Limites - S_rie e Exerc_cios

Prévia do material em texto

Unifran
Universidade de Franca
Pré-Cálculo
Série de Exercícios
2º. Bimestre
II. Limites
5. Limites e Continuidade
6. Cálculo de Limites
7. Limites e Gráficos
Docente:
Maurício Chiarello
�
Unifran
Disciplina: Pré-Cálculo
Docente: Maurício Chiarello
Série de Exercícios N. 5
Limites e Continuidade
Gráficos de funções descontínuas
Determinação de limites pelo gráfico
1) Seja a função dada por intervalos: 
a) Esboce seu gráfico e responda se a função é contínua em 
 e 
;
b) Dê os valores de 
 e de 
;
c) Determine o valor dos limites laterais: 
; 
; 
; 
.
2) Seja a função dada por intervalos: 
a) Admitindo 
, esboce seu gráfico, verifique se é contínua em 
 e determine os limites 
, 
 e 
, se existente.
b) Faça o mesmo pedido no item a considerando agora 
;
c) Observe os gráficos e responda se, independentemente do valor de m, a função é contínua ou descontínua em x = 0.
3) O gráfico abaixo representa o comportamento da função 
.
Considere o gráfico e responda:
a) a função é contínua ou descontínua nos pontos 
, 
 e 
?
b) dê os valores de 
, 
 e de 
;
c) determine o valor dos limites laterais: 
; 
; 
; 
;
d) existem os limites: 
, 
 e 
? Caso o limite inexista, explique por que; caso exista, dê o seu valor.
4) Seja a função dada por intervalos: 
a) Esboce seu gráfico e responda se a função é contínua em 
 e 
;
b) Dê os valores de 
 e de 
;
c) Determine o valor dos limites laterais: 
; 
; 
; 
;
d) Existem os limites 
 e 
? Caso o limite inexista, explique por que; caso exista, dê o seu valor.
5) Seja a função racional 
. Esboce seu gráfico e responda:
a) 
 é contínua em 
?
b) Qual o valor dos limites laterais 
 e 
? 
c) Existe o limite 
?
6) Seja a função: 
Esboce seu gráfico e calcule 
 para que 
seja contínua em 
. Qual o valor do limite 
, se existente?
7) Seja a função: 
Esboce seu gráfico e calcule 
 para que 
 seja contínua em 
. Qual o valor do limite 
, se existente?
�
Respostas
1) a) Contínua em x = 1 e descontínua em x = 2;
b) 
 e 
;
c)
; 
; 
; 
.
2) a) Contínua em x = 2; 
; 
 e 
;
b) Descontínua em x = 3; 
; 
; não existe 
;
c) Contínua em x = 0.
a)b)
3) a) Contínua em 
; descontínua em 
 (descontinuidade do tipo salto); descontínua em 
 (descontinuidade do tipo interrupção local) 
b) 
; 
; 
.
c) 
; 
; 
; 
d) existe o 
 e seu valor é: 
.
Não existe o limite 
 e isto porque 
. 
Existe o 
 e seu valor é: 
.
Observe que 
, pois a função é contínua em 
, mas que 
, pois a função apresenta uma descontinuidade em 
 do tipo interrupção local. 
4) a) Descontínua (do tipo salto) em 
e descontínua (do tipo interrupção local) em 
;
b) 
 e 
;
c)
; 
; 
; 
;
d) não existe o 
 porque 
; existe o 
 e 
 porque 
.
5) a) Descontínua em x = 1 (descontinuidade do tipo interrupção local);
b) 
;
c) Sim, 
.
6) 
7) 
�
Unifran
Disciplina: Pré-Cálculo
Docente: Maurício Chiarello
Série de Exercícios N. 6
Cálculo de Limites
Cálculo algébrico de Limites
I. Calcule o valor dos seguintes limites:
1) 
 2) 
 
3) 
 4) 
 
5) 
 
II. Calcule o valor dos seguintes limites:
6) 
 7) 
8) 
 9) 
10) 
 11) 
III. Calcule os seguintes limites no infinito: 
12) 
 13) 
 
14) 
 15) 
 
�
Respostas
1) 
 2) 3 3) 6 4) 
 
5) 
 6) 32 7) 
 8) 
 
