LIMITES (3)

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7. LIMITES 
 
7.1 DEFINIÇÃO DE LIMITES 
 
 Para definirmos o limite de uma função em um ponto x=a, vamos analisar o 
comportamento da função nas vizinhanças desse valor tanto pela esquerda (-) quanto 
pela direita (+) 
 
 
 Observando o gráfico acima, percebemos que x tendendo ao ponto a pela 
esquerda, a função se aproxima do valor K, quando x tende ao valor a pela direita, a 
função se aproxima do valor P que são chamados de limites laterais da função, 
simbolicamente representados assim: 
 
Kxf
ax
=
−
→
)(lim
 (Esq.) Pxf
ax
=
+→
)(lim
 (Dir.) 
 
 Nos casos em que a função se aproximar pelos dois lados de um mesmo valor, 
ou seja, K=P teremos o limite da função no ponto de abscissa x=a. Assim: 
Kxfxf
axax
==
+− →→
)(lim)(lim
 → Kxf
ax
=
→
)(lim
 
 
 
 
 
Quer saber mais...? aperte ctrl e clique no link 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/limites/limites.htm 
 
http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/historia_limites.htm 
 
Ex01: Vamos analisar o limite da função quando x tende a 5 no gráfico abaixo: 
 
 
Observando o gráfico, percebemos que, quando x tende a 5 tanto pela esquerda quanto 
pela direita os valores da função se aproximam de 7, neste caso, existe o limite da 
função e o seu valor é 7, assim, simbolicamente: 
 
7)(lim)(lim
55
==
+− →→
xfxf
xx
 → 7)(lim
5
=
→
xf
x
 
 
 
Ex02: Vamos analisar o limite da função quando x tende a 3 no gráfico abaixo: 
 
 
Observando o gráfico quando x tende a 3 pela esquerda, a função se aproxima de 4 , 
quando x tende a 3 pela direita, os valores da função se aproximam de 6, neste caso, 
não existe o limite da função, pois os limite laterais são diferentes simbolicamente,assim 
temos: 
7)(lim
3
=
−
→
xf
x
(esq.) 
7)(lim
3
=
+→
xf
x
(dir.) 
 
4)(lim
3
=
−
→
xf
x
 (esq.) 6)(lim
3
=
+→
xf
x
 (dir.) 
 
∃/=
→
)(lim
3
xf
x
 
 
 
Ex03: Vamos analisar o limite da função 23)( −= xxf quando x tende a 3 
 
R: Neste caso vamos primeiramente atribuir valores que estejam próximos de 3 pela 
sua esquerda. 
 
 
 
Agora vamos atribuir valores que estejam próximos de 3 pela sua direita. 
 
 
Como podemos notar, os limites laterais possuem o mesmo valor, então existe o limite 
da função no ponto x=3 
7)(lim
3
=
→
xf
x
 
 
Ex04: Vamos analisar o limite da função 2
3)(
−
=
x
xf no ponto x = 2. 
 
x 23)( −= xxf 
2,99 97,6299,23)99,2( =−⋅=f 
2,999 997,62999,23)999,2( =−⋅=f 
2,9999 9997,629999,23)9999,2( =−⋅=f 
x 23)( −= xxf 
3,01 03,723,013)3,01( =−⋅=f 
3,001 003,723,0013)3,001( =−⋅=f 
3,0001 0003,723,00013)3,0001( =−⋅=f 
−∞=
−
→
)(lim
2
xf
x
+∞=
+→
)(lim
2
xf
x
R: Vamos primeiramente atribuir valores que estejam próximos de 2 pela sua esquerda. 
 
 
 
 
 
Agora vamos atribuir valores que estejam próximos de 2 pela sua direita. 
 
 
 
 
Como podemos notar os limites laterais possuem valores diferentes, então não existe o 
limite da função no ponto x=2 
 
.
)(lim)(lim
22
xfxf
xx +− →→
≠
 → ∃/=
→
)(lim
2
xf
x
 
 
 
 
x 
2
3)(
−
=
x
xf 
1,99 300
299,1
3)99,1( −=
−
=f 
1,999 3000
2999,1
3)999,1( −=
−
=f 
1,9999 30000
29999,1
3)9999,1( −=
−
=f 
x 
2
3)(
−
=
x
xf 
2,01 300
201,2
3)01,2( =
−
=f 
2,001 3000
2001,2
3)001,2( =
−
=f 
2,0001 30000
20001,2
3)0001,2( =
−
=f 
Neste caso, observamos que os valores 
da função decrescem infinitamente a cada 
aproximação que fazemos de 2 pela 
esquerda, então: 
Agora a cada aproximação que fazemos 
de 2 pela direita, a função cresce 
infinitamente, então: 
7.2 O CÁLCULO DO LIMITE E SUAS OPERAÇÕES 
 
