Limites (5)

> 0 existe B >
1
ε
> 0, tal que se x < −B, então
∣∣1/x∣∣ = −1
x
< ε.
Observe que x→ +∞ implica x > 0 e x→ −∞ implica x < 0.
Proposição 3.3. Para todo número natural n e para b ∈ R− {0}, tem-se:
1. lim
x→+∞
b
xn
= 0.
2. lim
x→−∞
b
xn
= 0.
1. Devemos provar que para todo ε > 0 existe A > 0 tal que
∣∣ b
xn
∣∣ < ε se x > A. De fato,
∣∣ b
xn
∣∣ = |b||x|n < ε se
n
√
|b|
|x| <
n
√
ε, ou seja, se x >
n
√
|b|
n
√
ε
; logo basta considerar A =
n
√
|b|
n
√
ε
. A prova
de 2 é análoga a do item 1.
Figura 3.15: Gráficos de f(x) =
1
xn
para diferentes n.
132 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
Proposição 3.4. Se lim
x→±∞
f(x) e lim
x→±∞
g(x) existem, então, para todo α, β ∈ R:
1. lim
x→±∞
(
α f(x) + β g(x)
)
= α lim
x→±∞
f(x) + β lim
x→±∞
g(x),
2. lim
x→±∞
(
f(x) g(x)
)
=
(
lim
x→±∞
f(x)
) (
lim
x→±∞
g(x)
)
,
3. lim
x→±∞
f(x)
g(x)
=
lim
x→±∞
f(x)
lim
x→±∞
g(x)
, se lim
x→±∞
g(x) 6= 0.
As provas são análogas às das propriedades dos limites num ponto.
Exemplo 3.7.
[1] Calcule lim
x→+∞
( 3
x3
+ 5
)
.
Aplicando diretamente a proposição anterior:
lim
x→+∞
( 3
x3
+ 5
)
= lim
x→+∞
( 3
x3
)
+ lim
x→+∞
5 = 0 + 5 = 5.
Figura 3.16: Gráfico de f quando x→ +∞.
[2] Calcule lim
x→+∞
5
x2
.
Aplicando diretamente a proposição anterior : lim
x→+∞
5
x2
= 5 lim
x→+∞
1
x2
= 0.
3.3.1 Cálculo de Limites de Funções Racionais
Proposição 3.5. Seja
f(x) =
P (x)
Q(x)
,
onde P (x) = anx
n + an−1x
n−1 + ..... + a0 e Q(x) = bmx
m + bm−1x
m−1 + ..... + b0 são polinômios
de coeficientes reais de graus n em, respectivamente, isto é an 6= 0 e bm 6= 0. Então:
lim
x→±∞
P (x)
Q(x)
=


an
bm
se n = m
0 se n < m
3.3. LIMITES NO INFINITO 133
De fato:
P (x)
Q(x)
=
anx
n + an−1x
n−1 + ........ + a0
bmxm + bm−1xm−1 + ........ + b0
=
xn
[
an +
an−1
x
+ ........ +
a0
xn
]
xm
[
bm +
bm−1
x
+ ........ +
b0
xm
] .
Aplicando limite e as propriedades da proposição 3.4, obtemos o resultado. Para n > m, veja o
próximo parágrafo.
Exemplo 3.8.
[1] Calcule lim
x→+∞
x3 + 1
x4 + 5x3 + x+ 2
.
Como n < m, temos: lim
x→+∞
x3 + 1
x4 + 5x3 + x+ 2
= 0.
[2] Calcule lim
x→−∞
2x + 3
3x + 2
.
Como n = m, temos: lim
x→−∞
2x+ 3
3x+ 2
=
2
3
.
[3] Calcule lim
x→+∞
x+ 1√
x2 − 5 .
Neste problema, a função não é racional, mas utilizaremos a mesma idéia dos exercícios ante-
riores:
lim
x→+∞
x + 1√
x2 − 5 = limx→+∞
√
(x + 1)2
x2 − 5 = limx→+∞
√
x2 + 2x+ 1
x2 − 5
=
√
lim
x→+∞
x2 + 2x + 1
x2 − 5 =
√
1 = 1.
