SOLUÇÃO-P4-PROBEST_2011-1

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P4 - Probabilidade e Estatística – 2011.1 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza & Roxana Jimenez Contreras 
 
 
Problema 1 (2.0 pts) 
1.1- (0,4 pt) Seja “X”uma v.a. contínua com E(X)=8 e DP(X)=2, onde DP(X) é 
o desvio padrão de X. Se Y=3X-6, quem é E(Y) e DP(Y). 
SOLUÇÃO 
 
. E(Y) = E(3X-6) 
 = 3E(X) – E(6) 
 = 24 – 6 
 E(y) = 18 
 
 DP(Y) = 
 Var(Y) = Var(3X-6) 
 = 9(Var(X))-Var(6) 
 = 36 
 DP(Y) = = 6 
 
1.2- (0,4 pt) Seja Z uma variável normal com media “0” e variância “1”, identifique 
qual é a natureza da variável V = Z2. 
SOLUÇÃO 
 
 
1.3- (0,4 pt) Pelo que você aprendeu no curso, como você difere “probabilidade e 
“estatística”? 
SOLUÇÃO 
 
 
Probabilidade- A densidade (ou função de probabilidade) era inteiramente 
conhecida. 
Em Estatística, teremos uma amostra aleatória de uma distribuição com certos 
parâmetros desconhecidos, e procuraremos descobrir alguma coisa sobre estes 
parâmetros (Inferência dos dados) 
 
 
 
 
 
1.4- (0,4 pts) Defina com suas palavras os modelos discretos: Binomial, Geométrica, 
Binomial Negativa e Poisson. 
SOLUÇÃO 
 
DISTRIBUIUÇÃO BINOMIAL – É uma variável aleatória discreta que modela um 
experimento que mede a quantidade de sucesso nas “n” repetições de uma Bernoulli . 
 
DISTRIBUIUÇÃO GEOMÉTRICA – É uma variável aleatória discreta que modela número de 
repetições de um experimento de Bernoulli até atingir o 1º sucesso. 
 
DISTRIBUIUÇÃO BINOMIAL NEGATIVA – É uma variável aleatória discreta que modela 
número de repetições de um experimento de Bernoulli até obter o r-esimo sucesso. 
 
DISTRIBUIUÇÃO POISSON – É uma variável aleatória discreta que modela número de 
ocorrência de um evento raro. 
 
 
 
 
1.5- (0,4 pt) Seja X uma variável aleatória com distribuição 
2
17
. Ache “a” e ”b” na 
tabela qui-quadrado, tais que: 
Pr [a<X<b] = 95% 
Pr [ X<a] = 2,5% 
g= grau de liberdade=17 
SOLUÇÃO 
 
 
Pela tabela“χ2”,g= n-1=17 
 
a= ? e b=? 
 
 
 0,025 
 (1-α)= 0,95 
 
 
 
 975,0 
 
 a= 7,56 b=30,2 
 
- Intervalo de confiança [1-α] = 0,95 
 
 
Problema 2 (1,5 pts) 
Realiza-se 15 testes independentes de Bernoulli, e são observados 12 sucessos, e não é 
conhecido. 
a) (1,0 pt) Qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro deste modelo, 
mostrar todos os passos da solução. 
SOLUÇÃO 
X ~ Bernoulli (θ) 
 
 
 
 
 
 
 
Obtenção da função de verossimilhança “

” 
 
L(

 ) = f(x1, x2,...xn) 
 
 = 
  

n
i
xx
1
1 .)1( 
 
 
 
Obtenção do Log-verossimilhança 
 
l θ ) = lo θ )] 
 
 = log 
  

n
i
xx
1
1 .)1( 
 
 = log







 




n
i
i
n
i xnx
111 )1.( 
 
 = 
log).(
1


n
i
ix
 + n log
)1( 
 -
)1log().(
1


n
i
ix
 
 
 
Obtenção do estimador de máxima verossimilhança de “θ” 
 
1ª derivada - 








11
11
n
x
i
n
i
i x
n
x
l - 
 .)1(),( x1  xixf 
.... 3, 2, 1, 0,= x onde .)Pr()( 1 xx pqxXxf 
 
Iguala a zero - 
0

l
 
 
0
11
11 








n
x
i
n
i
i x
n
x
l 

 
oxnxx
n
i
i
n
i
i
n
x
i  
 111

 

 



n
i
ixn
1

 
 
 Substituir 
MV
^
  então XMV ^ 
 
 
b) (0,5 pt) Encontre a estimativa do parâmetro, “p ”. 
SOLUÇÃO 
 
8,0
15
12^
 XMV
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3(2,0 pts) 
Em um laboratório há três gaiolas. Na gaiola I há dois coelhos marrons e três brancos, a 
gaiola II tem 4 coelhos marrom e dois brancos e gaiola III contém 5 coelhos marrons e 5 
brancos. Seleciona-se aleatoriamente uma gaiola e aleatoriamente retira-se um coelho para 
fora. 
I- Qual é a probabilidade do coelho escolhido ser marrom? 
II- Dado que o coelho escolhido é marrom, qual a probabilidade dele pertencer a 
gaiolas I, II, III? 
SOLUÇÃO 
 