9) 
 10) 3/2 11) 
A título de ilustração da questão 11, apresentamos abaixo o gráfico da função 
. Note a descontinuidade do tipo interrupção pontual em 
, cuja ordenada é 
.
12) 
 13) 
 14) 
 15) 2
A título de ilustração da questão 15, apresentamos abaixo o gráfico da função 
, em que se vê a assíntota 
 correspondente ao limite no infinito calculado.
Observe ainda que o gráfico também mostra que: 
. Demonstre isso fazendo o cálculo algébrico do limite infinito negativo.
�
Unifran
Disciplina: Pré-Cálculo
Docente: Maurício Chiarello
Série de Exercícios N. 7
Limites e Gráficos
Esboço de gráfico de funções racionais a partir do cálculo de limites
I. Para cada uma das funções racionais abaixo:
a) calcule os seguintes limites: 
; 
; 
 e 
, se existentes;
b) em seguida, esboce o gráfico das funções utilizando os valores dos limites obtidos.
1) 
 2) 
3) Seja a função: 
.
a) Calcule os limites: 
; 
 e 
;
b) Esboce seu gráfico utilizando os valores dos limites calculados.
II. Para cada uma das funções racionais abaixo, calcule seus pontos notáveis, os limites laterais à esquerda e à direita dos pontos de descontinuidade e os limites no infinito. Por fim, esboce seus gráficos.
4) 
 5) 
 
6) 
 7) 
 
8) 
 
III. Para as funções racionais abaixo, calcule seus pontos notáveis, os limites laterais à esquerda e à direita dos pontos de descontinuidade e os limites no infinito. Por fim, esboce seu gráfico.
9) 
 
