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7. LIMITES 7.1 DEFINIÇÃO DE LIMITES Para definirmos o limite de uma função em um ponto x=a, vamos analisar o comportamento da função nas vizinhanças desse valor tanto pela esquerda (-) quanto pela direita (+) Observando o gráfico acima, percebemos que x tendendo ao ponto a pela esquerda, a função se aproxima do valor K, quando x tende ao valor a pela direita, a função se aproxima do valor P que são chamados de limites laterais da função, simbolicamente representados assim: Kxf ax = − → )(lim (Esq.) Pxf ax = +→ )(lim (Dir.) Nos casos em que a função se aproximar pelos dois lados de um mesmo valor, ou seja, K=P teremos o limite da função no ponto de abscissa x=a. Assim: Kxfxf axax == +− →→ )(lim)(lim → Kxf ax = → )(lim Quer saber mais...? aperte ctrl e clique no link http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/limites/limites.htm http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/historia_limites.htm Ex01: Vamos analisar o limite da função quando x tende a 5 no gráfico abaixo: Observando o gráfico, percebemos que, quando x tende a 5 tanto pela esquerda quanto pela direita os valores da função se aproximam de 7, neste caso, existe o limite da função e o seu valor é 7, assim, simbolicamente: 7)(lim)(lim 55 == +− →→ xfxf xx → 7)(lim 5 = → xf x Ex02: Vamos analisar o limite da função quando x tende a 3 no gráfico abaixo: Observando o gráfico quando x tende a 3 pela esquerda, a função se aproxima de 4 , quando x tende a 3 pela direita, os valores da função se aproximam de 6, neste caso, não existe o limite da função, pois os limite laterais são diferentes simbolicamente,assim temos: 7)(lim 3 = − → xf x (esq.) 7)(lim 3 = +→ xf x (dir.) 4)(lim 3 = − → xf x (esq.) 6)(lim 3 = +→ xf x (dir.) ∃/= → )(lim 3 xf x Ex03: Vamos analisar o limite da função 23)( −= xxf quando x tende a 3 R: Neste caso vamos primeiramente atribuir valores que estejam próximos de 3 pela sua esquerda. Agora vamos atribuir valores que estejam próximos de 3 pela sua direita. Como podemos notar, os limites laterais possuem o mesmo valor, então existe o limite da função no ponto x=3 7)(lim 3 = → xf x Ex04: Vamos analisar o limite da função 2 3)( − = x xf no ponto x = 2. x 23)( −= xxf 2,99 97,6299,23)99,2( =−⋅=f 2,999 997,62999,23)999,2( =−⋅=f 2,9999 9997,629999,23)9999,2( =−⋅=f x 23)( −= xxf 3,01 03,723,013)3,01( =−⋅=f 3,001 003,723,0013)3,001( =−⋅=f 3,0001 0003,723,00013)3,0001( =−⋅=f −∞= − → )(lim 2 xf x +∞= +→ )(lim 2 xf x R: Vamos primeiramente atribuir valores que estejam próximos de 2 pela sua esquerda. Agora vamos atribuir valores que estejam próximos de 2 pela sua direita. Como podemos notar os limites laterais possuem valores diferentes, então não existe o limite da função no ponto x=2 . )(lim)(lim 22 xfxf xx +− →→ ≠ → ∃/= → )(lim 2 xf x x 2 3)( − = x xf 1,99 300 299,1 3)99,1( −= − =f 1,999 3000 2999,1 3)999,1( −= − =f 1,9999 30000 29999,1 3)9999,1( −= − =f x 2 3)( − = x xf 2,01 300 201,2 3)01,2( = − =f 2,001 3000 2001,2 3)001,2( = − =f 2,0001 30000 20001,2 3)0001,2( = − =f Neste caso, observamos que os valores da função decrescem infinitamente a cada aproximação que fazemos de 2 pela esquerda, então: Agora a cada aproximação que fazemos de 2 pela direita, a função cresce infinitamente, então: 7.2 O CÁLCULO DO LIMITE E SUAS OPERAÇÕES 7.2.1 Limite de uma constante O limite de uma constante é a própria constante assim: KK ax = → lim , onde IRK ∈ Ex01: Observe abaixo alguns limites de constantes: • 66lim 2 = →x • ( ) 1515lim 4 −=− →x • 77lim 5 = −→x • 3 8 3 8lim 2 7 = −→x 7.2.2 Limite de um polinômio O limite de um polinômio