7.2.1 Limite de uma constante 
O limite de uma constante é a própria constante assim: 
KK
ax
=
→
lim , onde IRK ∈ 
Ex01: Observe abaixo alguns limites de constantes: 
• 66lim
2
=
→x
 
• ( ) 1515lim
4
−=−
→x
 
• 77lim
5
=
−→x
 
• 
3
8
3
8lim
2
7
=





−→x
 
 
7.2.2 Limite de um polinômio 
 O limite de um polinômio quando x tende ao valor a, é o próprio valor numérico 
do polinômio aplicado em a, assim: 
)()(lim aPxP
ax
=
→
 
 
Ex01: Calcule ( )435lim 23
1
−+−
→
xxx
x
 
R: Vamos apenas substituir no polinômio o x pelo número 1 assim: 
( ) 4351413151435lim 2323
1
−+−=−⋅+⋅−=−+−
→
xxx
x
 
( ) 5435lim 23
1
−=−+−
→
xxx
x
 
 
Ex02: Calcule ( )12875lim 34
0
++−
→
xxx
x
 
R: Vamos apenas substituir no polinômio o x pelo número 1 assim: 
( ) 1208070512875lim 3434
1
+⋅+⋅−⋅=++−
→
xxx
x
 
( ) 1212875lim 34
1
=++−
→
xxx
x
 
 
7.2.3 Soma ou subtração de limites 
 
No caso em que tivermos o limite da soma ou subtração de duas ou mais 
funções, basta aplicar o limite em cada uma das funções: 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )xQxPxQxP
axaxax →→→
±=± limlimlim
 
 
Ex01: Vamos calcular o seguinte limite ( )xx
x
3
3
1
log5lim +
→
 
R: aplicando o limite independentemente nas parcelas, teremos: 
( ) xxxx
xxx
31
3
13
3
1
loglim5limlog5lim
→→→
+=+ 
051log15 33 +=+⋅= → ( ) 5log5lim 331 =+→ xxx 
 
 
 
7.2.4 Limite do produto 
 
Agora, temos o limite de um produto de duas funções ou mais funções, basta 
aplicar o limite em cada uma das funções, da mesma forma que o caso anterior. 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )xQxPxQxP
axaxax →→→
⋅=⋅ limlimlim
 
 
Ex01: Vamos calcular o seguinte limite ( )[ ]232lim 5
1
+−⋅
→
xxx
x
 
R: aplicando o limite independentemente nas parcelas teremos: 
( )[ ] ( )23lim2lim232lim 5
11
5
1
+−⋅=+−⋅
→→→
xxxx
x
x
x
x
x
 
( ) ( ) 0.2231221312 51 =+−⋅=+⋅−⋅= → ( )[ ] 0232lim 5
1
=+−⋅
→
xxx
x
 
 
7.2.5 Limite do quociente 
 
 Agora temos o limite de uma função quociente, para resolvermos, basta que se 
aplique o limite no numerador e no denominador da função. Porém, devemos ter 
cuidado, pois, após aplicarmos o limite no denominador, temos que ter a certeza de que 
o mesmo não vai se anular. 
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xQ
xP
xQ
xP
ax
ax
ax
→
→
→
= , onde 0)(lim ≠
→
xQ
ax
 
 
Ex01: Calcule 13
25lim
2 +
−
→ x
x
x
 
( )
)13(lim
25lim
13
25lim
2
2
2 +
−
=
+
−
→
→
→ x
x
x
x
x
x
x 123
225
+⋅
−⋅
=
7
8
16
210
=
+
−
= 
 
7.2.6 Limites Indeterminados 
 
 Quando no cálculo do limite de uma função quociente, notarmos que tanto o 
numerador quanto o denominador tendem a zero isto é a fração 





0
0
, teremos uma 
fração indeterminada, ou seja, impossível de ser calculada. Nestes casos antes de 
resolvermos, temos que procurar um método para fatorar a função em seu 
denomimador ou no numerador. 
Ex01: Resolva o seguinte limite 5
25lim
2
5
−
−
→ x
x
x
. 
R: Efetuando a devida fatoração temos: ( ) ( )bababa −⋅+=− 22 → diferença de quadrados 
=
−
−
→ 5
25lim
2
5 x
x
x
 