Note que esta função admite simplificação algébrica: 
10) 
Note que esta função admite simplificação algébrica: 
�
Respostas
1) a) 
; 
; 
; não existe 
;
b)
2) a)
; 
, portanto 
.
b)
3) a) 
; 
 e 
.
b)
4) 
; zero de 
: 
.
Limites laterais: 
 ; 
 ; 
 ; 
.
Limites no infinito: 
.
5) 
 ; zeros de 
: 
 e 
.
Limites laterais: 
 ; 
 ; 
 ; 
.
Limites no infinito: 
.
6) 
 ; zeros de 
: 
 e 
.
Limites laterais: 
 ; 
 ; 
 ; 
.
Limites no infinito: 
 ; 
.
7) 
; zero de 
: 
.
Limites laterais: 
 ; 
 ; 
 ; 
.
Limites no infinito: 
 ; 
.
8) 
 ; zeros de 
: 
.
Limites infinitos: 
 ; 
.
Limites no infinito: 
.
9) 
 ; zero de 
: 
Limites laterais em 
: 
 ; 
.
Limite em 
: 
.
Limites no infinito: 
.
10) 
 ; 
não possui zero real.
Limites laterais em 
: 
 ; 
.
Limite em 
: 
.
Limites no infinito: 
 ; 
.
� PAGE \* MERGEFORMAT �14�
_1295779950.unknown
_1295780014.unknown
_1295780047.unknown
_1295780063.unknown
_1295780079.unknown
_1295780095.unknown
_1295780103.unknown
_1295780108.unknown
_1295780110.unknown
_1295780112.unknown
_1295780113.unknown
_1295780114.unknown
_1295780111.unknown
_1295780109.unknown
_1295780106.unknown
_1295780107.unknown
_1295780105.unknown
_1295780099.unknown
_1295780101.unknown
_1295780102.unknown
_1295780100.unknown
_1295780097.unknown
_1295780098.unknown
_1295780096.unknown
_1295780087.unknown
_1295780091.unknown
_1295780093.unknown
_1295780094.unknown
_1295780092.unknown
_1295780089.unknown
_1295780090.unknown
_1295780088.unknown
_1295780083.unknown
_1295780085.unknown
_1295780086.unknown
_1295780084.unknown
_1295780081.unknown
_1295780082.unknown
_1295780080.unknown
_1295780071.unknown
_1295780075.unknown
_1295780077.unknown
_1295780078.unknown
_1295780076.unknown
_1295780073.unknown
_1295780074.unknown
_1295780072.unknown
_1295780067.unknown
_1295780069.unknown
_1295780070.unknown
_1295780068.unknown
_1295780065.unknown
_1295780066.unknown
_1295780064.unknown
_1295780055.unknown
_1295780059.unknown
_1295780061.unknown
_1295780062.unknown
_1295780060.unknown
_1295780057.unknown
_1295780058.unknown
_1295780056.unknown
_1295780051.unknown
_1295780053.unknown
_1295780054.unknown
_1295780052.unknown
_1295780049.unknown
_1295780050.unknown
_1295780048.unknown
_1295780031.unknown
_1295780039.unknown
_1295780043.unknown
_1295780045.unknown
_1295780046.unknown
_1295780044.unknown
_1295780041.unknown
_1295780042.unknown
_1295780040.unknown
_1295780035.unknown
_1295780037.unknown_1295780038.unknown
_1295780036.unknown
_1295780033.unknown
_1295780034.unknown
_1295780032.unknown
_1295780022.unknown
_1295780027.unknown
_1295780029.unknown
_1295780030.unknown
_1295780028.unknown
_1295780024.unknown
_1295780026.unknown
_1295780023.unknown
_1295780018.unknown
_1295780020.unknown
_1295780021.unknown
_1295780019.unknown
_1295780016.unknown
_1295780017.unknown
_1295780015.unknown
_1295779982.unknown
_1295779998.unknown
_1295780006.unknown
_1295780010.unknown
_1295780012.unknown
_1295780013.unknown
_1295780011.unknown
_1295780008.unknown
_1295780009.unknown
_1295780007.unknown
_1295780002.unknown
_1295780004.unknown
_1295780005.unknown
_1295780003.unknown
_1295780000.unknown
_1295780001.unknown
_1295779999.unknown
_1295779990.unknown
_1295779994.unknown
_1295779996.unknown
_1295779997.unknown
_1295779995.unknown
_1295779992.unknown
_1295779993.unknown
_1295779991.unknown
_1295779986.unknown
_1295779988.unknown
_1295779989.unknown
_1295779987.unknown
_1295779984.unknown
_1295779985.unknown
_1295779983.unknown
_1295779966.unknown
_1295779974.unknown
_1295779978.unknown
_1295779980.unknown
_1295779981.unknown
_1295779979.unknown
_1295779976.unknown
_1295779977.unknown
_1295779975.unknown
_1295779970.unknown
_1295779972.unknown
_1295779973.unknown
_1295779971.unknown
_1295779968.unknown
_1295779969.unknown
_1295779967.unknown
_1295779958.unknown
_1295779962.unknown
_1295779964.unknown
_1295779965.unknown
_1295779963.unknown
_1295779960.unknown
_1295779961.unknown
_1295779959.unknown
_1295779954.unknown
_1295779956.unknown
_1295779957.unknown
_1295779955.unknown
_1295779952.unknown
_1295779953.unknown
_1295779951.unknown
_1295779917.unknown
_1295779933.unknown
_1295779941.unknown
_1295779946.unknown
_1295779948.unknown
_1295779949.unknown
_1295779947.unknown
_1295779943.unknown
_1295779944.unknown
_1295779942.unknown
_1295779937.unknown
_1295779939.unknown
_1295779940.unknown
_1295779938.unknown
_1295779935.unknown
_1295779936.unknown
_1295779934.unknown
_1295779925.unknown
_1295779929.unknown
_1295779931.unknown
_1295779932.unknown
_1295779930.unknown
_1295779927.unknown
_1295779928.unknown
_1295779926.unknown
_1295779921.unknown
_1295779923.unknown
_1295779924.unknown
_1295779922.unknown
_1295779919.unknown
_1295779920.unknown
_1295779918.unknown
_1295779901.unknown
_1295779909.unknown
_1295779913.unknown
_1295779915.unknown
_1295779916.unknown
_1295779914.unknown
_1295779911.unknown
_1295779912.unknown
_1295779910.unknown
_1295779905.unknown
_1295779907.unknown
_1295779908.unknown
_1295779906.unknown
_1295779903.unknown
_1295779904.unknown
_1295779902.unknown
_1295779893.unknown
_1295779897.unknown
_1295779899.unknown
_1295779900.unknown
_1295779898.unknown
_1295779895.unknown
_1295779896.unknown
_1295779894.unknown
_1295779889.unknown
_1295779891.unknown
_1295779892.unknown
_1295779890.unknown
_1295779887.unknown
_1295779888.unknown
_1295779886.unknown