quando x tende ao valor a, é o próprio valor numérico do polinômio aplicado em a, assim: )()(lim aPxP ax = → Ex01: Calcule ( )435lim 23 1 −+− → xxx x R: Vamos apenas substituir no polinômio o x pelo número 1 assim: ( ) 4351413151435lim 2323 1 −+−=−⋅+⋅−=−+− → xxx x ( ) 5435lim 23 1 −=−+− → xxx x Ex02: Calcule ( )12875lim 34 0 ++− → xxx x R: Vamos apenas substituir no polinômio o x pelo número 1 assim: ( ) 1208070512875lim 3434 1 +⋅+⋅−⋅=++− → xxx x ( ) 1212875lim 34 1 =++− → xxx x 7.2.3 Soma ou subtração de limites No caso em que tivermos o limite da soma ou subtração de duas ou mais funções, basta aplicar o limite em cada uma das funções: ( ) ( )[ ] ( ) ( )xQxPxQxP axaxax →→→ ±=± limlimlim Ex01: Vamos calcular o seguinte limite ( )xx x 3 3 1 log5lim + → R: aplicando o limite independentemente nas parcelas, teremos: ( ) xxxx xxx 31 3 13 3 1 loglim5limlog5lim →→→ +=+ 051log15 33 +=+⋅= → ( ) 5log5lim 331 =+→ xxx 7.2.4 Limite do produto Agora, temos o limite de um produto de duas funções ou mais funções, basta aplicar o limite em cada uma das funções, da mesma forma que o caso anterior. ( ) ( )[ ] ( ) ( )xQxPxQxP axaxax →→→ ⋅=⋅ limlimlim Ex01: Vamos calcular o seguinte limite ( )[ ]232lim 5 1 +−⋅ → xxx x R: aplicando o limite independentemente nas parcelas teremos: ( )[ ] ( )23lim2lim232lim 5 11 5 1 +−⋅=+−⋅ →→→ xxxx x x x x x ( ) ( ) 0.2231221312 51 =+−⋅=+⋅−⋅= → ( )[ ] 0232lim 5 1 =+−⋅ → xxx x 7.2.5 Limite do quociente Agora temos o limite de uma função quociente, para resolvermos, basta que se aplique o limite no numerador e no denominador da função. Porém, devemos ter cuidado, pois, após aplicarmos o limite no denominador, temos que ter a certeza de que o mesmo não vai se anular. )(lim )(lim )( )(lim xQ xP xQ xP ax ax ax → → → = , onde 0)(lim ≠ → xQ ax Ex01: Calcule 13 25lim 2 + − → x x x ( ) )13(lim 25lim 13 25lim 2 2 2 + − = + − → → → x x x x x x x 123 225 +⋅ −⋅ = 7 8 16 210 = + − = 7.2.6 Limites Indeterminados Quando no cálculo do limite de uma função quociente, notarmos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero isto é a fração 0 0 , teremos uma fração indeterminada, ou seja, impossível de ser calculada. Nestes casos antes de resolvermos, temos que procurar um método para fatorar a função em seu denomimador ou no numerador. Ex01: Resolva o seguinte limite 5 25lim 2 5 − − → x x x . R: Efetuando a devida fatoração temos: ( ) ( )bababa −⋅+=− 22 → diferença de quadrados = − − → 5 25lim 2 5 x x x ( ) ( ) 5 55lim 5 − −⋅+ → x xx x cancelamos os fatores iguais do numerador e denominador ( ) ( ) 5 55lim 5 − −⋅+ → x xx x ( ) 10555lim 5 =+=+= → x x Ex02: Resolva o seguinte limite x xx x 2 53lim 2 0 − → . R: Efetuando a devida fatoração temos: ( )baxbxax +=+ → Fator comum ( ) x xx x xx xx 2 53lim 2 53lim 0 2 0 − = − →→ Cancelando o que é fator comum do numerador e denominador ( ) ( ) 2 5 2 503 2 53lim 2 53lim 00 − = −⋅ = − = − →→ x x xx xx Ex03: Resolva o seguinte limite 2 12102lim 2 2 − +− → x xx x . R: Efetuando a devida fatoração temos: ( ) ( )xxxxacbxax ′′−⋅′−⋅=++2 → Polinômio de grau 2, onde x` e x`` obtém-se resolvendo a equação do segundo grau. Inicialmente temos que resolver a equação para que possamos utilizar o caso de fatoração assim: 012102 2 =+− xx temos: ( ) 412.2.410 2 =−−=∆ → 4 210 2.2 4)10( ± = ±−− =x Onde x` = 2 e x``= 3, substituindo na fatoração teremos: ( )( ) 2 3.2.2lim 2 12102lim 2 2 2 − −− = − +− →→ x xx x xx xx Cancelamos os fatores iguais do numerador e denominador ( )( ) ( ) ( ) ( ) 21.232.23.2lim 2 3.2.2lim 22 −=−=−=−= − −− →→ x x xx xx 7.2.7 Limites no infinito Vamos fazer agora um estudo dos limites aplicados nos extremos