( ) ( )
5
55lim
5
−
−⋅+
→ x
xx
x
 
cancelamos os fatores iguais do numerador e denominador 
( ) ( )
5
55lim
5
−
−⋅+
→ x
xx
x
 
( ) 10555lim
5
=+=+=
→
x
x
 
 
Ex02: Resolva o seguinte limite 
x
xx
x 2
53lim
2
0
−
→
. 
R: Efetuando a devida fatoração temos: ( )baxbxax +=+ → Fator comum 
( )
x
xx
x
xx
xx 2
53lim
2
53lim
0
2
0
−
=
−
→→
 
Cancelando o que é fator comum do numerador e denominador 
( ) ( )
2
5
2
503
2
53lim
2
53lim
00
−
=
−⋅
=
−
=
−
→→
x
x
xx
xx
 
Ex03: Resolva o seguinte limite 2
12102lim
2
2
−
+−
→ x
xx
x
. 
R: Efetuando a devida fatoração temos: ( ) ( )xxxxacbxax ′′−⋅′−⋅=++2 → Polinômio de 
grau 2, onde x` e x`` obtém-se resolvendo a equação do segundo grau. 
Inicialmente temos que resolver a equação para que possamos utilizar o caso de 
fatoração assim: 
012102 2 =+− xx temos: 
( ) 412.2.410 2 =−−=∆ → 
4
210
2.2
4)10( ±
=
±−−
=x 
Onde x` = 2 e x``= 3, substituindo na fatoração teremos: 
( )( )
2
3.2.2lim
2
12102lim
2
2
2
−
−−
=
−
+−
→→ x
xx
x
xx
xx
 
Cancelamos os fatores iguais do numerador e denominador 
( )( ) ( ) ( ) ( ) 21.232.23.2lim
2
3.2.2lim
22
−=−=−=−=
−
−−
→→
x
x
xx
xx
 
7.2.7 Limites no infinito 
 
 Vamos fazer agora um estudo dos limites aplicados nos extremos do domínio da 
função, ou seja, quandox tende a ∞± . 
 
Ex01: Vamos observar o comportamento da função 2)( xxf = nos dois casos +∞ e -∞. 
 
 
R: Analisando o x tendendo a -∞ temos: 
x 2)( xxf = 
-100 10000 
-1000 1000000 
-10000 100000000 
-100000 10000000000 
 
Agora analisando o x tendendo a +∞ temos: 
x 2)( xxf = 
100 10000 
1000 1000000 
10000 100000000 
100000 10000000000 
 
Ex02: Vamos observar o comportamento da função 3)( xxf = nos dois casos +∞ e -∞. 
R: Analisando o x tendendo a -∞ temos: 
x 3)( xxf = 
-100 -1000000 
-1000 -1000000000 
-10000 -1000000000000 
-100000 -1000000000000000 
 
Analisando o x tendendo a +∞ temos: 
x 3)( xxf = 
100 1000000 
1000 1000000000 
10000 1000000000000 
100000 1000000000000000 
 
Observamos que quando os valores de x diminuem, os 
valores da função aumentam infinitamente, ou seja, 
tendem a +∞, isto é: 
+∞=
−∞→
2lim x
x
 
 
Observamos que quando os valores de x aumentam, os 
valores da função aumentam também infinitamente, ou 
seja, tendem a +∞ isto é: 
+∞=
+∞→
2lim x
x
 
 
Observamos que quando os valores de x diminuem, os 
valores da função diminuem também infinitamente, ou 
seja, tendem a ∞− isto é: 
−∞=
−∞→
3lim x
x
 
 
Observamos que quando os valores de x aumentam os 
valores da função aumentam também infinitamente, ou 
seja, tendem a +∞ isto é: 
+∞=
+∞→
3lim x
x
 
 
Obs: 
Podemos então, após avaliação, determinar o limite para um expoente natural “n” 
qualquer para a função xn. 
Quando n é par: 
+∞=
−∞→
n
x
xlim
 
+∞=
+∞→
n
x
xlim
 
 
Quando n é impar 
−∞=
−∞→
n
x
xlim
 
+∞=
+∞→
n
x
xlim
 
Ex03: Vamos observar o comportamento da função 2
1)(
x
xf = nos dois casos +∞ e -∞. 
R: Analisando o x tendendo a -∞ temos: 
x 2
1)(
x
xf = 
-100 0,0001 
-1000 0,000001 
-10000 0,00000001 
-100000 0,0000000001 
 
Agora analisando o x tendendo a +∞ temos: 
x 2
1)(
x
xf = 
100 0,0001 
1000 0,000001 
10000 0,00000001 
100000 0,0000000001 
 
Ex04: Vamos observar o comportamento da função 3
1)(
x
xf = nos dois casos +∞ e -∞. 
 
