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limites (4)

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6 14
+ −= =+ 
 
(iii) 
3
2 5 2 3 5 11lim .
1 3 1 2x
x
x→
+ ⋅ += =− − 
 
(iv) Neste caso, 
 
( )3 327
3
xx
x
−− =−
( )
( )
2 3 9
3
x x
x
+ +
−
2 3 9x x= + + 
 
( )3 2
3 3
2
27lim lim 3 9
3
3 3 3 9
27.
x x
x x x
x→ →
−⇒ = + +−
= + ⋅ +
=
 
(v) Neste caso, 
 
( )
2
11
4 3
xx
x x
−− =− + ( )1x − ( ) ( )
1
33 xx
= −− 
 ( )21 1
1 1 1lim lim .
4 3 3 2x x
x
x x x→ →
−⇒ = = −− + − 
 
 
Exercícios propostos – 1 
 
Calcular os seguintes limites 
1) 
3
0
1 1lim
x
x
x→
+ − . 2) 
0
1 1lim
x
x x
x→
+ − − 
3) 
0
1 1lim
x
x
x→
+ − . 4) 
4
1
1lim
1x
x
x→
−
− 
5) ( )3 3
0
lim
h
x h x
h→
+ −
. 6) 
0
2 2lim
x
x
x→
+ − 
7) 
2
23
9lim
2 7 3y
y
y y→−
−
+ + 8) 
2
23
5 6lim
12x
x x
x x→−
+ +
− − 
9) Se ( ) 9 3xh x
x
+ −= , demonstre que ( )
0
1lim
6x
h x→ = , mas ( )0h não está definida. 
 
 
 
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Este trabalho foi elaborado por 
Professores Fernando Guerra e Inder Jeet Taneja para os cursos de 
Ciências Contábeis e Economia. 
 
7
Limites Laterais 
 
a) Limite á direita 
 
Dizemos que b é o limite à direita de ( )f x no ponto 0x e escrevemos ( )
0
0 lim ( )x xb f x f x+
+
→
= = 
quando 0x x→ para valores maiores que 0x . 
 
Figura 4.3 
 
b) Limite á esquerda 
 
 Dizemos que b é o limite à esquerda de ( )f x no ponto 0x e escrevemos ( ) _
0
0 lim ( )
x x
b f x f x−
→
= = quando 0x x→ para valores menores que 0x . 
 
Figura 4.4 
 
Por exemplo, 
 
1. 
2, se 1
( )
3, se 1
x
f x
x
>⎧= ⎨− <⎩ 
 
Figura 4.5 
 
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8
Temos 
1
lim ( ) 3
x
f x−→ = − 
e 
1
lim ( ) 2
x
f x+→ = 
 
Observação: 
0
lim ( )
x x
f x b→ = existe se e somente se _ 00lim ( ) lim ( )x xx x f x f x+→→ = . 
 
2. 
, se 2
( )
1, se 2
x x
f x
x x
≤⎧= ⎨ + >⎩ 
 
Figura 4.6 
 
Neste caso, 
2 2
lim ( ) lim 2
x x
f x x− −→ →= = 
e 
( )
2 2
lim ( ) lim 1 3
x x
f x x+ +→ →= + = . 
 
Observação: A função não precisa estar definida no ponto 0x para que os limites laterais 
existam. 
 
3. Seja ( ) xf x
x
= , existe 
0
lim ( )
x
f x→ ? 
Temos 
1, se 0
1, se 0
x xx x
xx x
x
⎧ = >⎪⎪= ⎨⎪ = − <⎪−⎩
 
Logo, 
 
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9
 
0
lim ( ) 1
x
f x−→ = − e 0lim ( ) 1x f x+→ = . 
 
Como 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x− +→ →≠ ⇒ ∃ 0lim ( )x f x→ , 
ou seja, 
0
lim
x
x
x→
 não existe. 
 
 
Exercícios propostos – 2 
 
Verificar se existe os limites seguintes: 
1) Seja 
3 1( )
1
xf x
x
−= − , 0lim ( )x f x→∃ ? Resposta: não existe 
2) Seja 
3 8( )
2
xf x
x
+= − , 2lim ( )x f x→∃ ? Resposta: não existe 
3) Seja 2( )
xf x
x x
= + , 2lim ( )x f x→∃ ? Resposta: não existe 
4) Seja 
2
( ) xf x
x
= , existe 
0
lim ( )
x
f x
→
? Resposta: não existe 
 
 
 Limites Infinitos e Limites no infinito 
 
a) Limites infinitos 
 
(i) lim ( )
x
f x
→∞
= ∞⇔ dado 0k > arbitrário, existe em correspondência um número 0n > tal 
que ( )x n f x k∀ > ⇒ > . 
 
Figura 4.7 
 
 
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10
(ii) lim ( )
x
f x→−∞ = −∞⇔ dado 0k > arbitrário, existe em correspondência um número 
0n > tal que ( )x n f x k∀ < ⇒ < . 
 
(iii) lim ( )
x
f x
→−∞
= ∞⇔ dado 0k > arbitrário, existe em correspondência um número 0n > 
tal que ( )x n f x k∀ < ⇒ > . 
 
Figura 4.8 
 
(iv) lim ( )
x
f x
→∞
= −∞⇔ dado 0k > arbitrário, existe em correspondência um número 0n > 
tal que ( )x n f x k∀ > ⇒ < . 
 
