões: (Para 
ver a respectiva resolução, clique em cada alínea) 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l)