do domínio da função, ou seja, quandox tende a ∞± . Ex01: Vamos observar o comportamento da função 2)( xxf = nos dois casos +∞ e -∞. R: Analisando o x tendendo a -∞ temos: x 2)( xxf = -100 10000 -1000 1000000 -10000 100000000 -100000 10000000000 Agora analisando o x tendendo a +∞ temos: x 2)( xxf = 100 10000 1000 1000000 10000 100000000 100000 10000000000 Ex02: Vamos observar o comportamento da função 3)( xxf = nos dois casos +∞ e -∞. R: Analisando o x tendendo a -∞ temos: x 3)( xxf = -100 -1000000 -1000 -1000000000 -10000 -1000000000000 -100000 -1000000000000000 Analisando o x tendendo a +∞ temos: x 3)( xxf = 100 1000000 1000 1000000000 10000 1000000000000 100000 1000000000000000 Observamos que quando os valores de x diminuem, os valores da função aumentam infinitamente, ou seja, tendem a +∞, isto é: +∞= −∞→ 2lim x x Observamos que quando os valores de x aumentam, os valores da função aumentam também infinitamente, ou seja, tendem a +∞ isto é: +∞= +∞→ 2lim x x Observamos que quando os valores de x diminuem, os valores da função diminuem também infinitamente, ou seja, tendem a ∞− isto é: −∞= −∞→ 3lim x x Observamos que quando os valores de x aumentam os valores da função aumentam também infinitamente, ou seja, tendem a +∞ isto é: +∞= +∞→ 3lim x x Obs: Podemos então, após avaliação, determinar o limite para um expoente natural “n” qualquer para a função xn. Quando n é par: +∞= −∞→ n x xlim +∞= +∞→ n x xlim Quando n é impar −∞= −∞→ n x xlim +∞= +∞→ n x xlim Ex03: Vamos observar o comportamento da função 2 1)( x xf = nos dois casos +∞ e -∞. R: Analisando o x tendendo a -∞ temos: x 2 1)( x xf = -100 0,0001 -1000 0,000001 -10000 0,00000001 -100000 0,0000000001 Agora analisando o x tendendo a +∞ temos: x 2 1)( x xf = 100 0,0001 1000 0,000001 10000 0,00000001 100000 0,0000000001 Ex04: Vamos observar o comportamento da função 3 1)( x xf = nos dois casos +∞ e -∞. Observamos que quando os valores de x diminuem os valores da função se aproximam de zero, isto é: 01lim 2 = −∞→ xx Observamos que quando os valores de x aumentam, os valores da função se aproximam de zero, isto é: 01lim 2 =+∞→ xx R: Analisando o x tendendo a -∞ temos: x 3 1)( x xf = -100 -0,000001 -1000 -0,000000001 -10000 -0,000000000001 -100000 -0,000000000000001 Analisando o x tendendo a +∞ temos: x 3 1)( x xf = 100 0,000001 1000 0,000000001 10000 0,000000000001 100000 0,000000000000001 Obs: Podemos então, após avaliação, determinar o limite para um expoente natural “n” qualquer para a função nx 1 . Para qualquer n natural teremos: 01lim = −∞→ nx x 01lim = +∞→ nx x Ex05: Vamos observar o comportamento da função polinomial de 2º. grau cbxaxxf ++= 2)( nos dois casos +∞ e -∞. R: na função, vamos colocar o x2 em evidência, assim temos: ++=++ ±∞→±∞→ 2 22 limlim x c x b axcbxax xx Observamos que quando os valores de x diminuem, os valores da função se aproximam de zero, isto é: 01lim 3 = −∞→ xx Observamos que quando os valores de x aumentam, os valores da função se aproximam de zero, isto é: 01lim 3 =+∞→ xx Quando aplicamos o limite na função, os termos 2 e x c x b tendem a zero pelo que nós vimos nos exemplos anteriores, logo: ++=++ ±∞→±∞→ 2 22 limlim x c x b axcbxax xx ±∞= ±∞→ 2lim ax x O valor final vai depender do sinal do coeficiente a, pois vimos anteriormente que o limite para x2 sempre será +∞. Ex05: Vamos observar o comportamento da função polinomial de 2º. grau dcxbxaxxf +++= 23)( nos dois casos +∞ e -∞. R: na função vamos colocar o x3 em evidência, assim temos: +++=+++ ±∞→±∞→ 32 323 limlim x d x c x b axdcxbxax xx Quando aplicamos o limite na função, os termos 32 e , x d x c x b tendem a zero pelo