 
 
Gaiolas – “G” 
Coelhos Marrom – “CM” 
 
 
(
IG
)- Gaiola I – 1/3 = Pr(
1G
) 
(
IIG
)- Gaiola II – 1/3 = Pr(
IIG
) 
(
IIIG
)- Gaiola III – 1/3 = Pr(
IIIG
) 
 
- Coelhos marrom na Gaiola I – = 2/5 
 
- Coelhos marrom na Gaiola II - = 4/6 
 
- Coelhos marrom na Gaiola III - = 5/10 
 
 
Pede-se: 
 
I- Qual é a probabilidade do coelho escolhido ser marrom? 
 
 
Sendo “CM” o evento “ Coelho marrom” 
 
Então: 
 CM = 
  IM GC   IIM GC  IIIM GC 
 
 
Pr(CM )= 
  IM GCPr   IIM GCPr  IIIM GC Pr
 
 
Pr(CM) = x Pr(
IG
) + x Pr(
IIG
) + x Pr(
IIIG
) 
 IM GC |Pr
 IIIM GC |Pr
 IIM GC |Pr
 IIM GC |Pr  IIIM GC |Pr IM GC |Pr
 
 
Pr(CM) = 


















3
1
10
5
3
1
6
4
3
1
5
2
xxx
 
 
(Pr(CM) = 0,5222 
 
 
II- Dado que o coelho escolhido é marrom, qual a probabilidade dele pertencer a 
gaiolas I, II, III? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado Coelho marrom, prob.está GI = : = 
 
 
 
 
 
Dado Coelho marrom, prob.está GII = 
 
 
 Dado Coelho marrom, prob.está GIII : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
   
   






k
j
jjM
iiM
k
j
jjM
Mi
M
Mi
Mi
GGC
GGC
GGC
CG
RC
CG
CG
11
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr
Pr
Pr
|Pr
 
   
 M
IMIM
MI
C
GxGC
CG
Pr
PrPr
|Pr 
  %92,31|Pr MIII CG
%53,25
5222,0
3
1
5
2








x
  %55.42|Pr MII CG
 
 
Problema 4(2.5 pts) 
Sejam e v.a.'s contínuas com densidade conjunta: 
 






 yyxkyxf
3
2
.),( 2
 , onde 0≤x≤1 e 0≤y≤3 
Pede-se: 
a) (0.5 pt) Encontre o valor de “k” que torne f(x,y) uma densidade. 
b) (0.5 pt) Encontre a densidade marginal de . 
c) (0.5 pt) Encontre a densidade marginal de . 
d) (0.5 pt) Encontre a densidade condicional de dado =x. 
f) (0.5 pt) Encontre a média condicional de Y, dado X=x. 
SOLUÇÃO 
 
a) Encontre a constante “k” que faz desta expressão uma densidade. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
1.).,(),(
3
0
1
0
  




dydxyxfyxf
y
y
x
x
 
 
1.
3
2
..
3
0
1
0
2 





 




dydx
y
yxk
y
y
x
x
 

 
1.
3
2
3
.
3
0
1
0
3









dy
xx
yk
y
y
 
 
1
3
2
3
1
..
3
0









dyyk
y
y
 

 
1
2
.
3
0
2





 y
k
 

 
1
2
9

k
 

 
9
2
k
 
 
 






 yyxyxf
3
2
.
9
2
),( 2
 
 
b) (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
SOLUÇÃO 
 
dyyxfxf
y
y
.),()(
3
0




 , onde 
3y0 e 1 x < 0 
 
3y0 e 1 x < 0 onde,
3
2
.),( 2 






y
yxkyxf
 
dyyyxxf .
3
2
.
9
2
)(
3
0
2
 












 

 3
0
2
2
23
2
9
2
)( 












y
xxf
 

 
3
2
)( 2  xxf
 
 
 
c) (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
SOLUÇÃO 
 
dxyxfyf
x
x
.),()(
1
0




 , onde 
3y0 e 1 x < 0 
 
dxyyxyf
x
x
.
3
2
.
9
2
)(
1
0
2
















 

 1
0
3
3
2
.
3
.
9
2
)( 






xx
yyf
 

 
9
.2
)(
y
yf 
 
 
 
d) (0.5 pt) Encontre a densidade condicional de dado =x. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
)(
),(
)(
xf
yxf
xXYf 
 , onde 
]1,(
]1,0(
xyx


 
 
3
2
3
2
.
9
2
)(
2
2









x
yyx
xXYf  





 





 

3
2.3
3
.2..3
.
9
2
)(
2
2.
x
yyx
y
xXYf 

 
yxXYf .
9
2
)( 
 
 
 
f) (0.5 pt) Encontre a média condicional de Y, dado X=x. 
 
 
b) (0.7 pt) Ache a Variância condicional de dado . 
 