[4] Calcule lim
x→−∞
x+ 1√
x2 − 5 .
Aparentemente este limite é análogo ao do exemplo [3]; mas devemos ter cuidado, pois, x →
−∞, significa que x < 0; logo, consideramos
√
x2 = −x:
lim
x→−∞
x+ 1√
x2 − 5 = lim−x→+∞
−1− 1x√
1− 5
x2
= −1.
[5] Fractal de Koch A seguinte curva é chamada de Koch e é obtida a partir da linha poligonal
constituída pelos lados de um triângulo equilátero de lado unitário. A cada passo substitui-se
o terço médio de cada segmento da linha poligonal por dois segmentos que formariam um
triângulo equilátero com o terço médio que foi retirado, conforme os desenhos abaixo:
Figura 3.17:
134 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
Denote por An a área comprendida pela linha poligonal após n passos; logo:
A0 =
√
3
4
, A1 =
√
3
3
, A2 =
10
√
3
27
, A3 =
94
√
3
243
, A4 =
862
√
3
2187
,
em geral:
An =
√
3
4
[
1 +
3
5
(
1− (4
9
)n)]
,
se n ≥ 0; então:
A∞ = lim
n→+∞
An =
2
√
3
5
.
Fica como exercício interpretar o limite.
3.4 Limites Infinitos
Seja f uma função definida num domínio D, que pode ser um intervalo ou uma reunião de
intervalos. Seja a um ponto que não pertence necessariamente a D, mas tal que nas proximi-
dades de a existam pontos de D; em outras palavras, qualquer intervalo aberto que contem a
intersectaD de forma não vazia.
Definição 3.4.
1. Diz-se que lim
x→a
f(x) = +∞, quando para todo A > 0, existe δ > 0 tal que f(x) > A, se x ∈ D e
0 < |x− a| < δ.
2. Diz-se que lim
x→a
f(x) = −∞, quando para todoB > 0, existe δ > 0 tal que f(x) < −B, se x ∈ D
e 0 < |x− a| < δ.
Exemplo 3.9.
[1] lim
x→1
1
(x− 1)2 = +∞.
Como
1
(x− 1)2 > A, se (x − 1)
2 <
1
A
, isto é, se |x − 1| < 1√
A
, então para todo A > 0, existe
δ =
1√
A
> 0 tal que f(x) > A se 0 < |x− 1| < δ.
[2] lim
x→0
1
x2
= +∞.
Como
1
x2
> B se |x| < 1√
B
, então para todo B > 0, existe δ =
1√
B
> 0 tal que f(x) > B se
0 < |x| < δ.
Analogamente podemos definir limites laterais infinitos. Assim:
Diz-se que lim
x→a−
f(x) = +∞, quando para todoA > 0, existe δ > 0 tal que f(x) > A se
a− δ < x < a.
Diz-se que lim
x→a+
f(x) = −∞, quando para todo B > 0, existe δ > 0 tal que f(x) < −B se
a < x < a + δ.
3.4. LIMITES INFINITOS 135
Proposição 3.6. Para todo número natural n, temos:
1. lim
x→0+
1
xn
= +∞.
2. lim
x→0−
1
xn
=
{
+∞ se n é par
−∞ se n é ímpar
Proposição 3.7. Sejam f(x) e g(x) funções tais que lim
x→a
f(x) 6= 0 e lim
x→a
g(x) = 0. Então
1. lim
x→a
f(x)
g(x)
= +∞ se f(x)
g(x)
> 0 para valores de x próximos de a.
2. lim
x→a
f(x)
g(x)
= −∞ se f(x)
g(x)
< 0 para valores de x próximos de a.
As provas das proposições são deixadas como exercícios.
Exemplo 3.10.
[1] Calcule lim
x→1
3x− 2
(x− 1)2 .
Como lim
x→1
(3x− 2) = 1 e lim
x→1
(x− 1)2 = 0, observando que se x > 23 , mas x 6= 1, então 3x−2(x−1)2 > 0
e aplicando o teorema, logo: lim
x→1
3x− 2
(x− 1)2 = +∞.