 
 (v) lim ( )
x a
f x
→
= +∞⇔ dado 0k > arbitrário, existe em correspondência um número 0δ > 
tal que x∀ temos ( )x a f x kδ− < ⇒ > , isto é, quando x a→ , ( )f x assume valor 
que superam 0k > . 
 
Figura 4.10 
 
 
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11
(vi) lim ( )
x a
f x→ = −∞⇔ dado 0ε > arbitrário, existe em correspondência um número 0δ > 
tal que x∀ temos ( )x a f x kδ− < ⇒ < . 
 
Figura 4.11 
 
 
ƒ Símbolos de indeterminação – Há varias maneira de identificar uma 
indeterminação. As sete situações ou símbolos dados abaixo são 
utilizados para identificar uma inderminação. 
 
00 , , , 0 , 1 , ,
0
∞ ∞∞ ∞−∞ ⋅∞ ∞ ∞∞ . 
 
Observação: Seja c uma constante diferente de zero, então: 
(i) 
0
lim
0x
c c
x→
= = ∞ ; 
(ii) lim
x
c x c→∞ ⋅ = ⋅∞ = ∞ ; 
(iii) lim
x
x
c c→∞
∞= = ∞ ; 
(iv) lim 0
x
c c
x→∞
= =∞ . 
 
 
 
b) Limite no infinito 
 
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( , )a ∞ . Escrevemos 
lim ( )
x
f x L
→∞
= , 
quando o número L satisfaz a seguinte condição: para qualquer 0ε > , existe 0A > tal que 
( )f x L ε− < sempre que x A> . 
 
 
 
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Definição: Seja f uma função definida em ( , )b−∞ . Escrevemos 
lim ( )
x
f x L
→−∞
= , 
se L satisfaz a seguinte condição: para qualquer 0ε > , existe 0B < tal que ( )f x L ε− < 
sempre que x B< . 
 
Observações 
 
a) As propriedades dos limites dadas inicialmente de 1P a 10P permanecem inalteradas 
quando substituímos x a→ para x →∞ ou x →−∞ . 
 
b) O resultado abaixo é muito importante para calcular limites, isto é, se n é um inteiro 
positivo, então: 
(i) 1lim 0nx x→∞
= ; 
(ii) 1lim 0nx x→−∞
= . 
 
c) É importante notar que 
0
1lim nx x+→
= +∞ 
 e 
0
, se é par1lim
, se é ímpar,nx
n
nx−→
+∞⎧= ⎨−∞⎩ 
 
 onde n é um número inteiro positivo qualquer. 
 
 
c) Limites importantes 
 
1 - Seja 10 1( ) ( ) ...
n n
nf x P x a x a x a
−= = + + + , 0 0a ≠ : 
 
 (i) Quando x c→ , então 
lim ( ) ( )
x c
P x P c→ = . 
 Por exemplo, 3 3
1
lim 3 1 3 1 1 3 1 2.
x
x→ − = ⋅ − = − = 
 
 (ii) Quando x →±∞ , neste caso calculamos inicialmente para x →+∞ , 
 
 
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( )
( ) [ ]
( )
1
1
0
0 0
1
1
0
0 0
0
0
lim ( ) lim 1 ...
lim lim 1 ...
lim 1 0 0 ... 0
lim
lim ( ).
n
n n
n nx x
n
n n
n nx x
n
x
n
x
x
aa xP x a x
a x a x
aa xa x
a x a x
a x
a x
P x
−
→+∞ →+∞
−
→∞ →+∞
→∞
→∞
→∞
⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⋅ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
= ⋅ + + + +
=
=
 
 
Assim, 0lim
n
x
a x→∞ será +∞ ou −∞ , dependendo do sinal do 0a e também de n , inteiro 
seja par ou ímpar. 
 
 Agora, analisando quando x →−∞ vem 0lim nx a x→−∞ também será +∞ ou −∞ . 
 
Por exemplo, 
 
(i) ( )2 2lim 2 1 lim 2
x x
x x x→∞ →∞+ − = = +∞ ; 
(ii) 4 3 4lim 4 10 lim 4
x x
x x x x→−∞ →−∞+ + − = = +∞ ; 
(iii) ( )3 2 3lim 7 lim
x x
x x x→−∞ →−∞− + + = − = +∞ ; 
(iv) ( )5 2 5lim 3 5 lim
x x
x x x x→−∞ →−∞− + = = −∞ . 
 
d) Limite de uma função racional 
 
 Seja ( )( )
( )
P xf x
Q x
= , ( ) 0Q x x≠ ∀ , onde ( )P x e ( )Q x são polinômios em x . 
 
 (i) Quando x c→ , então 
( ) ( )lim , ( ) 0
( ) ( )x c
P x P c Q c
Q x Q c→
= ≠ , 
 
 quando ( )( ) 0 lim
( )x c
P xQ c
Q x→
= ⇒ = ∞ . 
 Por exemplo, 
3 3
2 21
1 1 1 1 1 2 1lim .
3 1 3 1 3 4 2x
x
x→
+ + += = = =+ + + 
 
 (ii) Quando x →±∞ . Analisamos inicialmente, quando x →+∞ . Temos 
 
 
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