 
Observamos que quando os valores de x diminuem os 
valores da função se aproximam de zero, isto é: 
01lim 2 =
−∞→ xx
 
 
Observamos que quando os valores de x aumentam, os 
valores da função se aproximam de zero, isto é: 
01lim 2 =+∞→ xx
 
 
R: Analisando o x tendendo a -∞ temos: 
x 3
1)(
x
xf = 
-100 -0,000001 
-1000 -0,000000001 
-10000 -0,000000000001 
-100000 -0,000000000000001 
 
 
Analisando o x tendendo a +∞ temos: 
x 3
1)(
x
xf = 
100 0,000001 
1000 0,000000001 
10000 0,000000000001 
100000 0,000000000000001 
 
Obs: 
Podemos então, após avaliação, determinar o limite para um expoente natural “n” 
qualquer para a função 
nx
1
. 
Para qualquer n natural teremos: 
01lim =
−∞→ nx x
 
01lim =
+∞→ nx x
 
 
Ex05: Vamos observar o comportamento da função polinomial de 2º. grau 
cbxaxxf ++= 2)( nos dois casos +∞ e -∞. 
R: na função, vamos colocar o x2 em evidência, assim temos: 






++=++
±∞→±∞→ 2
22 limlim
x
c
x
b
axcbxax
xx
 
Observamos que quando os valores de x diminuem, os 
valores da função se aproximam de zero, isto é: 
01lim 3 =
−∞→ xx
 
 
Observamos que quando os valores de x aumentam, os 
valores da função se aproximam de zero, isto é: 
01lim 3 =+∞→ xx
 
 
Quando aplicamos o limite na função, os termos 2 e x
c
x
b
 tendem a zero pelo que nós 
vimos nos exemplos anteriores, logo: 






++=++
±∞→±∞→ 2
22 limlim
x
c
x
b
axcbxax
xx
 
±∞=
±∞→
2lim ax
x
 
O valor final vai depender do sinal do coeficiente a, pois vimos anteriormente que o 
limite para x2 sempre será +∞. 
 
Ex05: Vamos observar o comportamento da função polinomial de 2º. grau 
dcxbxaxxf +++= 23)( nos dois casos +∞ e -∞. 
R: na função vamos colocar o x3 em evidência, assim temos: 






+++=+++
±∞→±∞→ 32
323 limlim
x
d
x
c
x
b
axdcxbxax
xx
 
Quando aplicamos o limite na função, os termos 32 e , x
d
x
c
x
b
 tendem a zero pelo que nós 
vimos nos exemplos anteriores, logo: 






+++=+++
±∞→±∞→ 32
323 limlim
x
d
x
c
x
b
axdcxbxax
xx
 
±∞=
±∞→
3lim ax
x
 
O valor final vai depender da análise do sinal do coeficiente a e dos valores de x, pois 
vimos anteriormente que o limite para x3 pode ser ±∞. 
 
Obs: Com isso, podemos afirmar que o limite da função polinomial de grau n para x 
tendendo a ±∞ será igual ao limite do termo de maior grau da expressão, o qual vai ser 
∞+ ou ∞− dependendo do sinal do seu coeficiente e se o expoente n é par ou impar, 
assim: 
( ) n
x
nnn
x
axkcxbxax
±∞→
−−
±∞→
=++++ limlim 21 K
 
 
Ex06: Seguindo a regra anterior, vamos encontrar os seguintes limites abaixo: 
0 0 
0 0 0 
• ( )76875lim 234 +−+−
+∞→
xxxx
x
 
Utilizando o termo de maior grau temos: ( ) +∞==+−+−
+∞→+∞→ xx
xxxxx 4234 5lim76875lim 
Observamos que o seu coeficiente é positivo e expoente do termo é par, então, como 
visto anteriormente ficará + ∞. 
 