que nós vimos nos exemplos anteriores, logo: +++=+++ ±∞→±∞→ 32 323 limlim x d x c x b axdcxbxax xx ±∞= ±∞→ 3lim ax x O valor final vai depender da análise do sinal do coeficiente a e dos valores de x, pois vimos anteriormente que o limite para x3 pode ser ±∞. Obs: Com isso, podemos afirmar que o limite da função polinomial de grau n para x tendendo a ±∞ será igual ao limite do termo de maior grau da expressão, o qual vai ser ∞+ ou ∞− dependendo do sinal do seu coeficiente e se o expoente n é par ou impar, assim: ( ) n x nnn x axkcxbxax ±∞→ −− ±∞→ =++++ limlim 21 K Ex06: Seguindo a regra anterior, vamos encontrar os seguintes limites abaixo: 0 0 0 0 0 • ( )76875lim 234 +−+− +∞→ xxxx x Utilizando o termo de maior grau temos: ( ) +∞==+−+− +∞→+∞→ xx xxxxx 4234 5lim76875lim Observamos que o seu coeficiente é positivo e expoente do termo é par, então, como visto anteriormente ficará + ∞. • ( )129847lim 346 +−++− +∞→ xxxx x Utilizando o termo de maior grau temos: ( ) −∞=−=+−++− −∞→+∞→ 6346 7lim129847lim xxxxx xx Observamos que o seu coeficiente é negativo e o expoente do termo é par, então como visto anteriormente ficará - ∞. Obs: também podemos utilizar as definições anteriores quando tivermos um quociente de polinômios, basta aplicar a regra do termo de maior expoente no numerador e no denominador da fração e analisar o resultado. Ex07: Encontre os seguintes limites abaixo a) 1342 734lim 25 23 ++ −+− −∞→ xx xxx x R: Utilizando o termo de maior expoente no numerador teremos: 5 3 25 23 2 lim 1342 734lim x x xx xxx xx −∞→−∞→ = ++ −+− Simplificando e analisando o resultado com base nas definições anteriores obtemos o limite: 0 2 1lim 2 lim 25 3 == −∞→−∞→ xx x xx b) xxx xxx x 68 5823lim 23 23 +− ++− −∞→ R: Utilizando o termo de maior expoente no numerador teremos: 3 3 23 23 8 3lim 68 5823lim x x xxx xxx xx −∞→−∞→ = +− ++− Simplificando e analisando o resultado com base nas definições anteriores obtemos o limite: 8 3 8 3lim 8 3lim 3 3 == −∞→−∞→ xx x x c) 62 126lim 3 35 +−− −++ +∞→ xx xxx x R: Utilizando o termo de maior expoente no numerador teremos: 3 5 3 35 2 6lim 62 126lim x x xx xxx xx − = +−− −++ +∞→+∞→ Simplificando e analisando o resultado com base nas definições anteriores obtemos o limite: −∞=−= − +∞→+∞→ 2 3 5 3lim 2 6lim x x x xx Recreio: Conheça um pouco da história do cálculo avançado. http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/mapa_historia.htm Exercícios 1) (PUCC-SP) Seja f: IR → IR a função determinada por f(x) = ax + b com a ∈ IR* e b ∈ IR. Se: ( ) 11lim 4 =+ → bax x ( ) 13lim 5 =+ → bax x então, )(lim 1 xf x→ é igual a: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 2) (PUC-SP) O valor de m ∈ IR para que exista o )(lim 1 xf x→ , onde >− ≤+− = 1 se ,32 1 se ,23)( xmx xmx xf é: a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) 3 3) O ( )2375lim 34 0 −+− → xxx x é igual a: a) - 1 b) 2 c) -1 d) – 2 e) 0 4) (MACK-SP) Se − − = → 1 1lim 211 x xL x e + − = +∞→ 2 2 2 5 72lim xx xL x , então: a) L1=1/2 e L2=2 b) L1=0 e L2=2 c) L1=0 e L2=+∞ d) L1=1/2 e L2=0 e) L1=1/2 e L2=+∞ 5) O xxxx xxx x 7832 4768lim 245 35 −−+− −+− −∞→ é igual a: a) - 2 b) -∞ c) 4 d) – 4 e) 0 6) O 7 114lim 24 34 −+ ++ −∞→ xx xxx x é igual a: a) 2 b) -∞ c) -2 d) 4 e) 0 7) O valor do 7 49lim 2 7 + − −→ x x x é: a)1 b) -14 c) -6 d) 7 e) 0 8) (UFPR) O 1833 16122lim 2 2 2 −+ +− → xx xx x é igual a: a) -4/15 b) -2/5 c) -1/2 d) -3/2 e) -5/2 9) (PUC-SP) O 23 2lim 2 23 2 +− −− → xx xxx x vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6 10) (Unisa-SP) O 23 2lim 2 23 2 +− −− → xx xxx x é: a) -4 b) 1 c) 2 d) 4 e) NDA
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