SOLUÇÃO 
 
 
      22 xXYExXYExXYVAR 
 
 
 
  dyxyfyxXYE ).(.
3
0

 
 
  dyyyxXYE .
9
.2
.
3
0
 






 

 
  dyyxXYE .
9
.2
3
0
2
 






 
 
 
3
0
3
39
2 y
xXYE 
 

  2 xXYE
 
 
  dyxyfyxXYE ).(.
3
0
22

 
 
  dyyyxXYE .
9
.2
.
3
0
22
 






 

 
  dyyxXYE .
9
.2
3
0
3
2
 






 
 
 
3
0
4
2
49
2 y
xXYE 
 

 
2
92  xXYE
 
 
 
 
      22 xXYExXYExXYVAR 
 
   22
2
9
 xXYVAR
 
 
 
2
1
 xXYVAR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5 ( 2.0 pts) 
5.1) (0.75 pt) - Em uma certa loja de um shopping, verificou-se que o gasto médio mensal 
de 24 clientes foi de R$ 600, com um desvio padrão conhecido igual a R$ 250. Encontre 
intervalo de confiança 92% e 95% para o gasto médio desta população. 
SOLUÇÃO 
 
O intervalo de confiança ao nível de significância de 92%, , para a “σ”. 
 
X
= 600 
 σ = 250 
n=24 
 
 
IC da Média de uma Normal com Desvio Padrão (α ) Conhecido - Caso I 
 - TABELA “Z” 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 92% 
 Tabela “z” - 
75,12/1 z 
 
 (1-α)=0,92 
 
 
 
 04,0
2

 
 
 75,121 z 
 
 
 
 
 
 [ 510,70 ; 689,30 ] 
 






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ;






 
24
250
75,1600;
24
250
75,160021
n
zXIC


 
n
zXIC

 2/1
 
 
 
SOLUÇÃO 
 
O intervalo de confiança ao nível de significância de 95%, , para a “σ”. 
 
X
= 600 
 σ = 250 
n=24 
 
 
IC da Média de uma Normal com Desvio Padrão (α ) Conhecido - Caso I 
 - TABELA “Z” 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 95% 
 Tabela “z” - 
96,12/1 z 
 
 (1-α)=0,95 
 
 
 
 025,0
2

 
 
 96,121 z 
 
 
 
 
 
 [ 499,88 ; 700,02 ] 
 
 
 
 
 






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ;






 
24
250
96,1600;
24
250
96,160021
n
zXIC


 
n
zXIC

 2/1
 
 
 
 
 
5.2- (1.0 pt) Neste mesmo shopping, queremos saber se os gastos médios das duas lojas 
com o mesmo perfil, podem ser considerados estatisticamente idênticos. 
Tomou-se uma amostra de 12 clientes da loja “A” e de 14 clientes da loja “B”, obteve as 
seguintes estimativas: 
 A = R$700,00 , SA = R$15,00 
 B = R$800,00 , SB = R$13,00 
Encontre o Intervalo de confiança para a diferença das médias das duas lojas (μA – μB) ao 
nível de significância de 99%. O que você conclui? Os gastos médios nas duas lojas podem 
ser considerados estatisticamente iguais? 
SOLUÇÃO 
 
Loja “A”: n=12 A = 700 SA= 15 
Loja “B”: n=14 B = 800 SB= 13 
 
Intervalo de confiança para a diferença das médias: 
g = n + m – 2 = 24 
tabela “T” 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 99% 
 
 Tabela “T” - 
797,22/1;2  mnt 
 (1-α)=0,99 
 
 
 
 005,0
2

 
 
 797,22/1,24 t 
 















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [ -115,356 ; -84,644] 
 
Não, O Zero não está contido no Intervalo de Confiança , portando as médias de sua alturas 
não podem ser consideradas iguais ao nível de significância de 99%. 
 
 
 
 
 
 
BOA SORTE!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   





 







24
13131511
.
14
1
12
1 22 xx
R
     
  















2
S.1S.1
.
11
2
B
2
A
mn
mn
mn
R
49,5R
    RtYXRtYXRtYXIC tmntmnt 2;22;22 ;   
IC
    49,5797,280070021 xRtYXIC  
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
 
 
TEOREMA DE BAYES: 
 
 
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial - X ~ Exp λ) 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

 
 
 
 
   
   
   






k
j
jj
ii
k
j
jj
ii
i
BBA
BBA
BBA
AB
A
AB
AB
11
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr
Pr
Pr
|Pr
 
Função de probabilidade: 
 
 
 
Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) 
Função de probabilidade: 
 
 
Se X ~ N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
 
Intervalos de Confiança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- onde a e b são tirados da tabela qui- 
quadrado com (n-1) graus de liberdade 
 
 
 
 
  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ; 





 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ;  





 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;    















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
 
 
 
 
Tabelas