• ( )129847lim 346 +−++−
+∞→
xxxx
x
 
Utilizando o termo de maior grau temos: ( ) −∞=−=+−++−
−∞→+∞→
6346 7lim129847lim xxxxx
xx
 
Observamos que o seu coeficiente é negativo e o expoente do termo é par, então como 
visto anteriormente ficará - ∞. 
 
Obs: também podemos utilizar as definições anteriores quando tivermos um quociente 
de polinômios, basta aplicar a regra do termo de maior expoente no numerador e no 
denominador da fração e analisar o resultado. 
 
Ex07: Encontre os seguintes limites abaixo 
 
a) 
1342
734lim 25
23
++
−+−
−∞→ xx
xxx
x
 
R: Utilizando o termo de maior expoente no numerador teremos: 
5
3
25
23
2
lim
1342
734lim
x
x
xx
xxx
xx −∞→−∞→
=
++
−+−
 
Simplificando e analisando o resultado com base nas definições anteriores obtemos o limite: 
0
2
1lim
2
lim 25
3
==
−∞→−∞→ xx
x
xx
 
 
b) 
xxx
xxx
x 68
5823lim 23
23
+−
++−
−∞→
 
R: Utilizando o termo de maior expoente no numerador teremos: 
3
3
23
23
8
3lim
68
5823lim
x
x
xxx
xxx
xx −∞→−∞→
=
+−
++−
 
 
Simplificando e analisando o resultado com base nas definições anteriores obtemos o limite: 
8
3
8
3lim
8
3lim 3
3
==
−∞→−∞→ xx x
x
 
 
c) 
62
126lim 3
35
+−−
−++
+∞→ xx
xxx
x
 
R: Utilizando o termo de maior expoente no numerador teremos: 
3
5
3
35
2
6lim
62
126lim
x
x
xx
xxx
xx
−
=
+−−
−++
+∞→+∞→
 
 
Simplificando e analisando o resultado com base nas definições anteriores obtemos o limite: 
−∞=−=
−
+∞→+∞→
2
3
5
3lim
2
6lim x
x
x
xx
 
 
 
Recreio: 
Conheça um pouco da história do cálculo avançado. 
http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/mapa_historia.htm 
Exercícios 
1) (PUCC-SP) Seja f: IR → IR a função determinada por f(x) = ax + b com a ∈ IR* e b ∈ 
IR. Se: 
( ) 11lim
4
=+
→
bax
x
 
( ) 13lim
5
=+
→
bax
x
 
então, )(lim
1
xf
x→
 é igual a: 
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 
 
 
2) (PUC-SP) O valor de m ∈ IR para que exista o )(lim
1
xf
x→
, onde 



>−
≤+−
=
1 se ,32
1 se ,23)(
xmx
xmx
xf é: 
 
a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) 3 
 
3) O ( )2375lim 34
0
−+−
→
xxx
x
 é igual a: 
 
a) - 1 b) 2 c) -1 d) – 2 e) 0 
 
 
4) (MACK-SP) Se 



−
−
=
→ 1
1lim 211 x
xL
x
 e 





+
−
=
+∞→ 2
2
2 5
72lim
xx
xL
x
, então: 
 
a) L1=1/2 e L2=2 b) L1=0 e L2=2 c) L1=0 e L2=+∞ 
d) L1=1/2 e L2=0 e) L1=1/2 e L2=+∞ 
 
5) O 
xxxx
xxx
x 7832
4768lim 245
35
−−+−
−+−
−∞→
 é igual a: 
 
a) - 2 b) -∞ c) 4 d) – 4 e) 0 
 
6) O 
7
114lim 24
34
−+
++
−∞→ xx
xxx
x
 é igual a: 
 
a) 2 b) -∞ c) -2 d) 4 e) 0 
 
 
7) O valor do 
7
49lim
2
7 +
−
−→ x
x
x
 é: 
a)1 b) -14 c) -6 d) 7 e) 0 
 
 
8) (UFPR) O 
1833
16122lim 2
2
2
−+
+−
→ xx
xx
x
 é igual a: 
 
a) -4/15 b) -2/5 c) -1/2 d) -3/2 e) -5/2 
 
9) (PUC-SP) O 
23
2lim 2
23
2 +−
−−
→ xx
xxx
x
 vale: 
 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6 
 
10) (Unisa-SP) O 
23
2lim 2
23
2 +−
−−
→ xx
xxx
x
 é: 
 
a) -4 b) 1 c) 2 d) 4 e) NDA