[2] Calcule lim
x→2
2x− 5
(x− 2)2 .
Como lim
x→2
(2x− 5) = −1 e lim
x→1
(x− 2)2 = 0, observando que se x < 52 , mas x 6= 2, então
2x−5
(x−2)2
< 0 e aplicando o teorema, temos: lim
x→2
2x− 5
(x− 2)2 = −∞.
Analogamente podemos definir outros tipos de limites. Como exercício, defina os seguintes
limites:
lim
x→+∞
f(x) = +∞, lim
x→+∞
f(x) = −∞ e lim
x→−∞
f(x) = +∞, lim
x→−∞
f(x) = −∞.
Corolário 3.3. Para funções racionais, temos:
lim
x→±∞
P (x)
Q(x)
=


±∞ se n > m
an
bm
se n = m
0 se n < m
.
Exemplo 3.11.
[1] lim
x→+∞
(
x5 + 3x3 + x+ 1
)
. Como lim
x→+∞
(
1 +
3
x2
+
1
x4
+
1
x5
)
= 1; temos,
lim
x→+∞
(
x5 + 3x3 + x + 1
)
= lim
x→+∞
x5
(
1 +
3
x2
+
1
x4
+
1
x5
)
= lim
x→+∞
x5 = +∞.
[2] lim
x→−∞
(
x5 + 3x3 + x+ 1
)
. Como lim
x→−∞
(
1 +
3
x2
+
1
x4
+
1
x5
)
= 1; temos,
136 CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
lim
x→−∞
(
x5 + 3x3 + x+ 1
)
= lim
x→−∞
x5
(
1 +
3
x2
+
1
x4
+
1
x5
)
= lim
x→−∞
x5 = −∞.
[3] lim
x→−∞
(
x6 + x3 + 1
)
. Como lim
x→−∞
(
1 +
1
x3
+
1
x6
)
= 1; temos,
lim
x→−∞
(
x6 + x3 + 1
)
= lim
x→−∞
x6
(
1 +
1
x3
+
1
x6
)
= lim
x→−∞
x6 = +∞.
[4] lim
x→+∞
( x5 + 1
x4 + 5x3 + 2
)
.
Como n > m, pelo corolário anterior: lim
x→+∞
( x5 + 1
x4 + 5x3 + 2
)
= +∞.
[5] Na teoria da relatividade especial, a massa de uma partícula é função de sua velocidade:
M(v) =
cm0√
c2 − v2 ,
ondem0 é a massa da partícula em repouso e c é a velocidade da luz. Logo,
lim
v→c−
M(v) = +∞;
em outras palavras, se a velocidade de uma partícula aumenta, sua massa aumenta em ralação
a sua massa inicial m0.
[6] Considere o fractal de Koch e denote por Pn o perímetro da linha poligonal após n passos;
logo:
P0 = 3, P1 = 4, P2 =
16
3
;
em geral, An = 3
(4
3
)n, se n ≥ 0; então, P∞ = lim
n→+∞
Pn = +∞. Fica como exercício interpretar
o limite.
3.5 Símbolos de Indeterminação
Nas operações com limites, muitas vezes aparecem os símbolos:
∞−∞, ∞ · 0, ∞∞ ,
0
0
, 00, 1∞, ∞0
chamados símbolos de indeterminação. Quando aparece um destes símbolos no cálculo de
um limite, nada se pode dizer sobre este limite. Ele poderá existir ou não, dependendo da
expressão da qual se está calculando o limite.
Exemplo 3.12.
[1] Se f(x) = 1 +
1
(x− 1)2 e g(x) =
1
(x− 1)2 , onde f e g são definidas em R− {1}, então,
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
g(x) = +∞,
mas lim
x→1
(
f(x)− g(x)) = 1.
[2] Se f(x) = sen(
1
x− 1
)
+
1
(x− 1)2 e g(x) =
1
(x− 1)2 , onde f e g são definidas em R − {1},
então, lim
x→1
f(x) = lim
x→1
g(x) = +∞, mas lim
x→1
(
f(x)− g(x)) não existe.
3.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 137
[3] Se f(x) =
1
x
e g(x) = ln(x), onde f e g