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Aplicação ao cálculo de limites Intermédio Publicado em 28/03/2007 Na propriedade P1 (indicada em "Propriedades Fundamentais") reside grande parte da importância do conceito de equivalência assimptótica no cálculo de limites. Este cálculo relativo a sucessões mais complexas pode ser remetido para a procura de sucessões de cálculo de limites simples que lhe sejam assimptoticamente equivalentes. Neste âmbito, pode o conceito de preponderância assimptótica assumir um papel auxiliar, com base nas propriedades indicadas em "Propriedades fundamentais" e "Propriedades Algébricas". O exemplo seguinte ilustra perfeitamente este método. Exemplo 1. Calculemos o limite Com base nos Exemplos 1 e 2 (das Propriedades Algébricas), e por aplicação das propriedades P5, P6 e P7 podemos concluir que Então pela propriedade P1 podemos afirmar que Por exemplo, com xn = n 2 + n +1, yn = n2, un = -n2 + 2n e vn = -n2, temos que xn ~ yn e un ~ vn, mas xn + un = 3n + 1 ~ 3n, enquanto yn + vn = 0. No entanto, há uma situação em que a equivalência assimptótica respeita a adição: P11. Se xn ~ p zn ∧ yn ~ q zn ∧ p + q ≠ 0 então Aplicação ao cálculo de limites Intermédio Publicado em 28/03/2007 Exemplo 2. Como exemplos de aplicação desta propriedade, comecemos por considerar a sucessão Atendendo ao Exemplo 1 (das Propriedades Algébricas) e à propriedade P6, temos Logo por P11 resulta que sendo por P1 Porém, com respeito à sucessão já P11 não pode ser aplicada pois No entanto, podemos usar a análise assimptótica, incluindo P11, no cálculo de mediante a transformação prévia: Aplicando agora a propriedade P11 ao denominador desta fracção, podemos concluir que e consequentemente obter, por P7, Logo por P1 Exercícios 1. Usando os métodos assimptóticos, calcule os limites das seguintes sucessões: (Para ver a respectiva resolução, clique em cada alínea) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)